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1、 第八、九章 向量代数与空间解析几何总结 向量代数 定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示 向量 有大小、有方向.记作a或AB a(,)xyzxyza ia ja kaaa,xxyyzzaprj a aprj a aprj a 模 向量a的模记作a a222xyzaaa 和差 cab cab cab,xxyyzzab ab ab 单位向量 0a，则aaea ae222(,)xyzxyzaaaaaa 方向余弦 设a与,x y z轴的夹角分别为 ，则方向余弦分别为cos，cos，cos cosyxzaaaaaa，cos，cos cosae(，cos，cos)222cos1+coscos
2、点乘（数量积）cosbaba，为向量 a与 b的夹角 zzyyxxbababa ba 叉乘（向量积）bac sinbac 为向量 a与 b的夹角 向量c与a，b都垂直 zyxzyxbbbaaakjiba 定理与公式 垂直 0aba b 0 xxyyzzaba ba ba b 平行/0aba b /yzxxyzaaaabbbb 交角余弦 两向量夹角余弦babacos 222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb 投影 向量a在非零向量b上的投影 cos()ba bprj aaa bb 222xxyyzzbxyza ba ba bprj abbb 平面 直线 法向量,n
3、A B C 点),(0000zyxM 方向向量,Tm n p 点),(0000zyxM 方程名方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征 称 一般式 0DCzByAx 一般式 0022221111DzCyBxADzCyBxA 点法式 0)()()(000zzCyyBxxA 点向式 pzznyymxx000 三点式 1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz 参数式 ptzzntyymtxx000 截距式 1xyzabc 两点式 000101010 xxyyzzxxyyzz 面面垂直 0212121CCBBAA 线线垂直 0212121ppnnmm 面面平行 21212
4、1CCBBAA 线线平行 212121ppnnmm 线面垂直 pCnBmA 线面平行 0CpBnAm 点面距离),(0000zyxM 0DCzByAx 面面距离 10AxByCzD 20AxByCzD 222000CBADCzByAxd 12222DDdABC 面面夹角 线线夹角 线面夹角,1111CBAn,2222CBAn ,1111pnms,2222pnms,pnms ,CBAn 222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 222222212121212121cospnmpnmppnnmm 222222sinpnmCBACpBnAm 空间曲线：()()()xtyt
5、zt，)(t 切向量)(,)(,)(000tttT 切“线”方程：)()()(000000tzztyytxx 法平“面”方程：0)()()()()(000000zztyytxxt()()yxzx 切向量)(,)(,1(xxT 切“线”方程：)()(100000 xzzxyyxx 法平“面”方程：0)()()()(00000zzxyyxxx 空间曲面 0),(zyxF 法向量 000000000(,),(,),(,)xyznF xyzFxyzF xyz 切平“面”方程：000000000000(,)()(,)()(,)()0 xxxFxyzxxFxyzyyFxyzzz 法“线“方程：方向记作或模
6、向量的模记作和差单位向量则方向余弦设与轴的夹角分别为则方向余弦分别为点乘数量积叉乘向量积为向量与的夹角为向量与的夹角向量与都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的三点式参数式截距式两点式面面垂直面面平行线面垂直线线垂直线线平行线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程空间曲面法向量切平面方程法线方程或直角坐标系型型例例利用极坐标系使用原则积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含圆弧直线段被积函数用极坐标变量表示较简单含为实数例利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当关于轴对称时关于轴对称时有类似结论：),
7、(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx),(yxfz 0000(,),(,),1)xynfxyfxy 或 0000(,),(,),1)xynfxyfxy 切平“面”方程：0)()(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 法“线“方程：1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx 第十章 总结 重积分 积分类型 计算方法 典型例题 二重积分 d,DyxfI 平 面 薄 片的质量 质量=面密度面积（1）利用直角坐标系 X型 Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Y型 dcyyDdxyxfdydxdyyxf
8、)()(21),(),(P141例 1、例 3（2）利用极坐标系 使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被 积 函 数 用 极 坐 标 变 量 表 示 较 简 单(含22()xy,为实数)21()()(cos,sin)(cos,sin)Dfdddfd 02 0 2 P147例 5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当 D 关于 y 轴对称时，（关于 x 轴对称时，有类似结论）P141例 2 应用该性质更方便 方向记作或模向量的模记作和差单位向量则方向余弦设与轴的夹角分别为则方向余弦分别为点乘数量积叉乘向量积为向量与的夹角为向量与的夹角向量与都垂
9、直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的三点式参数式截距式两点式面面垂直面面平行线面垂直线线垂直线线平行线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程空间曲面法向量切平面方程法线方程或直角坐标系型型例例利用极坐标系使用原则积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含圆弧直线段被积函数用极坐标变量表示较简单含为实数例利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当关于轴对称时关于轴对称时有类似结论 110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)Df x yxfx yf x yIf x y dxdy f x yxfx yf
10、x yDD对于 是奇函数，即对于 是偶函数，即是 的右半部分 计算步骤及注意事项 1 画出积分区域 2 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离 3 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性 三 重 积分 dvzyxfI),(空 间 立 体物的质量 质量=密度面积(1)利用直角坐标截面法投影法 投影bayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),(ddd),(P159例 1 P160例 2（2）利用柱面坐标 cossin
11、xryrzz 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()f xyf xz 21()()(,)ddd(cos,sin,)dbrarf x y zVzfz P161例 3（3）利用球面坐标 cossincossinsinsincosxryrzr dvrdrd d2sin 适用范围:1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，P16510-(1)方向记作或模向量的模记作和差单位向量则方向余弦设与轴的夹角分别为则方向余弦分别为点乘数量积叉乘向量积为向量与的夹角为向量与的夹角向量与
12、都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的三点式参数式截距式两点式面面垂直面面平行线面垂直线线垂直线线平行线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程空间曲面法向量切平面方程法线方程或直角坐标系型型例例利用极坐标系使用原则积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含圆弧直线段被积函数用极坐标变量表示较简单含为实数例利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当关于轴对称时关于轴对称时有类似结论 锥体.2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，222()f xyz 222111(,)2(,)dd(sin cos,sin
13、sin,cos)sin dIf （4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 第十一章 总结 曲线积分与曲面积分 积分类型 计算方法 典型例题 第一类曲线积分 LdsyxfI),(曲形构件的质量 质 量=线 密参数法（转化为定积分）（1）:()L yx dtttttfI)()()(),(22（2）():()()xtLtyt dxxyxyxfIba)(1)(,(2（3）()()rr ()cos:()sinxrLyr drrrrfI)()()sin)(,cos)(22 P189-例 1 P1903 方向记作或模向量的模记作和差单位向量则方向余弦设与轴的夹角分别为则方向余弦分别为点乘数量积叉乘向量积
14、为向量与的夹角为向量与的夹角向量与都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的三点式参数式截距式两点式面面垂直面面平行线面垂直线线垂直线线平行线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程空间曲面法向量切平面方程法线方程或直角坐标系型型例例利用极坐标系使用原则积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含圆弧直线段被积函数用极坐标变量表示较简单含为实数例利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当关于轴对称时关于轴对称时有类似结论 度弧长 平面第二类曲线积分 LQdyPdxI 变力沿曲线所做的功 （1）参数法（转化为定积分
15、）():()()xtLtyt 单调地从到 ttttQtttPyQxPLd)()(),()()(),(dd P196-例 1、例 2、例 3、例 4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域 D）P，Q具有一阶连续偏导数 结论：dydxyPxQQdyPdxDL)(应用：助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用 P205例 4 P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：yPxQ 0LQdyPdx LQdyPdx与路径无关，与起点、终点有关 QdyPdx具有原函数),(yxu（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）P21
16、1-例 5、例 6、例 7（4）两类曲线积分的联系 LLdsQPQdyPdxI)coscos(空间第二类曲线积分 LIPdx Qdy Rdz 变力沿曲线所做的功 （1）参数法（转化为定积分）dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：L 封闭，分段光滑，有向 P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论：dxdyypxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdxL)()()(应用：助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用 P240-例 1 方向记作或模向量的模记作和差单位向量则方
17、向余弦设与轴的夹角分别为则方向余弦分别为点乘数量积叉乘向量积为向量与的夹角为向量与的夹角向量与都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的三点式参数式截距式两点式面面垂直面面平行线面垂直线线垂直线线平行线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程空间曲面法向量切平面方程法线方程或直角坐标系型型例例利用极坐标系使用原则积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含圆弧直线段被积函数用极坐标变量表示较简单含为实数例利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当关于轴对称时关于轴对称时有类似结论 第一类曲面积分 dvzyxfI)
18、,(曲面薄片的质量 质 量=面 密度面积 投影法：),(yxzz 投影到xoy面 dxdyzzyxzyxfdvzyxfIxyDyx221),(,(),(类似的还有投影到yoz面和zox面的公式 P217-例 1、例 2 第二类曲面积分 IPdydz Qdzdx R 流体流向曲面一侧的流量（1）投影法 1dydzzyzyxpPdydzyzD),),(：),(yxzz，为的法向量与x轴的夹角 前侧取“+”，cos0；后侧取“”，cos0 2dzdxzzxyxpQdzdxyzD),(,(：),(zxyy，为的法向量与y轴的夹角 右侧取“+”，cos0；左侧取“”，cos0 3dxdyyxzyxQQd
19、xdyyzD),(,(：),(zyxx，为的法向量与x轴的夹角 上侧取“+”，cos0；下侧取“”，cos0 P226-例 2（2）高斯公式 右手法则取定的侧 条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧 P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论：)(zRyQxPRdxdyQdzdzPdydz 应用：助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用 P231-例 1、例 2（3）两类曲面积分之间的联系(coscoscos)Pdydz Qdzdx Rdxd yPQRdS 转换投影法：()()zzdydzdxdydzdxdxdyxy P228-例 3 所有类型的积分：1 定义：四步法分割、代替、求和、取极限；方
20、向记作或模向量的模记作和差单位向量则方向余弦设与轴的夹角分别为则方向余弦分别为点乘数量积叉乘向量积为向量与的夹角为向量与的夹角向量与都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的三点式参数式截距式两点式面面垂直面面平行线面垂直线线垂直线线平行线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程空间曲面法向量切平面方程法线方程或直角坐标系型型例例利用极坐标系使用原则积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含圆弧直线段被积函数用极坐标变量表示较简单含为实数例利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当关于轴对称时关于轴对称时有类似
21、结论 2 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；3 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章 总结 方向记作或模向量的模记作和差单位向量则方向余弦设与轴的夹角分别为则方向余弦分别为点乘数量积叉乘向量积为向量与的夹角为向量与的夹角向量与都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的三点式参数式截距式两点式面面垂直面面平行线面垂直线线垂直线线平行线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程空间曲面法向量切平面方程法线方程或直角坐标系型型例例利用极坐标系使用原则积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含
22、圆弧直线段被积函数用极坐标变量表示较简单含为实数例利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当关于轴对称时关于轴对称时有类似结论 无穷级数 常数项级傅立叶级幂级数 一般项级正项级数 用收敛定义，nnslim存在 常数项级数的基本性质 常数项级数的基本性质 1 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 2两个收敛级数的和差仍收敛 注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.3去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性 4若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级数去括号后未必收敛.5（必要条件）如果级数收敛 则0lim
23、0nnu 莱布尼茨判别法 若1nnuu且0limnnu，则11)1(nnnu收敛 nu和nv都是正项级数，且nnvu.若nv收敛，则nu也收敛；若nu发散，则nv也发散.比较判别法 比较判别法的极限形式 nu和nv都是正项级数，且lvunnnlim，则1若l0,nu与nv同敛或同散;2若0l,nv收敛,nu也收敛；3如果l，nv发散，nu也发散。比值判别法 根值判别法 nu是正项级数，nnnuu1lim,nnnulim,则1时收敛；1()时发散；1时可能收敛也可能发收敛性 和函数展成幂级数nnnxa 0,nnnaa1lim,1,0;,0;0,.RRR 缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs的性
24、质1在收敛域I上连续;2在收敛域),(RR内可导，且可逐项求导;3和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式 11(11)1nnxxx 11()!xnnexxn 22TTl 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf dxxfa)(10 nxdxxfancos)(1 nxdxxfbnsin)(1 收敛定理 x)(xfx)()(21xfxf周期)(xf为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(xf为偶函数，余弦级数、偶延拓.交错 方向记作或模向量的模记作和差单位向量则方向余弦设与轴的夹角分别为则方向余弦分别为点乘数量积叉乘向量积为向量与的夹角为向量与的夹角向量与都垂直定理与公式垂直平行交角余弦两向量夹角余弦投影向量在非零向量上的三点式参数式截距式两点式面面垂直面面平行线面垂直线线垂直线线平行线面平行点面距离面面距离面面夹角线线夹角线面夹角空间曲线切向量切线方程法平面方程切向量切线方程法平面方程空间曲面法向量切平面方程法线方程或直角坐标系型型例例利用极坐标系使用原则积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示含圆弧直线段被积函数用极坐标变量表示较简单含为实数例利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当关于轴对称时关于轴对称时有类似结论