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1、学习必备 欢迎下载 课 题 平行线和相交线的证明题 教学目标 掌握平行相关证明要领，熟悉几何语言的应用 重 点 几何语言的描述，因果关系的衔接 难 点 证明流程中因果关系的衔接 几何证明题的基本结构和方法：1正确地进行证明，先要探求证明的思路：这有三种方法：一种方法是从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”。有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”，或者也可以顺推与逆推相结合，从问题的两
2、头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。2“执果索因”的方法也就是证明的思维方法中的“综合法”，“由因导果”的方法也就是证明的思维方法中的“分析法”。“两头凑”的方法也就是证明的思维方法中的“分析综合法”。3“综合法”、“分析法”，“分析综合法”是证明的思维方法中的直接证法。注：今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法：反证法和同一法。这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们。八思维方法的训练 例 1 已知如图，AOC 为一直线，OB 为任一射线，OP 平分AOB，OE 平分BOC，求证：OEOP。分析：1、由逆推法分析要证明 OEOP，由垂直定义只要证明EOP=90，而
3、EOP 由1、2 所组成，只要证明1+2=90。由于 OE，OP 分别是BOC 和AOB 的角平分线，1=BOC，2=AOB，又由于 AOC 为一直线，AOB+BOC=180，那么(AOB+BOC)=90，即1+2=90。2 由顺推法分析：由 AOC 为直线推出AOB+BOC=180，由 OP，OE 分别为AOB，BOC 平分线推得 2=AOB，1=BOC，由POE=1+2=(AOB+BOC)推得POE=90 再推得 OPOE。3上述分析中和的两个推理是并列的，因而在证明中先写或没有什么关系，但是和共同的结果，所以必须在和的后面。证明：（1）学习必备 欢迎下载 （2）（3）POE=1+2（全量
4、等于部分之和）=(AOB+BOC)（等量代换）=180（等量代换）=90 OPOE（垂直定义）整个证明过程由 3 部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写。例 2、已知如图，AOC，BOD 为对顶角，OE 平分AOC，OF 平分BOD，求证：OE，OF 互为反向延长线。分析：（1）OE，OF 互为反向延长线是指 EOF 为一条直线，即证明 E、O、F 三点共线。证明这类问题首先要克服视觉给我们带来的干扰，如1 和2 并不能看成是一对对顶角，因为缺乏构成对顶角的必要条件。OE 与 OF 互为反向延长线，而这一点恰恰是本题证明的目标。（2）证明 E、O、F 三点共线通常采用EOF=180，
5、利用平角定义完成三点共线证明。（3）为证明EOF=180，只要证明1+AOF=180，从已知AOC 与BOD 为对顶角，可推知 A、O、B 三点共线：即AOF+2=180，只要证明1=2，题设中由AOC 和BOD为对顶角又可知AOC=BOD，又由 OE，OF 分别为AOC 和BOD 平分线，正好创设了证明1=2 的条件。证明：AOC，BOD 为对顶角（已知）AOC=BOD（对顶角相等）OE 平分AOC，OF 平分BOD（已知）1=AOC，2=BOD（角平分线定义）1=2（等量之半相等）AOC，BOD 为对顶角（已知）AB 为直线（对顶角定义）AOF+2=180（平角定义）AOF+1=180（等
6、量代换）言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为
7、任一射线平分平学习必备 欢迎下载 EOF=180（等量代换）OE，OF 互为反向延长线（平角定义）九剖析图形结构，挖掘等量关系 例 3、已知如图，OBOA，直线 CD 过 O 点，AOC=20，求证DOB 的度数。分析：题设中的条件给出了许多的角的关系，由 OBOA 可知1+2=90；由 CD 过 O 点，可知2+BOD=180，再由AOC=20，很容易求得DOB 的度数。解：（不是证明题，不能写“证明”，而写“解”字）OBOA（已知）AOB=90（垂直定义）1+2=90（等量代换）2=90-1（等式性质）直线 CD 过 O 点（已知）COD=180（平角定义）BOD+2=180（等量代换）B
8、OD=180-2（等式性质）=180-(90-1)（等量代换）=90+1（等式性质）1=20（已知）BOD=90+20（等量代换）=110（等式性质）答：BOD 的度数为 110（求解题最后写答）例 4、已知如图，OAOC，OBOD，AOD=3 BOC，求BOC的度数。分析：由题设条件（AOD=3 BOC，这是有关BOC 的关系式，由垂直条件可推出）AOB=90-BOC，COD=90-BOC，可见AOB，COD 都与BOC 相关，可运用代数方法，设元，用方程思想解题，直接设 BOC=x，用 x 表示其余的相关角，分析其等量关系，得到关于 x 的方程，这样做，无论从叙述或思考都比较简捷。解：设B
9、OC=x AOD=3 BOC（已知）AOD=3x 又AOD=AOB+BOC+COD（全量等于部分之和）言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证
10、法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 3x=AOB+x+COD（等量代换）2x=AOB+COD（等式性质）OAOC，OBOD（已知）AOB=90-x，COD=90-x（垂直定义）2x=90-x+90-x（等量代换）4x=180（等式性质）x=45 即BOC=45 答：BOC 的度数为 45。十例题：例 1如图所示，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，AOC=70，BOE=80，求DOF 的度数。精析：AOC、COE、BOE 组成一个平角，而AOC、BOE 的度数为已知，所以，可以先求出COE 的度数，再
11、根据对顶角相等得到DOF 的度数。解：AB 是直线（已知），AOC+COE+BOE=180（平角的定义），COE=180-AOC-BOE AOC=70，BOE=80（已知）COE=30，CD、EF 相交于点 O（已知）COE 与DOF 是对顶角（对顶角的定义）COE=DOF（对顶角相等）DOF=30。例 2如图所示，直线 AB 与 CD 相交于 O 点，OE 平分AOC，射线 OFCD 于点 O，且BOF=24，求COE 的度数。解：OFCD，BOF=24，AOC=180-COF-BOF =180-90-24 =66 言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法
12、正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 又OE 平分AOC COE=AOC =66 =33
13、 即COE 的度数为 33。以下两题和平行有关，等学习平行之后再看。例 3如图所示，AB/EF，求证：BCF=B+F。精析：过点 C 作 CD/AB，则B=1，由平行公理还可推出 CD/EF，2=F，有BCF=B+F。证明：过点 C 作 CD/AB，则B=1（两条线平行，内错角相等）AB/EF（已知），CD/AB CD/EF（平行公理推论）F=2（两直线平行，内错角相等）1+2=B+F 即BCF=B+F。例 4如图所示，已知 ABBC 于 B，EF 分别交 AC、BC 于 E、F，A+AEF=180，求证：EFBC。精析：由A 与AEF 互补可推得 AB/EF，然后由 ABBC 可推出 EFB
14、C。这样就把推论两条直线垂直的问题转化成证明两条直线平行的问题。证明：A+AEF=180（已知）AB/EF（同旁内角互补，两直线平行）B=EFC（两直线平行，同位角相等）ABBC（已知）B=90（垂线定义）EFC=90（等量代换）EFBC（垂线定义）。言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的
15、突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 课堂练习：一、平行线之间的基本图 1、如图已知，ABCD.,AF CF分别是EAB、ECD的角平分线，F是两条角平分线的交点；求证：12FAEC .2、已知 AB/CD，此时A、AEF、EFC和C的关系又如何？你能找出其中的规律吗？ABEFCD 3、将题变为如下图：AB/CD ABEFDC 此时A、AEF、EFD和D的关
16、系又如何？你能找出其中的规律吗？4、如图，AB/CD，那么AECCA与、有什么关系？ABCDEABCDEABCDEABDCE 二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】D B C A F E 言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中
17、的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 1.已知：如图，CD平分ACB，AC DE，DCE=FEB，求证：EF平分DEB 3、已知：如图 2-96,DEAO于 E,BOAO,FCAB于 C，1=2,求证：DO AB.3、如图，已知 EFAB，3=B，1=2，求证：CD AB。4、已知 ADBC，FGBC，垂足分别为 D、G，且1=2，猜想BDE 与C 有怎样的大小关系？试说明理由.三、两组平行线构造平行四边形 1
18、已知：如图，AB是一条直线，C=1，2 和D互余，BEFD于G 求证：ABCD A D F B E C 言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接
19、证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 2、如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，1=2，C=D，求证 DFAC 3、如图，M、N、T和 A、B、C分别在同一直线上，且1=3，P=T，求证：M=R。四、证特殊角 1、ABCD，BAC的平分线和ACD的平分线交于点E，则AEC的度数是 2、ABCD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分AEF，过点F作PFEP垂足为P，若PEF300，则PFC_ 3、如图，已知：DE AC，CD平分ACB，EF平分DEC，1与2 互余，求证：DG EF.4已知
20、：如图，ABDE，CM平分BCE，CNCM求证：B2DCN 图 7 图 8 A B C D E F 1 4 2 3(第 22 题)21GFEDBCA言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法
21、注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 M N A D B C b 2 1 a E 5.如图已知直线ab，AB平分MAD，AC平分NAD，DEAC于E，求证：1=2 4、求证：三角形内角之和等于 180 五、寻找角之间的关系 1、如图 2-97,已知：1=2，3=4，5=6.求证:ADBC.2、已知，如图，BCE、AFE是直线，AB CD，1=2，3=4。求证：AD BE。3如图 12，ABD和BDC的平分线交于 E，BE交 CD于点 F，1+2=90 求证：（
22、1）AB CD；（2）2+3=90 六、翻折 1、如图 1，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 D，C 的位置若EFB55，则AED 的度数为 。C 图 10 1 2 3 A B D F A D B C E F 1 2 3 4 E 言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的
23、突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 2、如图 2，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250 ，则B的度数等于 。3、如图（1），已知矩形ABCD，将BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若ADC=20，则DBC=的度数为 _。4、如图，在 RtABC 中，C90，A20 按图中所示方法将BCD 沿 BD 折叠，使点C 落在边 AB 上的点 C
24、 处，则BDC=_ 5、（2010江苏宿迁）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8，将其沿EF 折叠，则图中四个三角形的周长之和为 6.如图是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图，再沿 BF折叠成图.（1）若DEF=200，则图中CFE度数是多少？（2）若DEF=，把图中CFE用表示.七、综合证明：1已知，如上左图，ADBC，DAAB，DB 平分ADC，ABD30，求C 的度数.2已知，如上中图，DBFGEC，ABD60，ACE36，AP 平分BAC，求A B C D 第 16 题 C E D B C F C D A 图 1 DABCABCDEPFGA 1 2 B C（第 1 题）C A D C
25、 B 20 A E B F C D 图A E B F C D A E B F C D 图ABCDEFG言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证
26、法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 PAG 的度数.3已知，如上右图，AD 平分BAC，点 F 在 BD 上，FEAD 交 AB于 G，交 CA 的延 长线于 E，求证：AGEE.【作业】1.如下左图，EB DC，C=E，请你说出A=ADE的理由。2.如上中左图 AD是EAC的平分线，AD BC，B=30 o，求EAD、DAC、C的度数。3已知BOC与AOB互为邻补角，又 OD、OE分别是AOB、BOC的平分线，若AOB=80，求DOE的度数 4如上中右图，AB AB，BC BC，BC交 AB于点 D，
27、B与B 有什么关系？为什么？5如上右图，已知 AB CD，试再添上一个条件，使1=2 成立 6.已知：如图，AB，CD，EF三直线相交于一点 O，且 OEAB，COE=20，OG平分BOD，求BOG 的度数 言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的
28、思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 7如下左图，AB CD，1：2：3=1：2：3，说明 BA平分EBF的道理 8如中左图，已知CDAB/，CFAE/，求证：DCFBAE。9如中右图，CDAB/，AE平分BAD，CD与AE相交于F,ECFE。求证：BCAD/。10如右图，已知CDAB/，40 B，CN是BCE的平分线，CNCM，求BCM 的度数。11.如下左图，已知：直线 AB，CD 被直线 EF，
29、GH 所截，且1=2，求证：3+4=180 12.已知：如上中左图，1+2=180，3=100，OK 平分DOH，求KOH 的度数 FEDCBA21FEDCBANMEDCBA言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是
30、证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平学习必备 欢迎下载 13.已知：如上中右图 ADBE，1=2，求证：A=E 14.已知：如上右图，CD 平分ACB，ACDE，CDEF，求证：EF 平分DEB 言的描述因果关系的衔接难点证明流程中因果关系的衔接几何证明题的基本结构和方法正确地进行证明先要探求证明的思路这有三种方法一种方法是从结论着眼思考要使结论成立需要具备什么条件这样逆推直到需要的条件已经具备思考即从已知条件入手思考从已知条件可以顺推出什么结论来这样顺推直至结论成立这就是由因导果或者也可以顺推与逆推相结合从题的两头向中间靠拢从而发现题的突破口这也叫两头凑执果索因的方法也就是证明的思维方法中的合法分析法分析综合法是证明的思维方法中的直接证法注今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法反证法和同一法这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们八思维方法的训练例已知如图为一直线为任一射线平分平