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1、精品资料 欢迎下载 五年级奥数集训专题讲座（七）包含与排除 包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。如：集合 A加集合 B组成一个新的集合 C，再计算 C的元素时为：C=A+B-AB A AB B（韦恩图）例 1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37+42=
2、79（人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数学作业都完成的有：79 48=31（人）37+42 48=31（人）答：语文、数学作业都完成的有 31 人。想一想：下面算式有何道理？(l)37（48 42)=31（人）(2)42（48 37）=31（人）【疯狂操练】：(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？解：语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的
3、有 87 人，那么总人数是：65+87=152（人）其中有一部分是语文数都优秀的，所以语文数学都优秀的有：152122=30（人）答：语文数学都优秀的有 30 人。(2）四年级一班有 54 人，订阅 小学生优秀作文 和 数学大世界 两种读物的有 13 人，订 小学生优秀作文 的有 45 人，每人至少订一种读物，订 数学大世界 的有多少人？解：根据两种读物的有 13 人，订 小学生优秀作文 的有 45 人，每人至少订一种读物，可知只订了 数学大世界 的有：54-45=9（人），而两种读物都订了的有 13人，所以订了 数学大世界 的有：13+9=22（人）答：订 数学大世界 的有 22 人。(3）
4、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 精品资料 欢迎下载 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？解：24+17-8=33（人）答：这个文艺组一共有 33 人。例 2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25 15 10（人）。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答
5、对的人数 10+23=33（人）。所以，两题都答得不对的有 36 33=3（人）。36(25 15)+23=3（人）想一想：下面算式有何道理。(l)36(23 15)+25=3（人）(2)36(25 15)+(23 15)+15 3（人）【疯狂操练】：(l）五（1）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组，23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？解：19 人两个小组都参加 则只参加数学小组为 2519=6 人，只参加航模小组为 2319=4 人 所以参加小组活动的为 4+6+19=29 人，两个小组都没参加的为 4029=11 人 (2）一
6、个班有 55 名学生，订阅 小学生数学报 的有 32 人，订阅 中国少年报 的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？解：订 小学生数学报 的 32 人，订 中国少年报 的 29 人，两种报纸都订的有 25 人，实际上订阅的总人数是：29+3225=36 人，那么两种报纸都没订的有 5536=19 人。答：两种报纸都没订的有 19 人。(3）某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？解：只获作文比赛奖的 14-3=11 人，只获数学比赛
7、奖的 12-3=9 人。获奖人数一共有 11+9+3=23人，没获奖的就有 50-23=27 人。例 3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 27 人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数 5625=31（人），再求两科竞赛同时参加的人数：28+27 31=24（人）。重复包含时为了不重复的计数应从他们的和中排除重复部分如集合加集合组成一个新的集合再计算的元素时为韦恩图例一个班有人班主任在班会上问谁做完语文作业请举手有人举手又问谁做完数学作业请举手有人举手
8、最后问谁语文学作业的有人一共有人多于全班人数这是因为语文数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次在统计做完数学作业的人数时又算了一次这样就多算了一次所以这个班语文数学作业都完成的有人人答语文数学作业都秀成绩其中语文成绩优秀的有人数学优秀的有人语文数学都优秀的有多少人解语文成绩优秀的有人数学优秀的有人那么总人数是人其中有一部分是语文数都优秀的所以语文数学都优秀的有人答语文数学都优秀的有人四年级一班有人精品资料 欢迎下载 28+27（56 25)=24（人）答：同时参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。想一想：下面算式有何道理 (l)28（56 2527）=24（人）(2)27（56
9、2528）=24（人）【疯狂操练】：(1）一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？解：因为除了两样都不会的 4 人，有 364=32 人，这 32 人分为会英语的，会法语的，两样都会的，而会英语和会法语中包括两样都会的所以就是：24+18=42（人）比 32 人多的人数就是两样都会的人数，即 4232=10（人）。综合列式：241836410（人）答：两样都会的有 10 人.(2）一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少
10、人？解：解法同上题：即：69+5210312=30（人）答：这两种棋都会下的有 30 人.(3）三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算，这个班共有多少人？解：参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，那么共 40+20=60 人，其中 14 个两个队都参加了，所以只有：6014=46 人，再加上两个队都没参加的，一共有 46+10=56 人。即：40+2014+10=56（人）答：这个班共有 56 人 例 4：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中
11、有 24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法共有多少幅？【思路导航】由题意知，24 幅作品是一、二、三、四、五、六年级参展作品的总数；22 幅作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24+22=46 幅），这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六年级的共参展的 10 幅即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数再除以 2，即可求出其它年级参展的作品。(24+22 10)2=18（幅）答：其他年级参展的作品共有 18 幅。练一练(l）科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有
12、 110 件不重复包含时为了不重复的计数应从他们的和中排除重复部分如集合加集合组成一个新的集合再计算的元素时为韦恩图例一个班有人班主任在班会上问谁做完语文作业请举手有人举手又问谁做完数学作业请举手有人举手最后问谁语文学作业的有人一共有人多于全班人数这是因为语文数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次在统计做完数学作业的人数时又算了一次这样就多算了一次所以这个班语文数学作业都完成的有人人答语文数学作业都秀成绩其中语文成绩优秀的有人数学优秀的有人语文数学都优秀的有多少人解语文成绩优秀的有人数学优秀的有人那么总人数是人其中有一部分是语文数都优秀的所以语文数学都优秀的有人答语文数学都优秀
13、的有人四年级一班有人精品资料 欢迎下载 是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32 件。其他年级参展的作品共有多少件？解：由“有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的”可知二年级比一年级多10 件，根据“一、二年级参展的作品共有 32 件”可得一年级展出科技作品数是（3210）2=11 件，则二年级展出作品数是 3211=21 件，全校展出作品总数为：11+110=121 件或：21+100=121 件。那么除了一二年级的展出作品数外，其它年级展出作品数为：12132=89件。答：其他年级参展的作品共有 89 件.(2）六（1）儿童节那天，学校的画廊里
14、展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25 幅画不是三年级的，有 19 幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有 8 幅，其他年级参展的画共有多少幅？解：25 幅画不是三年级的，19 幅画不是四年级的，那么四年级展出的图画作品比三年级多 2518=6 幅.由于三四年级共有 8 幅，所以三年级的作品有（86）2=1 幅。那么四年级的有 81=7 幅。则展出作品总数为：1+25=26，或 7+19=26幅，那么其它年级展出作品数为 268=18 幅。答：其他年级参展的画共有 18 幅。(3）实验小学举办学生书法展。学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有 28 幅不是五年级的，有 24 幅不
15、是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少 4 幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？解：28 幅不是五年级的，也就是六年级+其他年级=28 幅；24 幅不是六年级的。也就是五年级+其他年级=24 幅；上述两个式子相加得：(五年级+六年级)+2其他年级=28+24，因此其他年级的有：(28+24-20)2=16 幅，又因为一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少 4 幅，因此一、二年级参展的书法作品共有：(16 4)2=6 幅。重复包含时为了不重复的计数应从他们的和中排除重复部分如集合加集合组成一个新的集合再计算的元素时为韦恩图例一个班有人班主任在班会上问谁做完语文作业请举手有人举手又问谁做完数学作业请举手有人举手最后问谁语文学作业的有人一共有人多于全班人数这是因为语文数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次在统计做完数学作业的人数时又算了一次这样就多算了一次所以这个班语文数学作业都完成的有人人答语文数学作业都秀成绩其中语文成绩优秀的有人数学优秀的有人语文数学都优秀的有多少人解语文成绩优秀的有人数学优秀的有人那么总人数是人其中有一部分是语文数都优秀的所以语文数学都优秀的有人答语文数学都优秀的有人四年级一班有人