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1、学习必备 欢迎下载 数 列(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2010 黄冈模拟)记等比数列an的公比为q，则“q1”是“an1an(nN*)”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析：可以借助反例说明：如数列：1，2，4，8，公比为 2，但不是增数列；如数列：1，12，14，18，是增数列，但是公比为120，an10，an1ann110，当an1an1 即 n9 时，an1an，所以an从第 10 项起递增；n9 时，an10 在
2、 n1 时恒成立，只需要 (2n1)max3，故 3.答案：D 12已知数列an满足 an112 ana2n，且 a112，则该数列的前 2 008 项的和等于()A1 506 B3 012 C1 004 D2 008 解析：因为 a112，又 an112ana2n，所以 a21，从而 a312，a41，即得an 12，n2k1(kN*)1，n2k(kN*)，故数列的前 2 008 项的和为 S2 0081 004(112)1 506.答案：A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分将答案填写在题中的横线上)13 (2010 长 郡 模 拟)已 知 数 列 an 满 足：
3、a1 m(m 为 正 整 数)，an1 an2，当an为偶数时3an1，当an为奇数时，若 a61，则 m 所有可能的取值为_ 解析：由 a61a52a44a31 或 8a22 或 16a14 或 5、32.答案：4,5,32 14已知数列an满足 a112，anan11n21(n2)，则an的通项公式为_ 解析：anan11n2112(1n11n1)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a112(1n11n11n21n1131)，得：an542n12n(n1).答案：an542n12n(n1)15 已知等差数列an的首项 a1及公差 d 都是整数，前 n 项和为 Sn(nN*)若
4、a11，a43，S39，则通项公式 an_.是符合题目要求的黄冈模拟记等比数列的公比为则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件解析可以借助反例说明如数列公比为但不是增数列如数列是增数列但是公比为答案已知是等差数列则过点的直线出学习必备欢迎下载答案已知数列的前项和为且则等于解析取得即取得所以答案等比数列的前项和为且成等差数列若则解析不妨设数列的公比为则成等差数列可转化为得答案若数列的通项公式为则为递增数列递减数列从某项后为递数列的前项和为解析由等差数列的通项公式得所以其前项和则所以数列是首项为公差为的等差数列所以其前项的和为学习必备欢迎下载答案已知数列中若为等差数列则解析由
5、已知可得是等差数列的第项和第项其公差由此可得解之得学习必备 欢迎下载 解析：由 a11，a43，S39 得，a11a13d3a1d3，令 xa1，yd 得，x1x3y3xy3x，yZ，在平面直角坐标系中作出可行域可知符合要求的整数点只有(2,1)，即 a12，d1，所以 an2n1n1.答案：n1 16(文)将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据以上排列规律，数阵中第 n(n3)行的从左至右的第 3 个数是_ 解析：前 n1 行共有正整数 12(n1)n(n1)2个，即n2n2个，因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第n
6、2n23 个，即为n2n62.答案：n2n62(理)下面给出一个“直角三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第 i 行第 j 列的数为 aij(ij，i，jN*)，则 a83_.解析：由题意知，a83位于第 8 行第 3 列，且第 1 列的公差等于14，每一行的公比都等是符合题目要求的黄冈模拟记等比数列的公比为则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件解析可以借助反例说明如数列公比为但不是增数列如数列是增数列但是公比为答案已知是等差数列则过点的直线出学习必备欢迎下载答案已知数列的
7、前项和为且则等于解析取得即取得所以答案等比数列的前项和为且成等差数列若则解析不妨设数列的公比为则成等差数列可转化为得答案若数列的通项公式为则为递增数列递减数列从某项后为递数列的前项和为解析由等差数列的通项公式得所以其前项和则所以数列是首项为公差为的等差数列所以其前项的和为学习必备欢迎下载答案已知数列中若为等差数列则解析由已知可得是等差数列的第项和第项其公差由此可得解之得学习必备 欢迎下载 于12.由等差数列的通项公式知，第 8 行第 1 个数为14(81)142，a832(12)212.答案：12 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题
8、满分 12 分)已知数列an中，其前 n 项和为 Sn，且 n，an，Sn成等差数列(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)求 Sn57 时 n 的取值范围 解：(1)n，an，Sn成等差数列，Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2)，anSnSn12an2an11(n2)，an2an11(n2)，两边加 1 得 an12(an11)(n2)，an1an112(n2)又由 Sn2ann 得 a11.数列an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列，an12 2n1，即数列an的通项公式为 an2n1.(2)由(1)知，Sn2ann2n12n，Sn1Sn2n22(n1)(2n12n)2n1
9、10，Sn1Sn，Sn为递增数列 由题设，Sn57，即 2n1n59.又当 n5 时，26559，n5.当 Sn57 时，n 的取值范围为 n6(nN*)18(本小题满分 12 分)设数列an满足 a1t，a2t2，前 n 项和为 Sn，且 Sn2(t1)Sn1tSn0(nN*)(1)证明数列an为等比数列，并求an的通项公式；(2)当12t2 时，比较 2n2n与 tntn的大小；是符合题目要求的黄冈模拟记等比数列的公比为则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件解析可以借助反例说明如数列公比为但不是增数列如数列是增数列但是公比为答案已知是等差数列则过点的直线出学习必备欢
10、迎下载答案已知数列的前项和为且则等于解析取得即取得所以答案等比数列的前项和为且成等差数列若则解析不妨设数列的公比为则成等差数列可转化为得答案若数列的通项公式为则为递增数列递减数列从某项后为递数列的前项和为解析由等差数列的通项公式得所以其前项和则所以数列是首项为公差为的等差数列所以其前项的和为学习必备欢迎下载答案已知数列中若为等差数列则解析由已知可得是等差数列的第项和第项其公差由此可得解之得学习必备 欢迎下载(3)若12t2，bn2an1a2n，求证：1b11b21bn2n2n2.解：(1)证明：由 Sn2(t1)Sn1tSn0，得 tSn1tSnSn2Sn1，即 an2tan1，而 a1t，a
11、2t2，数列an是以 t 为首项，t 为公比的等比数列，antn.(2)(tntn)(2n2n)(tn2n)1(12t)n，又12t2，1412t1，则 tn2n0，(tn2n)1(12t)n0，tntn2n2n.(3)证明：1bn12(tntn)，2(1b11b21bn)(2222n)(21222n)2(2n1)12n2n1(12n)2n122n，1b11b21bn2n2n2.19(本小题满分 12 分)(2010 黄冈模拟)已知二次函数 f(x)x2axa(a0)，不等式f(x)0 的解集有且只有一个元素，设数列an的前 n 项和为 Snf(n)(1)求数列an的通项公式；(2)设各项均不
12、为 0 的数列cn中，满足 ci ci10 的正整数 i 的个数称作数列cn的变号数，令 cn1aan(nN*)，求数列cn的变号数 解：(1)由于不等式 f(x)0 的解集有且只有一个元素，a24a0a4，故 f(x)x24x4.由题 Snn24n4(n2)2 则 n1 时，a1S11；n2 时，anSnSn1(n2)2(n3)22n5，是符合题目要求的黄冈模拟记等比数列的公比为则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件解析可以借助反例说明如数列公比为但不是增数列如数列是增数列但是公比为答案已知是等差数列则过点的直线出学习必备欢迎下载答案已知数列的前项和为且则等于解析取得
13、即取得所以答案等比数列的前项和为且成等差数列若则解析不妨设数列的公比为则成等差数列可转化为得答案若数列的通项公式为则为递增数列递减数列从某项后为递数列的前项和为解析由等差数列的通项公式得所以其前项和则所以数列是首项为公差为的等差数列所以其前项的和为学习必备欢迎下载答案已知数列中若为等差数列则解析由已知可得是等差数列的第项和第项其公差由此可得解之得学习必备 欢迎下载 故 an 1 n1，2n5 n2.(2)由题可得，cn 3 n1142n5 n2.由 c13，c25，c33，所以 i1，i2 都满足 ci ci1cn，且 c413，同时 142n50n5，可知 i4 满足 ci、ci10.满足
14、cici1Qn；当 n19 时，PnQn；当 n19 时，PnQn.(理)(本小题满分 14 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn，点(an2，Sn1)在直线 y4x5上，其中 nN*.令 bnan12an，且 a11.(1)求数列bn的通项公式；(2)若 f(x)b1xb2x2b3x3bnxn，求 f(1)的表达式，并比较 f(1)与 8n24n 的大小 解：(1)Sn14(an2)5，Sn14an3，Sn4an13(n2)，an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)，bnbn1an12anan2an12(n2)数列bn为等比数列，其公比为 q2，首项 b1a22
15、a1，而 a1a24a13，且 a11，a26，b1624，bn42n12n1.(2)f(x)b1xb2x2b3x3bnxn，f(x)b12b2x3b3x2nbnxn1，f(1)b12b23b3nbn，f(1)222 233 24n 2n1，2f(1)232 243 25n 2n2，得 f(1)2223242n1n 2n2 是符合题目要求的黄冈模拟记等比数列的公比为则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件解析可以借助反例说明如数列公比为但不是增数列如数列是增数列但是公比为答案已知是等差数列则过点的直线出学习必备欢迎下载答案已知数列的前项和为且则等于解析取得即取得所以答案等
16、比数列的前项和为且成等差数列若则解析不妨设数列的公比为则成等差数列可转化为得答案若数列的通项公式为则为递增数列递减数列从某项后为递数列的前项和为解析由等差数列的通项公式得所以其前项和则所以数列是首项为公差为的等差数列所以其前项的和为学习必备欢迎下载答案已知数列中若为等差数列则解析由已知可得是等差数列的第项和第项其公差由此可得解之得学习必备 欢迎下载 4(12n)12n 2n24(12n)n 2n2，f(1)4(n1)2n2，f(1)(8n24n)4(n1)2n4(2n2n1)4(n1)2n(2n1)当 n1 时，f(1)8n24n；当 n2 时，f(1)(8n24n)4(45)40，f(1)0
17、，结合指数函数 y2x与一次函数 y2x1 的图象知，当 x3 时，总有 2x2x1，故当 n3 时，总有 f(1)8n24n.综上：当 n1 时，f(1)8n24n；当 n2 时，f(1)8n24n.是符合题目要求的黄冈模拟记等比数列的公比为则是的充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分又不必要条件解析可以借助反例说明如数列公比为但不是增数列如数列是增数列但是公比为答案已知是等差数列则过点的直线出学习必备欢迎下载答案已知数列的前项和为且则等于解析取得即取得所以答案等比数列的前项和为且成等差数列若则解析不妨设数列的公比为则成等差数列可转化为得答案若数列的通项公式为则为递增数列递减数列从某项后为递数列的前项和为解析由等差数列的通项公式得所以其前项和则所以数列是首项为公差为的等差数列所以其前项的和为学习必备欢迎下载答案已知数列中若为等差数列则解析由已知可得是等差数列的第项和第项其公差由此可得解之得