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1、学习必备 欢迎下载 52.5.1 等比数列的前 n项和（第一课时）雷国强 一、教材分析 1.在教材中的地位与作用 在数列一章中，等比数列的前 n 项和是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是等差数列的前 n 项和与等比数列的顺延，也是前面所学函数的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前 n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观
2、察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前 n 项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前 n 项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。2教材编排与课时安排 提出问题问题解决等比数列前 n 项和公式推导强化公式运用（例题与练习）。教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和
3、”这部分内容授课时间 2 课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。二、教学目标分析 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：【知识与技能】理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前 n 项和；二是已知前 n 项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法（错位相减法）的运用。【过程与方法】感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、
4、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。【情感、态度与价值观】通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。三、重、难点分析【教学重点】等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。学习必备 欢迎下载【教学难点】等比数列前n项和公
5、式推导方法的理解。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的，何况错位相减法是初次接触，对学生来说是很新鲜的，因此，教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。四、学情与教法分析 1学情分析 （内容尚缺）2教法分析 根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学，以建构主义理论为指导，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，
6、注意适时适当讲解和演练相结合。3教学构想 等比数列前 n 项和公式的推导是本节课的重点内容，要积极引导学生观察实例，发现规律，类比推理，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。教学中可以给出等比数列前 n 项和公式推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和巩固练习的选择要全面，不能忽略 q=1 的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n 项和公式的综合运用涉及五个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练，但要注意避免难度较大的指数方程的求解。还要适当补充可以转化为等差数列、等比数列求和的混合数列求和问题。五、教具准备 教科书（人教 A版必修 5）多媒体课件和
7、操作系统 前项和是一项重要的基础内容从知识体系来看它不仅是等差数列的前项和与等比数列的顺延也是前面所学函数的延续实质上是一种特殊的函数而且还为后继深入学习提供了知识基础错位相减法是一种重要的数学思想方法是求解一类结构关系两者之间存在着一定联系可以进行类比拓展学生发现创新的能力等比数列的前项和公式的探究与导需要学生观察分析归纳猜想有助于培养学生的创新思维和探索精神是增强学生应用意识和数学能力的良好载体从知识的应用分类讨论错位相减等在数列求和问题中时常出现等比数列的前项和在现实生活中有着广泛的实际应用如储蓄分期付款的有关计算等而且公式导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法都是学生
8、今后学习和工作中学习必备 欢迎下载 六、教学过程 教学 环节 教 学 过 程 设计 意图 教 学 内 容 教 师 活 动 学生活动（预设）问 题 情 境 国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏它的发明者，问他想要什么.发明着说：请您在棋盘上的第一个格子上放 1 粒麦子，第二个格子上放 2 粒，第三个格子上放 4 粒即每一个格子中放的麦粒都是前一个格子麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子.国王觉得这个要求不高，便欣然答应.请问：国王需要给他多少麦子呢？打开多媒体课件，展示故事情境，展示结束后引导、启发学生分析、思考问题 漫 步 故事，感受数学问题 的情景化，趣味吸引的同 时有自己的猜测，并在教
9、师的引导、启发后展开自 己的思维分析 以故事引题,激发学生学 习 兴 趣 和热情，调动学习积极性，领悟 数 学 应 用价值。构 建 教 学 教师诱导 提取公比 q 11212111nnnqaqaqaqaaS ）（21111nqaqaaqa）（111nnqaSqa nnqaaSq11)1(当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q 当 q=1 时,Sn=na1。引导学生对上述计算中的nnqaaSq11)1(观 察 和思考，对接下来学生探讨并构建23111111=nnnqSa qa qa qa qa q 做铺垫，使学生更深刻的理解错位相减法 学生探讨 一般地，nnaaaaS321=11
10、1211aqaqqaan 则nqS 于是，当1q时，nS =当1q时，nS 分组讨论，得出结果 问 题 求 解 错位相减法 S64=1+2+22+23+263 2S64=2+22+23+24+264 相减得 S64=1264 S64=2641 经测算，需要麦粒 1.84 1019粒，约 7000亿吨，这么多小麦沿地球表面可铺3厘米厚，能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的 459倍，古印度国王显然无法满足西萨的要求。在师生相互交流中思维逐步展开，动笔演算，体会数学的应用价值，同时感受了错位相减法的优势。感 受 和 惊 叹 结 果 的“大”！进一步激励学
11、习的主动性。通过引言实例的探究解决，使学生感受数学的应用价值，同时也为下面的学习作好铺垫，在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法，激励学生模仿创新，作好认知准备。总 结 反 思 1一个公式：等比数列前 n 项和 当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q 当 q=1 时,Sn=na1 2两个方法：错位相减法、方程求解 3三个思想：分类讨论、方程、化归思想 提问，在师生相互交流的同时打开课件，帮助学生整合所学知识。回忆总结所学知识，加深印象。整理、归纳所学知识，完善 学 生 认 知结 构 和 知 识体系，明确本节学习内容。前项和是一项重要的基础内容从知识体系来看它不仅是等差数列
12、的前项和与等比数列的顺延也是前面所学函数的延续实质上是一种特殊的函数而且还为后继深入学习提供了知识基础错位相减法是一种重要的数学思想方法是求解一类结构关系两者之间存在着一定联系可以进行类比拓展学生发现创新的能力等比数列的前项和公式的探究与导需要学生观察分析归纳猜想有助于培养学生的创新思维和探索精神是增强学生应用意识和数学能力的良好载体从知识的应用分类讨论错位相减等在数列求和问题中时常出现等比数列的前项和在现实生活中有着广泛的实际应用如储蓄分期付款的有关计算等而且公式导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法都是学生今后学习和工作中学习必备 欢迎下载 作业 布置 教材 58 页“练
13、习”中第 1（2）、2 题。巩固知识 七、板书设计 仪 屏 幕 八、教学设计说明 问题情境故事化。采用故事来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨
14、性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上，有助于学生的阅读和理解，即时在黑板上整理总结归纳知识，作到知识和思想方法的一目了然，方便学生作笔记。通过几种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公式错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：
15、纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲例题，发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。等比数列前 n 项和 投 S64=1+2+22+23+263=？影 11212111nnnqaqaqaqaaS ）（21111nqaqaaqa ）（111nnqaSqa nnqaaSq11)1(当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q 当 q=1 时,Sn
16、=na1。前项和是一项重要的基础内容从知识体系来看它不仅是等差数列的前项和与等比数列的顺延也是前面所学函数的延续实质上是一种特殊的函数而且还为后继深入学习提供了知识基础错位相减法是一种重要的数学思想方法是求解一类结构关系两者之间存在着一定联系可以进行类比拓展学生发现创新的能力等比数列的前项和公式的探究与导需要学生观察分析归纳猜想有助于培养学生的创新思维和探索精神是增强学生应用意识和数学能力的良好载体从知识的应用分类讨论错位相减等在数列求和问题中时常出现等比数列的前项和在现实生活中有着广泛的实际应用如储蓄分期付款的有关计算等而且公式导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法都是学生今后学习和工作中