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1、圆与相似的综合运用 一、考标要求:（1）灵活掌握与圆有关的概念，左理，性质和判定。（2）充分利用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态型问题、探索型问 题，并会探索平面图形的镶嵌问题，且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计。（3）综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题.（4）考察了数形结合的思想、分类讨论的思想以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法：同时，考査学生逻辑推理的能力、分析和解决问题的 能力，以及创新意识和实践的能力.二、典例精析 例1.如图，点A,B,C,D在OO上，=与BC相交于点E,AEED,（1）证
2、明（2）试判断直线AF与OO的位宜关系，并给岀证明.延长 到点F,使吩尹，连结曲 例2如图，已知直线歹=rn（x4）（加0）与x轴、y轴分别交于A、B两点,以OA为 直径作半圆，圆心为C.过A作X轴的垂线AT,MM线段OB上一动点（与O点不重合）,过M点作半圆的切线交直线AT于M交AB于F,切点为P.连结CN、CM.（1）证明：ZMC=90：（2）设OM=x,AN=y,求y关于x的函数解析式；（3）若OM=1,当加为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的而积.【反馈练习】1.如图，在Rt ABC中，ZACB=90,以AC为直径的00与AB边交于点D,过点D 作00的切线，交BC于点E.（1求证
3、：点E是边BC的中点：（2）若EC=3,BD=2品,求0O的直径AC的长度：（3）若以点O,D,E,C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC的形状，并说明理由.有关的实际应用问题动态型问题探索型问题并会探索平面图形的镶嵌问题且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计综合运用圆方程函数三角相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题考察了数形结合的思想分类讨论的思想以及及创新意识和实践的能力二典例精析例如图点在上与相交点延长到点使吩尹连结曲证明试判断直线与的位宜关系并给岀证明例如图已知直线歹加与轴轴分别交于两点以为直径作半圆圆心为过作轴的垂线线段上一动点与点不重合过点练习如图在中以为直径的与边交于点过点作
4、的切线交于点求证点是边的中点若品求的直径的长度若以点为顶点的四边形是正方形试判断的形状并说明理由如图是半圆的直径过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点连结本题满分分如2如图，A3是半圆。的直径，过点。作弦4D的垂线交切线4C于点G OC与半圆0 交于点E,连结BE,DE 3.（本题满分12分）如图，是0O的直径，ZBAC=60%P是上一点，过P作 AB的垂线与AC的延长线交于点0,过点C的切线CD交PQ于D,连结OC.（1）求ilE：CD0是等腰三角形：（2）如果 CDQ 竺HCOB,求BP:PO的值.c 2,有关的实际应用问题动态型问题探索型问题并会探索平面图形的镶嵌问题且能用几种常见的图形进
5、行简单的镶嵌设计综合运用圆方程函数三角相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题考察了数形结合的思想分类讨论的思想以及及创新意识和实践的能力二典例精析例如图点在上与相交点延长到点使吩尹连结曲证明试判断直线与的位宜关系并给岀证明例如图已知直线歹加与轴轴分别交于两点以为直径作半圆圆心为过作轴的垂线线段上一动点与点不重合过点练习如图在中以为直径的与边交于点过点作的切线交于点求证点是边的中点若品求的直径的长度若以点为顶点的四边形是正方形试判断的形状并说明理由如图是半圆的直径过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点连结本题满分分如4、如图，在平而直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，OM与尤轴的正半轴交于
6、 4 B两点，A在3的左侧，且04 0B的长是方程疋_12尤+27=0的两根，0N是QM 的切线，N为切点，N在第四象限.（1）求OM的直径.（2）求直线ON的解析式.图1有关的实际应用问题动态型问题探索型问题并会探索平面图形的镶嵌问题且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计综合运用圆方程函数三角相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题考察了数形结合的思想分类讨论的思想以及及创新意识和实践的能力二典例精析例如图点在上与相交点延长到点使吩尹连结曲证明试判断直线与的位宜关系并给岀证明例如图已知直线歹加与轴轴分别交于两点以为直径作半圆圆心为过作轴的垂线线段上一动点与点不重合过点练习如图在中以为直径的与
7、边交于点过点作的切线交于点求证点是边的中点若品求的直径的长度若以点为顶点的四边形是正方形试判断的形状并说明理由如图是半圆的直径过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点连结本题满分分如5.如图12 1所示，在厶ABC中，AB=AC=2,ZA=90,O为BC的中点，动点E 在34边上自由移动，动点F在AC边上自由移动.（1）点E,F的移动过程中，OEF是否能成为ZEOF=45的等腰三角形？若能,请指出OEF为等腰三角形时动点E,F的位置.若不能，请说明理由.（2）当ZEOF=45?时，设BE=x,CF=y,求，与;v之间的函数解析式，写出x 的取值范围.（3）在满足（2）中的条件时，若以。为圆心的圆与
8、右3相切（如图12-2）,试探究直 线EF与OO的位豊关系，并证明你的结论.图 12-1 图 12-2 有关的实际应用问题动态型问题探索型问题并会探索平面图形的镶嵌问题且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计综合运用圆方程函数三角相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题考察了数形结合的思想分类讨论的思想以及及创新意识和实践的能力二典例精析例如图点在上与相交点延长到点使吩尹连结曲证明试判断直线与的位宜关系并给岀证明例如图已知直线歹加与轴轴分别交于两点以为直径作半圆圆心为过作轴的垂线线段上一动点与点不重合过点练习如图在中以为直径的与边交于点过点作的切线交于点求证点是边的中点若品求的直径的长度若以点为
9、顶点的四边形是正方形试判断的形状并说明理由如图是半圆的直径过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点连结本题满分分如6.如图，A是以BC为直径的OO上一点，AD丄BC于点D,过点B作00的切线，与 C4的延长线相交于点E,G是AD的中点，连结CG并延长与施相交于点F,延长AF 与CB的延长线相交于点P.(1)求证：BF=EF；(2)求证：P4是00的切线：(3)若FG=BF,且00的半径长为30,求3D和FG的长度.有关的实际应用问题动态型问题探索型问题并会探索平面图形的镶嵌问题且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计综合运用圆方程函数三角相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题考察了数形结合的思想分
10、类讨论的思想以及及创新意识和实践的能力二典例精析例如图点在上与相交点延长到点使吩尹连结曲证明试判断直线与的位宜关系并给岀证明例如图已知直线歹加与轴轴分别交于两点以为直径作半圆圆心为过作轴的垂线线段上一动点与点不重合过点练习如图在中以为直径的与边交于点过点作的切线交于点求证点是边的中点若品求的直径的长度若以点为顶点的四边形是正方形试判断的形状并说明理由如图是半圆的直径过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点连结本题满分分如L 解：(1)在和FDA 中，1 1 BD ED 2:FB=BD,AE=ED,:.=一 2 2 FD AD 3 又 IZBDE=ZFDA,/ABDE/FDA (2)直线AF与0O相
11、切.证明：连结Q4,OB,OC.9：AB=AG BO=CO,OA=OA,/.AOABAOAC.ZOAB=ZOAC.所以AO是等腰三角形ABC顶角ABAC的平分线.AO 丄 BC.由得 ZEBD=ZAFD.:.BE/FA.由AO丄BE知，AO丄FA.:.直线&4与0O相切.【点评】.这是一道利用圆内的有关性质，得出三角形相似的结论。再次巩固了全等三角形,相似三角形,平行线的知识，得岀直线与圆的位宜关系.同时同学们在做题的过程中，要注意 思维的逻借性和书写的规范性.4 尸J(3)OM=1,.AN=y=4,此时S咖彩恋加=10 T直线AB平分梯形ANMO的面积,AN=5,:.FG=|17 3 17
12、1 TF点在直线A/N上，F点的纵坐标为尸 F(线)U加(X4)上/.-T=加(4)/.m=百【点评】这是一道是几何与代数的相结合的中考压轴题.包含了相似的判宦和性质，切线的 性质等等；在变化中建立函数模型以及面积、坐标与线段之间的巧妙转化.的确是一道覆盖 而广，综合性强的妙题.2、解(1)证明：9：AT丄AO,OMLAO.AO是QC的直径,:.AT.OM是OC的切线.又：MN切0C于点P ZCMN=*ZOMM ZCNMZANM 9：OM/AN ZANM+ZOMN=180o.ZCMN+ZCNM 今ZOMN+学ANM OMN+*ZANM)=90。，ZCM/V=90 (2)由(1)可知：Zl+Z2
13、=90%OM/?/MOCsRtb CAN W 而Z2+Z3=90(AZ1=Z3；_ OC=AN 直线y=-m(x-4)交x轴于点A,交y轴于点B,:.A(4,0),:.AC=CO=r：OM=x,AN=y,.疔=|5 3 点F的横坐标为4一号=j(0,1),N(4,4)直线MN的解析式为尸 ANF的面积为5过点F作FG丄AN于G,点F又在直 有关的实际应用问题动态型问题探索型问题并会探索平面图形的镶嵌问题且能用几种常见的图形进行简单的镶嵌设计综合运用圆方程函数三角相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题考察了数形结合的思想分类讨论的思想以及及创新意识和实践的能力二典例精析例如图点在上与相交点延长到点使吩尹连结曲证明试判断直线与的位宜关系并给岀证明例如图已知直线歹加与轴轴分别交于两点以为直径作半圆圆心为过作轴的垂线线段上一动点与点不重合过点练习如图在中以为直径的与边交于点过点作的切线交于点求证点是边的中点若品求的直径的长度若以点为顶点的四边形是正方形试判断的形状并说明理由如图是半圆的直径过点作弦的垂线交切线于点与半圆交于点连结本题满分分如