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1、一次函数解析式典型题型 一.定义型（一次函数即 X 和 Y 的次数为 1）例 1.已知函数ymxm()3328是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知mm28130 mm33 m3，故一次函数的解析式为yx 33 注意：利用定义求一次函数ykxb解析式时，要保证k 0。如本例中应保证m 30 二.点斜型（已知斜率和经过的一点）例 2.已知一次函数ykx 3的图像过点（2，1），求这个函数的解析式。解：一次函数ykx 3的图像过点（2，1）123k，即k 1 故这个一次函数的解析式为yx 3 变式问法：已知一次函数ykx 3，当x 2时，y1，求这个函数的解析式。三.两点型（已知图像经过的两
2、点）已知某个一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为 解：设一次函数解析式为ykxb 由题意得024kbb kb24 故这个一次函数的解析式为yx24 四.图像型 例 4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为 y=-2x+2。y 2 O 1 x 解：设一次函数解析式为ykxb 由图可知一次函数ykxb的图像过点（1，0）、（0，2）有020 kbb kb22 故这个一次函数的解析式为yx22 五.斜截型（已知斜率 k 和截距 b）两直线平行，则 k1=k2；两直线垂直，则 k1=-1/k2 例 5.已知直线ykxb与直线yx 2
3、平行，且在 y 轴上的截距为 2，则直线的解析式为 解析：两条直线l1：yk xb11；l2：yk xb22。当kk12，bb12时，ll12/直线ykxb与直线yx 2平行，k2。又直线ykxb在 y 轴上的截距为 2，b2 故直线的解析式为yx22 六.平移型(向上/右平移则截距增加；向左平移则截距减小)例 6.把直线yx21向下平移 2 个单位得到的图像解析式为 y=2x-1。解析：设函数解析式为ykxb，直线yx21向下平移 2 个单位得到的直线ykxb与直线yx21平行 k2 直线ykxb在 y 轴上的截距为b 121，故图像解析式为yx21 七.实际应用型 例 7.某油箱中存油 2
4、0 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的函数关系式为 Q=-0.2t+20。解：由题意得Qt2002.，即Qt0220.Qt 0100，故所求函数的解析式为Qt0220.（0100 t）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八.面积型 例 8.已知直线ykx 4与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4，则直线解析式为 y=2x-4 或y=-2x-4。解：易求得直线与 x 轴交点为（4k，0），所以4412|k，所以|k 2，即k 2 故直线解析式为yx24或yx24 九.对称型 关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标取
5、相反数；故一次函数的解析式为注意利用定义求一次函数解析式时要保证如本例中应保证二点斜型已知斜率和经过的一点例已知一次函数的图像过点求这个函数的解析式解一次函数的图像过点即故这个一次函数的解析式为变式问法已知一次这个函数的解析式为解设一次函数解析式为由题意得故这个一次函数的解析式为四图像型例已知某个一次函数的图像如图所示则该函数的解析式为解设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点有故这个一次函数的解析式为五析两条直线当时直线与直线平行又直线在轴上的截距为故直线的解析式为六平移型向上右平移则截距增加向左平移则截距减小例把直线向下平移个单位得到的图像解析式为解析设函数解析式为直线向下平移个单位得
6、到的直线与直线 关于 y 轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数；关于原点对称，横坐标与纵坐标都取相反数。若直线l与直线ykxb关于 （1）x 轴对称，则直线 l 的解析式为ykxb （2）y 轴对称，则直线 l 的解析式为ykxb （3）直线 yx 对称，则直线 l 的解析式为ykxbk1 （4）直线yx对称，则直线 l 的解析式为ykxbk1 （5）原点对称，则直线 l 的解析式为ykxb 例 9.若直线 l 与直线yx21关于 y 轴对称，则直线 l 的解析式为_y=-2x-1_。解：由（2）得直线 l 的解析式为yx21 练习题：1.当 m=_-2_ 时，函数 y=(m-2)32mx+5
7、是一次函数，此时函数解析式为 y=-4x+5 。2.已知直线 y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 6，则函数的解析式为 .3.直线 y=kx2 与 x 轴交于点（1，0），则 k=。4.若直线 y=kxb 平行直线 y=3x4，且过点（1，-2），则 k=.5.已知:一次函数的图象与正比例函数 Y=-32X 平行,且通过点(0,4),(1)求一次函数的解析式.(2)若点M(-8,m)和 N(n,5)在一次函数的图象上,求 m,n 的值 6.已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数 y=12 x 的图象相交于点(2,a),求 (1)a的值 (2)k,b
8、的值 (3)这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形面积.7 函数 y=2x4 的图象经过_象限，它与两坐标轴围成的三角形面积为_周长为 8若函数 y=4xb 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为 6，那么 b=_ 9已知一次函数的图象经过点 A（1，3）和点（2，3），（1）求一次函数的解析式；（2）判断点 C（2，5）是否在该函数图象上。10 已知 2y3 与 3x1 成正比例，且 x=2 时，y=5,（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）若点（a，2）在这个函数的图象上，求 a.11一个一次函数的图象，与直线 y=2x1 的交点 M 的横坐标为 2，与直线 y=x
9、2 的交点 N 的纵坐标为 1，求这个一次函数的解析式 一次函数拓展【典型例题】例 1.已知：，当 m 取何值时，y 是 x 的一次函数，这时，若，求 y 的取值范围。分析：为一次函数的条件是，x 的指数 n1 解：据题意，得 解得 故一次函数的解析式为注意利用定义求一次函数解析式时要保证如本例中应保证二点斜型已知斜率和经过的一点例已知一次函数的图像过点求这个函数的解析式解一次函数的图像过点即故这个一次函数的解析式为变式问法已知一次这个函数的解析式为解设一次函数解析式为由题意得故这个一次函数的解析式为四图像型例已知某个一次函数的图像如图所示则该函数的解析式为解设一次函数解析式为由图可知一次函数
10、的图像过点有故这个一次函数的解析式为五析两条直线当时直线与直线平行又直线在轴上的截距为故直线的解析式为六平移型向上右平移则截距增加向左平移则截距减小例把直线向下平移个单位得到的图像解析式为解析设函数解析式为直线向下平移个单位得到的直线与直线 当 m3 时，一次函数为 由 解得 例 2.已知一次函数 （1）当 m 取何值时，y 随 x 的增大而减小？（2）当 m 取何值时，函数的图象过原点？（3）是否存在这样的整数 m，使函数的图象不过第四象限？如果存在，请求出 m 的值；如果不存在，请说明理由。分析：一般形式中 （1）k0 即 （2）b0 即 （3）经过一二三象限或一三象限即 解：（1）由 解
11、得 当时，y 随 x 的增大而减小 （2）由，解得 当时，函数的图象过原点 （3）假设存在满足条件的 m，则 解得 ，而 m 在这个取值范围内无整数解 不存在这样的整数 m。例 3.已知：经过点（-3，-2），它与 x 轴，y 轴分别交于点 B、A，直线经过点（2，-2），且与 y 轴交于点 C（0，-3），它与 x 轴交于点 D （1）求直线的解析式；（2）若直线与交于点 P，求的值。解：（1）过点（-3，-2）解得 m4 的解析式为 过点（2，-2），C（0，-3）故一次函数的解析式为注意利用定义求一次函数解析式时要保证如本例中应保证二点斜型已知斜率和经过的一点例已知一次函数的图像过点求这
12、个函数的解析式解一次函数的图像过点即故这个一次函数的解析式为变式问法已知一次这个函数的解析式为解设一次函数解析式为由题意得故这个一次函数的解析式为四图像型例已知某个一次函数的图像如图所示则该函数的解析式为解设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点有故这个一次函数的解析式为五析两条直线当时直线与直线平行又直线在轴上的截距为故直线的解析式为六平移型向上右平移则截距增加向左平移则截距减小例把直线向下平移个单位得到的图像解析式为解析设函数解析式为直线向下平移个单位得到的直线与直线 解得 的解析式为 （2）在中，由 x0，得 y4 A（0，4），在中，由 y0，得 x6 D（6，0），OD6 由，得
13、 过 P 点作 PMy 轴于点 M 则 例 4.如图，已知点 A（2，4），B（-2，2），C（4，0），求ABC 的面积。分析：直接求显得困难，延长 AB 交 x 轴于 D 点，这样只需求出ACD 和BCD 的面积即可，而这两个三角形底边 CD 在 x 轴上，高分别是 A、B 两点的纵坐标的绝对值。解：延长 AB 交 x 轴于 D 点 设过 A、B 两点的直线的解析式为 则 解得 直线 AD 的解析式为 由 y0，得 x6，D（-6，0）例 5.如图，已知 A（4，0），P 是第一象限内在直线上的动点 （1）设点 P 的坐标为（x，y），AOP 的面积为 S，求 S 与 y 的函数关系式，并
14、写出 y 取值范围。（2）求 S 与 x 的函数关系式，并写出 S 的取值范围。（3）若 S10，求 P 的坐标。（4）若以点 P、O 及 A 点构成的三角形为等腰三角形，求出 P 点坐标。故一次函数的解析式为注意利用定义求一次函数解析式时要保证如本例中应保证二点斜型已知斜率和经过的一点例已知一次函数的图像过点求这个函数的解析式解一次函数的图像过点即故这个一次函数的解析式为变式问法已知一次这个函数的解析式为解设一次函数解析式为由题意得故这个一次函数的解析式为四图像型例已知某个一次函数的图像如图所示则该函数的解析式为解设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点有故这个一次函数的解析式为五析两条
15、直线当时直线与直线平行又直线在轴上的截距为故直线的解析式为六平移型向上右平移则截距增加向左平移则截距减小例把直线向下平移个单位得到的图像解析式为解析设函数解析式为直线向下平移个单位得到的直线与直线 解：（1）作 PMOA 于 M，则 PMy （2）P（x，y）在直线上 0 x6，且 解关于 S 的不等式组得 S 的取值范围：0S12 （3）当 S10 时，解得 y5 P（1，5）（4）当 PAOP 时，解得 此时 P（2，4）当 PAOA 时 解得，0 x6，0y6 此时 当 OPOA 时 此时方程组无实数解。综上所述，当 P、O、A 三点构成等腰三角形时，P 点坐标为 P（2，4）或 例 6
16、 如图 4，直线 y=x3 的图象与 x 轴、y 轴交于 A、B两点直线l经过原点，与线段 AB交于点 C，把AOB的面积分为 2：1 两部分求直线l的解析式 y A O 图 4 y=x3 x B C 故一次函数的解析式为注意利用定义求一次函数解析式时要保证如本例中应保证二点斜型已知斜率和经过的一点例已知一次函数的图像过点求这个函数的解析式解一次函数的图像过点即故这个一次函数的解析式为变式问法已知一次这个函数的解析式为解设一次函数解析式为由题意得故这个一次函数的解析式为四图像型例已知某个一次函数的图像如图所示则该函数的解析式为解设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点有故这个一次函数的解析
17、式为五析两条直线当时直线与直线平行又直线在轴上的截距为故直线的解析式为六平移型向上右平移则截距增加向左平移则截距减小例把直线向下平移个单位得到的图像解析式为解析设函数解析式为直线向下平移个单位得到的直线与直线 解析：直线3xy与 x 轴、y 轴交点坐标 A（3，0）、B（0，3），则29 AOBS 设 C点纵坐标为Cy 若 SAOC：SBOC=1：2，则 SAOC：SAOB=1：3，所以1Cy将 y=1 代入3xy，得2x 所以 C（2，1），所以直线 OC的解析式为xy21若 SAOC：SBOC=2：1，则 SAOC：SAOB=2：3，所以2Cy 将32xyy代入，得1x所以 C（1，2），
18、所以直线 OC的解析式为xy2 综上，直线 OC的解析式为xyxy221或 7.已知直线过点 A（4，0）（1）求这条直线的解析式；（2）画出这条直线；（3）如果 x 的取值范围，求 y 的取值范围。8.已知 A（1，2），B（4，3）和 C（6，5）三点，求证：A，B，C 三点在同一直线上。9.已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都过点 P（2，1），且一次函数的图象与 y 轴相交于 Q（0，3）（1）求出这两个一次函数的解析式；（2）在同一坐标内，画出这两个函数的图象；（3）求出PQO 的周长和面积。10.已知直线 （1）若这条直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 12，求 m 的
19、值；（2）若这条直线与两坐标轴有两个交点，且交点间的距离为，求 m 的值。11.如图，已知直线 PA 是一次函数的图象，直线 PB 是一次函数的图象 （1）用 m、n 分别表示 A、B、P 三点的坐标；（2）若点 Q 是 PA 与 y 轴的交点，且四边形 PQOB 的面积是，且 AB2，试求 P 点的坐标。7.（1）（2）图略 （3）8.提示：证明 C 点满足直线 AB 的解析式 9.（1），（2）略 （3）10.（1）（2）11.（1）A（n，0），B（，0），P（）（2）P（）故一次函数的解析式为注意利用定义求一次函数解析式时要保证如本例中应保证二点斜型已知斜率和经过的一点例已知一次函数的图像过点求这个函数的解析式解一次函数的图像过点即故这个一次函数的解析式为变式问法已知一次这个函数的解析式为解设一次函数解析式为由题意得故这个一次函数的解析式为四图像型例已知某个一次函数的图像如图所示则该函数的解析式为解设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点有故这个一次函数的解析式为五析两条直线当时直线与直线平行又直线在轴上的截距为故直线的解析式为六平移型向上右平移则截距增加向左平移则截距减小例把直线向下平移个单位得到的图像解析式为解析设函数解析式为直线向下平移个单位得到的直线与直线