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1、商高定理及其应用开题报告 开题报告 商高定理及其应用 一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）（一）历史背景:商高定理:商高定理是个历史悠久的著名定理,我国古人在这方面的研究 留下了一系列宝贵的著作。周髀算经是我国古代流传下来的一部重要的数学 著作,该书原名周髀,大约成书于公元 2 世纪。它包含了相当深刻的数学内容,其主要成就包括分数运算、商高定理（勾股定理）及其在天文学测量的应用。该书卷首记述了一段精彩的对话:昔者周公问于商高曰:“窃闻乎大夫善数也,请问昔者包牺立周天历度?夫天可不阶而升,地不可得尺寸而度,请问数安从出?”商高曰:“数之法出于圆方,圆出于方,方出于
2、矩,矩出于九九八十一。故折 矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两 矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。”由于此定理 是商高发现的,所以称为“商高定理”。基于上述渊源,所以我们把这一定理叫做“勾股定理”或“商高定理”。这 是中国最早关于勾股定理书面记载。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理,而且很早就尝试对 勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家 赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合得到方法,给出了勾股定理的 详细证明。由此可见,我国在商高定理的研究上有悠久的历史和杰出的贡献。1
3、西方勾股定理又称毕达哥拉斯定理。在西方的文献中,勾股定理一直以古 希腊哲学家毕达哥拉斯的名字来命名。据说毕达哥拉斯发现这个定理后斩了百头 牛庆祝,因此又称“百牛定理”。但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明勾股定 理的直接证据。希腊另一位数学家欧几里德 Euclid,公元前三百年左右的人在编 著几何原本时,认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的,所以他就把这个定理 称为“毕达哥拉斯定理”,以后就流传开了。2 费马大定理:公元1637年,费尔马在研究丢番图的 算术一书时,想到了 毕达哥拉斯问题的推广。费尔马在算术一书的空白处写到:“不可能将一个 高于 2 次的幂写成两个同样幂次的和”。即当整数时,无正
4、整数解。同时,还写下 批注:“我有一个对这个命题的十分美妙的证明,很可惜这里空白太小写不下了!”费尔马没有想到,他随手写下这句话,竟成了几个世纪以来,一代又一代无数的世 界级的优秀数学家,经过艰难曲折的奋斗,都未能证明这有名的费尔马大定理。5（二）现状和发展方向:如今,当我们谈到商高定理时,更多的是它在不定方程中的特殊地位。即商 高不定方程方程的求解。对于商高方程的解,所研究的是非显然解中的本原解,即满足以下条件的解:。在这方面的研究成果已有很多,形式也是多样。从古代的 毕达哥拉斯、柏拉图到当代我国的柯召、孙琦都各自不同的研究方法和结论。不 仅如此,还引发各类不同的猜想。如:Teriai 猜想
5、、Tesmanowicz 猜想、werner 发展趋势一历史背景商高定理商高定理是个历史悠久的著名定理我国古人在这方面的研究留下了一系列宝贵的著作周髀算经是我国古代流传下来的一部重要的数学著作该书原名周髀大约成书于公元世纪它包含了相当深刻的数学内容于商高曰窃闻乎大夫善数也请问昔者包牺周天历度夫天可不阶而升地不可得尺寸而度请问数安从出商高曰数之法出于圆方圆出于方方出于矩矩出于九九八十一故折矩以为句广三股修四径隅五既方之外半其一矩环而共盘得成三四五两渊源所以我们把这一定理叫做勾股定理或商高定理这是中国最早关于勾股定理书面记载中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理而且很早就尝试对勾股定理作理
6、论的证明最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学猜想等等。有些问题至今仍未解决。由此可见,商高不定方程的后续研究都是建 立在对商高方程解的深刻研究的基础之上。其中,最著名的要数是商高定理的一 个推广:费马大定理。300百多年来已证实它是向人类智慧挑战的一个数学难题。有人曾悲观地说:“在我们这个星球上的人的智慧,还没有达到那样高的水平,能 解决费尔马大定理”。费马大定理的证明经历了风风雨雨:1753 年,大数学家欧拉 作出了突出贡献,他证明时,费尔马大定理成立,实际上他证明了时,费尔马大定 理成立。1825 年,解析几何的创始人、大数学家高斯证明了时,费尔马大定理成 立。1837 年,大数学
7、家柯西、库默尔与女数学家热尔曼同时证明了时,费尔马大 定理成立。1847 年德国数学家土尔曼,引进了理想概念,证明了当时,费马大定理 成立。土尔曼虽未彻底解决费尔马大定理,但他为近世代数的产生奠定了基础。就在这段时期,德国科学院,为解决这一世界难题,悬尝 10 万马克,结果无人问 津。在本世纪 50 年代,日本人谷山与志村提出了一个关于椭园曲线与模形式的猜 想,随后,费赖与贝里特证明了:“如果费尔马大定理不成立,则谷山一志村猜想就 错了”。这个结果给费尔马大定理的最终解决。展示出一线曙光。直到 1993 年英 国数学家维尔斯沿着谷山一志村的猜想的方向,花了八年时间,在综合了近代数 学的重大成就
8、的基础上,天才地证明费尔马大定理。如今我们看到完整的费马大 定理的证明。不仅如此,更多的证明方法不断涌出,为费马大定理又添加了不少魅 力。16 而现在,人们则利用前人的研究成果进一步进行开拓,以用来探索那些历 史遗留下来的尚未解决的数论难题,并对更高次更高元的不定方程的求解方法不 断的尝试,得出一些著名的结论。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 数学思维的特点之一就是寻找各种关系,并由此去探索扩充某种思想的途 径,这些都要建立在归纳、总结的基础上。所以,我们试着在一元不定方程的基础 上探索商高不定方程的解的之间的关系,并进行归纳总结,进一步深入的研究,使 其得到更加广泛的应用。商高方程的定义
9、:二次不定方程(2)它通常称为商高方程或 Pythagoras 方程。满足的解称为显然解,的解称为非 显然解。在引入定义出不定方程的本原解后,我们在总结出一元及商高不定方程 的解之间的关系如下:发展趋势一历史背景商高定理商高定理是个历史悠久的著名定理我国古人在这方面的研究留下了一系列宝贵的著作周髀算经是我国古代流传下来的一部重要的数学著作该书原名周髀大约成书于公元世纪它包含了相当深刻的数学内容于商高曰窃闻乎大夫善数也请问昔者包牺周天历度夫天可不阶而升地不可得尺寸而度请问数安从出商高曰数之法出于圆方圆出于方方出于矩矩出于九九八十一故折矩以为句广三股修四径隅五既方之外半其一矩环而共盘得成三四五两渊
10、源所以我们把这一定理叫做勾股定理或商高定理这是中国最早关于勾股定理书面记载中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学定理 1:不定方程(1)有解的充要条件是。进而,不定方程(1)有解时,它的 解和不定方程 的解相同,这里 g。定理 3:不定方程(2)的本原解 x,y,z 必满足条件:定理4:不定方程(2)的y为偶数全体本原解满足以下公式：其中 r,s 为满足一下条件的任意整数:定理 5:不定方程 无的解。定理 6:不定方程 无的解。8 最后探讨这些定理的证明方法,研究这些方法的在其他类似不定方程中的 套用。并举
11、例说明这些定理在具体数学问题上的应用,一边快速准确的解答这些 问题 三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标 研究的方法主要有类比法、归纳法、举例法、Fermat 无穷递降法。技术 路线:通过图书馆以及因特网查找相关领域的最新理论、收集资料,对商高不定方 程在数学发展中的重要作用有较全面、综合的认识,通过老师的指导,同学之间的 交流和沟通,收集整理文献,反复讨论研究问题,界定相关概念,阐述理论基础,实 施研究方法,得出研究结论,总结研究启示。四、论文详细工作进度和安排 1.在导师的指导下收集资料,完成毕业论文的文献检索,泛读相关文章,形成 系统材料。发展趋势一历史背景商高定理商高定理
12、是个历史悠久的著名定理我国古人在这方面的研究留下了一系列宝贵的著作周髀算经是我国古代流传下来的一部重要的数学著作该书原名周髀大约成书于公元世纪它包含了相当深刻的数学内容于商高曰窃闻乎大夫善数也请问昔者包牺周天历度夫天可不阶而升地不可得尺寸而度请问数安从出商高曰数之法出于圆方圆出于方方出于矩矩出于九九八十一故折矩以为句广三股修四径隅五既方之外半其一矩环而共盘得成三四五两渊源所以我们把这一定理叫做勾股定理或商高定理这是中国最早关于勾股定理书面记载中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学（0910 学年第一学期第
13、8 周至第 9 周）2.完成文献综述。（0910 学年第一学期第 10周至第 11 周）3.完成开题报告。（0910 学年第一学期第 12周至第 13 周）4.研读外文文献,完成外文翻译。（0910 学年第一学期第 14周至第 15 周）5.进一步完善论文的资料、数据收集,精读其中的重要参考文献、列出文章 的初步提纲。（0910 学年第二学期第 1 周至第 2 周）6.开展论文初稿撰写工作。（0910 学年第二学期第 3 周至第 8 周）7.在导师的指导下对论文进行反复修改（0910 学年第二学期第 9 周至第 10周）8.对论文进行完善,最后定稿。（0910 学年第二学期第 11周至第 12
14、 周）五、主要参考文献 1 胡春燕.从东西 方文化看勾股定 理的起源 J.教学与管理.2007,09:91-92.2 刘春祥.发现勾股定理 J.数学大众（中学版）.2002,07:39.发展趋势一历史背景商高定理商高定理是个历史悠久的著名定理我国古人在这方面的研究留下了一系列宝贵的著作周髀算经是我国古代流传下来的一部重要的数学著作该书原名周髀大约成书于公元世纪它包含了相当深刻的数学内容于商高曰窃闻乎大夫善数也请问昔者包牺周天历度夫天可不阶而升地不可得尺寸而度请问数安从出商高曰数之法出于圆方圆出于方方出于矩矩出于九九八十一故折矩以为句广三股修四径隅五既方之外半其一矩环而共盘得成三四五两渊源所以我
15、们把这一定理叫做勾股定理或商高定理这是中国最早关于勾股定理书面记载中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学3 朱家生.数学史M.高等教育出版社.1994,07.4 王国炳.商高不定方程的解与勾股数 J.宜宾学院学院报.1997,02:18-20.5 潘承洞,潘承彪.初等数论M.北京大学出版社.1992.6 李培业.商高定理的古证冥求 J.高等数学研究.2006,01:58-63 7 美史迪威.ELEMENTS OF NUMBER THEORYM世界图书出版公 司.2009.8 沈文选,张?,冷岗松.奥林匹克数
16、学中的数论问题 M.湖南师范大学出 版社.2009.9 汪克立.商高数组群J.成都教育学院学报.2003,12:73-74.10 美罗森.ELEMENTS OF NUMBER THEORY AND ITS APPLICATIONSM.世界图书出版公司.2009.11 唐周子.商高数猜想的完全证明 J.中国科技信息.2009,12:31-36.12 杨丽英.由商高不定方程看整边直角三角形 J.安庆师范学院学 报.2008,02:113-115 13 宋永林.四元数集上的商高方程J.咸宁师专学报.2001,03:18-21.14 乐茂华.关于本原商高数的Terai猜想J.北华大大学 报.2005,
17、02:108-109.15 李树新.关于丢番图方程J.广西民族学院学报.2006,02:2-9.16 晏能中.向人类智慧挑战的一个数学问题？?费马定理的风风雨雨J.达县师范高等专科学校学报.2000,02:28-29 17 李宏棋.费马大定理的初等证明J.西安工程大学学 报.2008,05:650-662 18 徐俊杰.数学难题探索MJ.西北工业大学出版社.2007.:发展趋势一历史背景商高定理商高定理是个历史悠久的著名定理我国古人在这方面的研究留下了一系列宝贵的著作周髀算经是我国古代流传下来的一部重要的数学著作该书原名周髀大约成书于公元世纪它包含了相当深刻的数学内容于商高曰窃闻乎大夫善数也请问昔者包牺周天历度夫天可不阶而升地不可得尺寸而度请问数安从出商高曰数之法出于圆方圆出于方方出于矩矩出于九九八十一故折矩以为句广三股修四径隅五既方之外半其一矩环而共盘得成三四五两渊源所以我们把这一定理叫做勾股定理或商高定理这是中国最早关于勾股定理书面记载中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学