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1、因式分解 知识点回顾 1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算 2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma lnb ific a+b七)(2)运用公式法：平方差公式：a 2-b2=(a t)(a b)；完全平方公式：a2 2ab+b2=(a i)2(3)十字相乘法：x2+(a t)x 我)=(x+a)(x+b)因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；(3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。(4)最后考虑用分组分
2、解法 5、同底数幕的乘法法则：amJan=amt(m,n都是正整数)同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：(a t)2(L+b)3=(a+bf 6、幕的乘方法则：(a“)匸a mn(m,n都是正整数)幕的乘方，底数不变，指数相乘。如：(-35独 310 幕的乘方法则可以逆用：即 a mn=(a m)n=(an)m 如：=(42)3=(43)2 7(ab)a b、积的乘方法则：n=n“(n是正整数)积的乘方，等于各因数乘方的积。如：(违x 3 y 2 z)5=(-2)5(x3)5(y 2)5=一32 y10 zd、同底数幕的除法法则：a n a n a nLn(a.
3、0,m,n都是正整数，且m n)8=同底数幕相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4(ab)=a3b3 9、零指数和负指数；a =1,即任何不等于零的数的零次方等于 lo互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的
4、次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系-p 例题1.若若 27 =(a#0，p是正整数)，即一个不等于零的数的-p次方等于这个数的 p次方的倒数。a ap 如：23-=(丄)3=_1 2 8 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项 式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则
5、连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：-2x 2 y3 z 3xy=11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即 m(a+b+c)=ma+mb+mc(m,a,b,c 都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2x-3y)一3 y(x+y)12、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的
6、积相加。(3a+2b)(a-3b)如.(x+5)(x-6)三、知识点分析：1同底数幕、幕的运算：m n mtn a a=a(m,n都是正整数).例题 2.若52x1=125,求（x-2）2009 x 的值。例题3.计算x 练习 1.a2n=3,贝ij a 6n=-.2.设 4x=8y4，且 9y=27I，则 x-y 等于 2 积的乘方互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的
7、乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系4、(ab)=a b(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘 例题1.计算：k京“)I(m-n)n(nrp 4)】3.乘法公式 平方差公式：(a+b炉_b)=a 2 _b 2 完全平方和公式：(a+b j=a?+2ab+b?完
8、全平方差公式：(a b J=a 22ab+b?例题1.利用平方差公式计算：2009X2007-20082 例题2.利用平方差公式计算：_ 2007 20072-200个 2006 3.(a 2b+3cd)(a4-2b 3c d)考点一、因式分解的概念 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算 1、下列从左到右是因式分解的是()A.x(a-b)=ax-bx B.x 2-l+y 2=(x-l)(x+l)+y 2 C.x 2-l=(x+l)(x-l)D.ax+bx+c=x(a+b)+c 2、若4a2+kab+9b2可以因式分解为(2 a-3b)
9、2,则k的值为 _ 3、已知a为正整数，试判断 a2+a是奇数还是偶数?于 x的二次三项式x2 mx n有一个因式(x 5),且ti+n=17，试求m,n的值 考点二提取公因式法 提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式 找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母 3、字母的次数-相同字母的最低次数 习题 互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相
10、乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系1、将多项式20a3b2-12 a2bc分解因式，应提取的公因式是()互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的
11、各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系2、已知(19x-31)(13x-17)-(13x 整数，则a+b+c等于()A、-12 B、-32 C、38
12、 D、72(2)3a(x-y)-6b(y-x)(3)xn(4)P)2011,求(a A ab B、4a2 b C、4ab D、4a2bc 17)(1 lx 23)可因式分解为(ax+b)(8x t),其中a,b,c均为 4、先分解因式，在计算求值(1)(2 x4)2(3 x2)(-2 x lX3x 2”一 x(l-2x)(3 x t)其中x=1.5 (2)(a-2)(a2 4a 刃(a?1*2 a)戎屮*18 5、已知多项式x4+2012 x2+201 lx+2012有一个因式为 x2+ax+l,另一个因式为x2+bx+2012,求a+b的值 6、若ab2+1=0,用因式分解法求-ab(a2b
13、5 _ab3 _b)的值、已知，满足 _ _ 7 a b c aba brb-c ca 都是正整数)互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们
14、的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系(4)x3(5)(a_b)2_l(6)9(a_3、若n为(2n+1尸-(2 n-1)2 一定能被8整除 考点三、用乘法公式分解因式 平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反 习题 1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A、x?+4y2 B、x2-2y 2+1 C、X2+4 y2 D、-x2-4 y2 2、分解下列因式 (1)3x L 12()+2_()+2_ _ 2(X 2)(x 4)x 4 3(x
15、y)(x y)(7)2009 2&11 2010 2-l 完全平方式 a 2 2ab+b2=(a b)2 运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍屮间放的特点，其中首尾 两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题 1、在多项式x 2+2xy-y2-x 2+2xy-y 2x xy+y 24x l+4x中，能用完全平方公式 分解因式的有()A、B、C、D、互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘
16、底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系(4)(2(5)8x2 y8xy+2 y(7)4x2 12xy+9y 2 4x+6y-3 2、下列因式分解中，正确的有()2 4a a3b-2 a(4 看 b2 c 6a2 b=3a-bc(3-2a)-x2
17、2?2 y XJL2 y)_ _+_=_+3 3 3 A、0个 B、1个 C、2个 D、5个 3、如果x2+2(m3)x+16是一个完全平方式，那么 m应为()A、5 B、3 C、7 D、7 或1 4、分解因式(1)mx2-4mx+2m(2)2a2 4a+2(3)-X3+2x2-X (6)(x 2-2xy)2+2y 2(x 2-2xy)+y 4 5、已知 a b=2,ab=2,求a3b Ha2 b2+4 ab?2 2 6、证明代数式x2+y2 _10 x+8y+45的值总是正数 7、已知a,b,c分别是 MBC的三边长，试比较(a?+b2-c2)2与4“b2的大小 互为逆运算常用的因式分解方法
18、提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系+q px(4)x2+
19、x y 2-2 y-15 x2-10 x-24 a2 C2 b C2 a2Ci 考点四、十字相乘法 _ _ 1：解：X?+5x+6 二X?+(2 l)x 才 3乂 1 _3 _ =(x+2)(尹 3)1 X 2+1 X 3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式：x?7*6 解：原式=x2+(-1)+(6)x兀-1)(-6)1 二(x-l)(x-6)1-6 (-1)+(-6)=-7 练习 分解因式(1)X2+14xP4(2)a 2-15a+36(3)x2+4x 5 2、二次项系数不为1的二次三项式ax2+bx卞 条件
20、：(1)a=a】a2(2)C X1C2(3)b=aiC2+2 ci 分解结果：ax 2+bx+c=(ai x+ci)(a2 xC2)例题讲解1、分解因式：3x2-llxFo 分析：12 3 5 _ (-6)+(-5)=-11 解：3X2-11X+10=(X-2)(3X S)分解因式：(1)5x2+7x-6(2)3x2-7x(3)10 x2-17x+3(4)_6 y 2+11 y+10+P q 并且a b等于一次项系数 亠的值，那么它 就可以把二次三项式 PX t 分解成 x2+px 为天 2+(a+b 丈 1 Sb F(a 衣 b(+)例题讲解1、分解因式：X2+5 x+6 分析：将6分成两个
21、数相乘，且这两个数的和要等于 5o 由于 6=2 X 3=(-2)X(-3)=1 X 6=(-1)X(-6),从屮可以发现只有 2X3 的分解适合,即2+3=5 X2(1)二次项系数为1的一次二项式 屮，如果能把常数项 q分解成两个因式a、b的积,互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正
22、整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系3、二次项系数为1的多项式 例题讲解、分解因式：a 2-8ab-128b2 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于 a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1-16b _ 8b+(-16b)=-8b 解：a28ab-128b?二 a2+8b+(T6b)a+8b tl6b)=(a+8b)(a i6b)分解因式(1)x2-3xy+2 y
23、2(2)m 2 6mn(3)a 2-ab 6b2 4、二次项系数不为1的多项式 例题讲解 2x2-7xy+6 X?y23xy+2 1 _2y X 1 把xy看作一个整体1(3y)+(4y)=-7y (-1)+(-2)=-3 解：原式=(x 2y)(2x 一 3y)解：原式=(xy-1)(xy-2)分解因式：(1)2+-7xy 4 y 2()2 2-+2 a x 6ax 8 考点五、因式分解的应用 1、分解下列因式(1)3x2 一3(2)x3 y2-4x 3 x3+6x2 _27 x 互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项
24、式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系 (4)a2-b2-2b-1互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字
25、相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系(4 a2-4a F)a IT (2)(a?+疋 一c?_2ab)ja
26、trc厂 2、计算下列各题 3、解方程(1)16(x旬产=25(x 5)2(2)(2 xt3)2=(2 xt3)4、如果实数a=b 且g+h=ajJ，那么a+b的值等于 _ 10b+a b+1 L 22 3L42 52_62 20092 _20102 2011L20122 5、-+-+-+.-+-1+2 3十4 寸6 2009+2010 201 广 2012 6、若多项式x2+ax 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数 a的值（写 出3个）7、先变形再求值（1）已知2x _y=16 xy=4，求 2x4y x y 备值(2)已知 3x2-8x+2=0,求 一 12 x2
27、+32 x 的值 互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式
28、注意积的系数等于各因式系8、已知a、b、c为三角形三边，且满足 a2+b2+c2-ab-bc-ac=O，试说明该三角形是等边三角形 9、两个正整数的平方差等于 195,求出这两个正整数 10、阅读下列因式分解的过程，回答问题 1 贷+x(x 十)欢X 1)4=(1如)1+姑x(x+1)尸(1城)2(1 t)(4x)4(1)上述分解因式的方式是 _,共用了 _ 次。(2)若分解1 B刈X+1)屯(X+1)2+x(x+l)2 12，贝懦上述方法 _ 次，结果为 分解因式+(3)1 xx(x 1)x(x l)2 x(x l)n(n 为正整数)互为逆运算常用的因式分解方法提取公因式法七运用公式法平方差公式完全平方公式十字相乘法我因式分解的一般步骤如果多项式的各项有公因式那么先提公因式提出公因式或无公因式可提再考虑可否运用公式或十字相乘法对二次同底数幕相乘底数不变指数相加注意底数可以是多项式或单项式如幕的乘方法则匸都是正整数幕的乘方底数不变指数相乘如独幕的乘方法则可以逆用即如积的乘方法则是正整数积的乘方等于各因数乘方的积如违一同底数幕的除法法正整数即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数如丄单项式的乘法法则单项式与单项式相乘把他们的系数相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母则连同它的指数作为积的一个因式注意积的系数等于各因式系