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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考公式：样本数据12,nx xx的标准差 锥体体积公式 222121()()()nsxxxxxxn 13Vs h 其中x为样本平均数 其中 S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 VSh 2334,4SR VR 其中 S 为底面面积，h 为高 其中 R 为球的半径 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合2,|4,|Ax xxR BxxxZ，则AB （A）（0，2）（B）0，2 （C）|0，2|（D）|0，1，2|（2）a，b 为平面向量
2、，已知 a=（4，3），2a+b=（3，18），则 a，b 夹角的余弦值等于 （A）865 （B）865 （C）1665 （D）1665（3）已知复数23(13)izi，则i=(A)14 （B）12 （C）1 （D）2 （4）曲线2y21xx在点（1,0）处的切线方程为 （A）1yx （B）1yx （C）22yx （D）22yx （5）中心在远点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为 （A）6 （B）5 （C）62 （D）52 （6）如图，质点p在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p（2，2），角速度为 1，那么点p到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为 (
3、7)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A）3a2 （B）6a2 （C）12a2 （D）24a2（8）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于（A）54（B）45（C）65（D）56(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x0），则20 x fx=（A）24x xx 或 （B）04 x xx或（C）06 x xx或（D）22 x xx 或 （10）若sin a=-45，a 是第一象限的角，则sin()4a=（A）-7 210 （B）7 210 （C）2-10 （D）210（11）已知 ABCD 的三个顶点为 A（-1，2），B（
4、3，4），C（4，-2），点（x，y）在 ABCD 的内部，则 z=2x-5y 的取值范围是（A）（-14，16）（B）（-14，20）（C）（-12，18）（D）（-12，20）面面积为高柱体体积公式球的表面积体积公式其中为底面面积为高其中为球的半径第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则为平面向量已知则夹角的余弦值等于已知复数为的圆周上逆时针运动其初始位置为角速度为那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为设长方体的长宽高分别为其顶点都在一个球面上则该球的表面积为如果执行右面的框图输入则输出的数等于设偶函数满足则或或或或若是第一考题和选考题两部
5、分第题第题为必考题每个试题考生都必须做答第题第题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共小题每小题分圆心在原点上与直线相切的圆的方程为设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线且恒有可以用（12）已知函数 f(x)=lg 1,01016,02xxxx 若 a，b，c 均不相等，且 f(a)=f(b)=f(c)，则abc 的取值范围是（A）（1，10）（B）(5，6)（C）(10，12)（D）(20，24)第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（
6、13）圆心在原点上与直线20 xy 相切的圆的方程为-。（14）设函数()yf x为区间0,1上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有 01f x，可以用随机模拟方法计算由曲线()yf x及直线0 x，1x，0y 所围成部分的面积，先产生两组i每组N个，区间0,1上的均匀随机数1,2.nx xx和1,2.ny yy，由 此 得 到V个 点,1,2.xyiN。再 数 出 其 中 满 足1()(1,2.)yfxiN的点数1N，那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为_(15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱
7、圆锥 圆柱(16)在ABC中，D 为 BC 边上一点，3BCBD,2AD,135ADB.若2ACAB,则 BD=_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）设等差数列na满足35a，109a。（）求na的通项公式；（）求na的前n项和nS及使得nS最大的序号n的值。（18）（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。面面积为高柱体体积公式球的表面积体积公式其中为底面面积为高其中为球的半径第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则为平
8、面向量已知则夹角的余弦值等于已知复数为的圆周上逆时针运动其初始位置为角速度为那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为设长方体的长宽高分别为其顶点都在一个球面上则该球的表面积为如果执行右面的框图输入则输出的数等于设偶函数满足则或或或或若是第一考题和选考题两部分第题第题为必考题每个试题考生都必须做答第题第题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共小题每小题分圆心在原点上与直线相切的圆的方程为设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线且恒有可以用na（）证明：平面PAC 平面PBD;（）若6AB,APBADB 60,求四棱锥PABCD的体积。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果
9、多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（19）（本小题满分 12 分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人，结果如下：（）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；（）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（）根据（）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：（20）（本小题满分 12 分）设1F,2F分别是椭圆 E：2x+22yb=1（0b1）的左、右焦点，过1F的直线l与E 相交于 A、B 两点
10、，且2AF，AB，2BF成等差数列。（）求AB（）若直线l的斜率为 1，求 b 的值。面面积为高柱体体积公式球的表面积体积公式其中为底面面积为高其中为球的半径第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则为平面向量已知则夹角的余弦值等于已知复数为的圆周上逆时针运动其初始位置为角速度为那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为设长方体的长宽高分别为其顶点都在一个球面上则该球的表面积为如果执行右面的框图输入则输出的数等于设偶函数满足则或或或或若是第一考题和选考题两部分第题第题为必考题每个试题考生都必须做答第题第题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共小题每
11、小题分圆心在原点上与直线相切的圆的方程为设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线且恒有可以用（21）本小题满分 12 分）设函数 21xxfx eax （）若 a=12，求 xf的单调区间；（）若当x0 时 xf0，求 a 的取值范围 （22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧ACBD，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：（）ACE=BCD。（）2BC=BE x CD。（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知直线1C：t为参数。图2C：为参数（）当 a=3时，求1C与2C的交点坐标：（）过坐标原点 O做1C的垂线
12、，垂足为 A、P 为 OA的中点，当 a 变化时，求 P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。（24）（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 设函数()x=24x+1。（）画出函数 y=()x的图像：（）若不等式()xax 的解集非空，求 n 的取值范围 X=1+tcosa y=tsina X=cos y=sin 面面积为高柱体体积公式球的表面积体积公式其中为底面面积为高其中为球的半径第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则为平面向量已知则夹角的余弦值等于已知复数为的圆周上逆时针运动其初始位置为角速度为那么点到轴距离关于时间的函数图像大
13、致为设长方体的长宽高分别为其顶点都在一个球面上则该球的表面积为如果执行右面的框图输入则输出的数等于设偶函数满足则或或或或若是第一考题和选考题两部分第题第题为必考题每个试题考生都必须做答第题第题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共小题每小题分圆心在原点上与直线相切的圆的方程为设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线且恒有可以用 答案 一：选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。（1）D (2)C (3)D (4)A (5)D (6)C (7)B (8)D (9)B (10)A (11)B (12)C 二：填空题：本大题
14、共 4 小题，每小题五分，共 20 分。（13）x2+y2=2 (14)1NN (15)(16)2+5 三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）解：（1）由 am=a1+（n-1）d 及 a1=5，aw=-9得 112599adad 解得192ad 数列am的通项公式为an=11-2n。.6 分 (2)由(1)知 Sm=na1+(1)2n nd=10n-n2。因为 Sm=-(n-5)2+25.所以 n=5 时，Sm取得最大值。12 分 (18)解：(1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。所以 ACPH,又 ACBD,PH,BD 都在平 PHD 内,且 PHBD=H.
15、所以 AC平面 PBD.故平面 PAC 平面 PBD.6 分 (2)因为 ABCD 为等腰梯形，AB CD,ACBD,AB=6.所以 HA=HB=3.因为APB=ADR=600 所以 PA=PB=6,HD=HC=1.面面积为高柱体体积公式球的表面积体积公式其中为底面面积为高其中为球的半径第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则为平面向量已知则夹角的余弦值等于已知复数为的圆周上逆时针运动其初始位置为角速度为那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为设长方体的长宽高分别为其顶点都在一个球面上则该球的表面积为如果执行右面的框图输入则输出的数等于设偶函数满
16、足则或或或或若是第一考题和选考题两部分第题第题为必考题每个试题考生都必须做答第题第题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共小题每小题分圆心在原点上与直线相切的圆的方程为设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线且恒有可以用 可得 PH=3.等腰梯形 ABCD 的面积为 S=12AC x BD=2+3.9 分 所以四棱锥的体积为 V=13x（2+3）x3=32 33 .12 分（19）解：（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500.4 分(2)22500(4027030 160)9.967200 300 70
17、430k 由于9.9676.635所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.8 分（3）由于（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男,女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好.12 分（20）解：（1）由椭圆定义知22F+F 又2 AB=AFFAB 得 （2）L 的方程式为 y=x+c,其中21cb 设1111(),B()A xx，y，y,则 A，B 两点坐标满足方程组 222y=x+cx1yb 化简得222(
18、1)2120.bxcxb 则2121222212,.11cbxxx xbb 因为直线 AB 的斜率为 1，所以21xx 即 21423xx .则22421212222284(1)4(12)8()49(1)11bbbxxx xbbb 面面积为高柱体体积公式球的表面积体积公式其中为底面面积为高其中为球的半径第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则为平面向量已知则夹角的余弦值等于已知复数为的圆周上逆时针运动其初始位置为角速度为那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为设长方体的长宽高分别为其顶点都在一个球面上则该球的表面积为如果执行右面的框图输入则输出的
19、数等于设偶函数满足则或或或或若是第一考题和选考题两部分第题第题为必考题每个试题考生都必须做答第题第题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共小题每小题分圆心在原点上与直线相切的圆的方程为设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线且恒有可以用解得 22b.（21）解：（）12a 时，21()(1)2xf xx ex，()1(1)(1)xxxfxexexex 。当,1x 时()fx ;当 1,0 x 时，()0fx;当0,x时，()0fx。故()f x在,1，0,单调增加，在（-1，0）单调减少。（）()(1)af xx xax。令()1ag xxax，则()xgxea。若1a，则当0,x时，()g
20、 x ，()g x为减函数，而(0)0g，从而当 x0 时()g x0，即()f x0.若a，则当0,lnxa时，()gx ，()g x为减函数，而(0)0g，从而当0,lnxa时()g x0，即()f x0.综合得a的取值范围为,1 （22）解:（）因为ACBD,所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC 所以ACEBCD.5 分（）因为ECBCDB,EBCBCD,所以BDCECB,故BCCDBEBC.即 2B CB EC D.10 分 （23）解：（I）当3时，C1的普通方程为3(1)yx，C2的普通方程为221xy.联立方程组223(1),1,yxxxy解得 C1与 C2
21、的交点为（1,0），13(,)22 面面积为高柱体体积公式球的表面积体积公式其中为底面面积为高其中为球的半径第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则为平面向量已知则夹角的余弦值等于已知复数为的圆周上逆时针运动其初始位置为角速度为那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为设长方体的长宽高分别为其顶点都在一个球面上则该球的表面积为如果执行右面的框图输入则输出的数等于设偶函数满足则或或或或若是第一考题和选考题两部分第题第题为必考题每个试题考生都必须做答第题第题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共小题每小题分圆心在原点上与直线相切的圆的方程为设函数为区
22、间上的图像是连续不断的一条曲线且恒有可以用（II）C1的普通方程为sincossin0 xy.A 点坐标为2(sin,cossin)aaa，故当a变化时，P 点轨迹的参数方程为 21sin21sin cos2xayaa （a为参数）P 点轨迹的普通方程为2211()416xy 故 P 点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆 （24）解：（）由 于 xf=25,23,2.xxxx 则 函 数 xyf的 图 像 如 图 所 示。5 分（）由函数 xyf与函数yax的图像可知，当且仅当2a 时，函数 xyf与函数yax的图像有交点。故不等式 xfax的解集非空时，a 的取值范围为1,2,2 。10
23、分 面面积为高柱体体积公式球的表面积体积公式其中为底面面积为高其中为球的半径第卷一选择题本大题共小题每小题分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的已知集合则为平面向量已知则夹角的余弦值等于已知复数为的圆周上逆时针运动其初始位置为角速度为那么点到轴距离关于时间的函数图像大致为设长方体的长宽高分别为其顶点都在一个球面上则该球的表面积为如果执行右面的框图输入则输出的数等于设偶函数满足则或或或或若是第一考题和选考题两部分第题第题为必考题每个试题考生都必须做答第题第题为选考题考生根据要求做答二填空题本大题共小题每小题分圆心在原点上与直线相切的圆的方程为设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线且恒有可以用