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1、一、知识梳理 1.因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积 例：111()333axbxx ab 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2.因式分解的方法：（1）提公因式法：定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。系数取各项系数的最大公约数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂 例：333234221286a b ca b ca b c的
2、公因式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是 12、-8、6，它们的最大公约数为 2；字母部分33323422,a b c a b c a b c都含有因式32a b c，故多项式的公因式是232a b c.提公因式的步骤 第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1：把2233121824a baba b分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是 6，相同字母的最低次幂是 ab，
3、故公因式为 6ab。解：2233121824a baba b 226(234)ababa b 例 2：把多项式3(4)(4)xxx 分解因式 解析：由于4(4)xx ，多项式3(4)(4)xxx 可以变形为3(4)(4)xx x,我们可以发现多项式各项都含有公因式（4x）,所以我们可以提取公因式（4x）后,再将多项式写成积的形式.解：3(4)(4)xxx =3(4)(4)xx x =(3)(4)x x 例 3：把多项式22xx 分解因式 解：22xx=2(2)(2)xxx x （2）运用公式法 定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。2222
4、233223322.()().2().()().()()aabab abbabbabcabab aabbdabab aabb逆用平方差公式：逆用完全平方公式：a逆用立方和公式：（拓展）逆用立方差公式：（拓展）注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例 1：因式分解21449aa 式分解是对多项式进行的一种恒等变形是整式乘法的逆过程因式分解的方法提公因式法定义如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面将多项式写成因式乘积的形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多
5、项式的数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂例的公因式是解析从多项式的系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们的最大公约数为字母部分都含有因式故多项式的公因式是提公因式的步骤第一步找出公因式第二步提公因式后对另一个因式要注意整理并化简务必使因式最简多项式中第一项有负号的要先提取符号例把分解因式解析本题的各项系数的最大公约数是相同字母的最低次幂是故公因式为解例把多项式分解因式解析由于多项式可以变形为 解：21449aa=2(7)a 例 2：因式分解222()()aa bcbc 解：222()()aa bcbc =2()abc （3）分组分解法（拓展）将多项式分组后能提公因式进行因式分解
6、；例：把多项式1abab 分解因式 解：1abab =()(1)abab =(1)(1)(1)(1)a bbab 将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式2221aabb因式分解 解：2221aabb=222(2)1()1(1)(1)aabbababab （4）十字相乘法（形如2()()()xpq xpqxp xq形式的多项式，可以考虑运用此种方法）方法：常数项拆成两个因数pq和，这两数的和pq为一次项系数 2()xpq xpq x p x q 2()()()xpq xpqxp xq 例：分解因式230 xx 分解因式252100 xx 补充点详解 补充点详解 我们可以将-30 分解
7、成 pq 的形式，我们可以将 100 分解成 pq 的形式，使 p+q=-1,p q=-30,我们就有 p=-6,使 p+q=52,p q=100,我们就有 p=2,q=5 或 q=-6,p=5。q=50或 q=2,p=50。式分解是对多项式进行的一种恒等变形是整式乘法的逆过程因式分解的方法提公因式法定义如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面将多项式写成因式乘积的形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式的数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂例的公因式是解析从多项式的系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们的最大公约数为字母部分都含有因式故多项式的公因式是提公因式
8、的步骤第一步找出公因式第二步提公因式后对另一个因式要注意整理并化简务必使因式最简多项式中第一项有负号的要先提取符号例把分解因式解析本题的各项系数的最大公约数是相同字母的最低次幂是故公因式为解例把多项式分解因式解析由于多项式可以变形为所以将多项式2()xpq xpq可以分 所以将多项式2()xpq xpq可以分 解为()()xp xq 解为()()xp xq x 5 x 2 x-6 x 50 230 xx(6)(5)xx 252100 xx(50)(2)xx 3.因式分解的一般步骤：如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法
9、，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。二、例题解析 提公因式法 提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.【例 1】分解因式：2121510nna abab ba(n为正整数)212146nmnmabab(
10、m、n为大于 1 的自然数)【巩固】分解因式：2122()()()2()()nnnxyxz xyyxyz，n为正整数.式分解是对多项式进行的一种恒等变形是整式乘法的逆过程因式分解的方法提公因式法定义如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面将多项式写成因式乘积的形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式的数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂例的公因式是解析从多项式的系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们的最大公约数为字母部分都含有因式故多项式的公因式是提公因式的步骤第一步找出公因式第二步提公因式后对另一个因式要注意整理并化简务必使因式最简多项式中第一项有负号的要先提
11、取符号例把分解因式解析本题的各项系数的最大公约数是相同字母的最低次幂是故公因式为解例把多项式分解因式解析由于多项式可以变形为【例 2】先化简再求值，2y xyxyxyx，其中2x ，12y 【巩固】求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)xxxxxxx，其中23x .【例 3】已知：2bca ，求22221()()(222)33333a abcbcabcbca 的值.【巩固】分解因式：322()()()()()xxyzyzax z zxyx y zxy xza .公式法 平方差公式：22()()abab ab 公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；每一项都可以
12、化成某个数或式的平方形式；右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：2222()aabbab 2222()aabbab 左边相当于一个二次三项式；左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；左边中间一项是这两个数或式的积的 2 倍，符号可正可负；右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.一些需要了解的公式：3322()()abab aabb 3322()()abab aabb 33223()33abaa babb 33223()33abaa babb 式分解是对多项式进行的一种恒等变形是整式乘法的逆过程因式分解的方法提公因式法定义如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面将多项式写成因式乘积的形式这个变形就是提公因式法分解因式公因式多项式的数字母取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幂例的公因式是解析从多项式的系数和字母两部分来考虑系数部分分别是它们的最大公约数为字母部分都含有因式故多项式的公因式是提公因式的步骤第一步找出公因式第二步提公因式后对另一个因式要注意整理并化简务必使因式最简多项式中第一项有负号的要先提取符号例把分解因式解析本题的各项系数的最大公约数是相同字母的最低次幂是故公因式为解例把多项式分解因式解析由于多项式可以变形为