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1、浙江省嘉兴一中 2016级高三适应性测试数学（理科）试卷 命题：沈新权 审题：许群燕 一、选择题（本大题共小题，每题 5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合1,2,3A，(,)40,Bx y xyx yA ，则集合B中的元素个数为（）A.9 B.6 C.4 D.3 2某几何体的三视图如图所示，图中的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，两条虚线的交点为正方形一边的中点，则该几何体的体积是（）A.13 B.23 C.1 D.43 3.已知数列na中的任意一项都为正实数，且对任意*,m nN，有mnm naaa，如果1032a，则1a的值为（）A.2 B.2
2、 C.2 D.2 4.已知函数()lnf xx，2()3g xx ，则()()f xg x的图象为（）5已知,a b都是实数，那么“33ab”是“22ab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6设函数()()f xxa xab，,a bR，则下列叙述中，正确的序号是（）对任意实数,a b，函数()yf x在R上是单调函数；对任意实数,a b，函数()yf x在R上都不是单调函数；对任意实数,a b，函数()yf x的图象都是中心对称图象；存在实数,a b，使得函数()yf x的图象不是中心对称图象 A.B.C.D.7 将函数()cosf x
3、x（其中0）的图象向右平移3个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f不可能等于（）A.0 B.1 C.22 D.32 8 已知,A B C是抛物线24yx上不同的三点，且ABy轴，90ACB，点C在AB边上的射影为D，则A D B D（）A.16 B.8 C.4 D.2 二、填空题（本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分）正视图 侧视图 俯视图 xyOA xyOB xyOC xyOD 9已知函数()12131f xxxx 则(2)f ，()f x的最小值为 10.设1e，2e为单位向量，其中122aee，2be，且a在b上的投影为2，则ab ，1e与2e的夹角为
4、11.若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为 ，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为 4，则双曲线的虚轴长为 12.如 图，已 知 边 长 为 4 的 菱 形ABCD中，OBDAC，60ABC.将菱形ABCD沿对角线AC折起得到三棱锥ABCD，二面角BACD的大小为60，则直线BC与平面DAB所成角的正弦值为 .13.设 等 差 数 列na的 前n项 和 为nS，若675SSS，则0na 的最大n ，满 足10kkS S的正整数k 14.已知函数12)(xxf，12)32()(2kxkxxg.若方程 0g f x()有
5、 3 个不同实根，则k的取值范围为 .15.已知点P是平面区域M：0,0,330.xyxy 内的任意一点，P到平面区域M的边界的距离之和的取值范围为 三、解答题（本大题共 5小题,共 72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本题满分 14 分）在ABC中，,a b c分别是三内角,A B C的对边，且 23cos2sin()sin()2sin33BAAA.（1）求角B的值；（2）若2 3b，求三角形ABC周长的最大值.17（本题满分 15 分）如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，DACBDACBOOA S B C E F D 2ACABSA，AC AB，D，E分别是AC，
6、BC的中点，F在SE上，且2SFFE（1）求证：AF 平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角 GAFE的大小为30？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由 18（本题满分 15 分）设函数2()231f xaxbxa，（1）若01a ，12()()f xf x 12,x x满足1,xb ba，22,4 xba ba，求实数b的最大值；（2）当 4,4x时，()0f x 恒成立，求5ab的最小值 19.（本题满分 15 分）如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为(3,0)，3(1,)2是椭圆上的一个点 （1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为BA,
7、，00(,)P xy（00 x）是椭圆上异于BA,的任意一点，yPQ 轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线:1l y 于点C,N为线段BC的中点，如果MON的面积为32，求0y的值 20（本题满分 15 分）已知数列na满足:22111,sinsin 2cos.nnnaaa（1）当4时，求数列na的通项公式；（2）在（1）的条件下,若数列nb满足sin,2nnnabS为数列nb的前n项和，求证:对任意*5,38nnNS.嘉兴一中 2016年高考数学适应性练习（理科）参考答案 一、选择题（本大题共小题，每题 5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）ABOCNMP
8、Qxy:1l y 1若集合1,2,3A，(,)40,Bx y xyx yA ，则集合B中的元素个数为（）A.9 B.6 C.4 D.3 D 提示：,x yA的数对共 9 对，其中(2,3),(3,2),(3,3)满足40 xy ，所以集合B中的元素个数共 3 个 2某几何体的三视图如图所示，图中的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，两条虚线的交点为正方形的中点，则该几何体的体积是（）A.13 B.23 C.1 D.43 B 提示：由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱为1，正四棱锥的底面边长为正方体的上底面，顶点为正方体下底面的中心，因此，该几何体的体积为32
9、1211 133V .3.已知数列na中的任意一项都为正实数，且对任意*,m nN，有mnm naaa，如果1032a，则1a的值为（）A.2 B.2 C.2 D.2 C 提示：令1m，则11nnaaa，所以数列na是以1a为首项，公比为1a的等比数列，从而1nnaa，因为10512a，所以12a 4.已知函数()lnf xx，2()3g xx ，则()()f xg x的图象为（）C 提示：由()()f xg x为偶函数，排除,A D，当xe时，2()()30f xg xe ，排除 B 5已知,a b都是实数，那么“33ab”是“22ab”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分
10、必要条件 D.既不充分也不必要条件 D 提示：因为33ab等价于ab，由于,a b正负不定，所以由ab不能得到22ab；由33ab也不能得到ab，因此“33ab”是“22ab”的既不充分也不必要条件 正视图 侧视图 俯视图 xyOA xyOB xyOC xyOD 6设函数()()f xxa xab，,a bR，则下列叙述中，正确的序号是 （把正确的序号都填上）对任意实数,a b，函数()yf x在R上是单调函数；对任意实数,a b，函数()yf x在R上都不是单调函数；对任意实数,a b，函数()yf x的图象都是中心对称图象；存在实数,a b，使得函数()yf x的图象不是中心对称图象 A.
11、B.C.D.A 考虑yx x，函数()()f xxa xab 的图象是由它平移得到的，因此，其单调性和对称性不变 7将函数()cosf xx（其中0）的图象向右平移3个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f不可能等于（）A.0 B.1 C.22 D.32 D 提示：由题意*2()3k kN，所以*6()k kN，因此()cos6f xkx，从而()cos244kf，可知()24f不可能等于32 8已知,A B C是抛物线24yx上不同的三点，且ABy轴，90ACB，点C在AB边上的射影为D，则ADBD（）A.16 B.8 C.4 D.2 A 设22(4,4),(4,4)A tt Btt，2
12、(4,4)Cmm，因为90ACB，所以2222216()16()0tmtm，因此221mt ，因为2244CDtm且在Rt ABC中，2ADBDCD，所以16ADBD 二、填空题（本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共 36分）9已知函数()12131f xxxx 则(2)f ，()f x的最小值为 9，1.10.设1e，2e为单位向量，其中122aee，2be，且a在b上的投影为2，则ab ，1e与2e的夹角为 ab2，3 提示：设1e与2e夹角为，则21221222(2)2|1 eeee eea bbe 122|cos12 ee，解得1cos2，所以3故填3 11.若双曲
13、线22221(0,0)xyabab的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为 ，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左右焦点的距离之差为 4，则双曲线的虚轴长为 2，4 3 由于右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，可知双曲线渐近线byxa的倾斜角为3，即3ba，所以132cea ，因为2a，从而1642 3b 12.如图，已知边长为 4 的菱形ABCD中，OBDAC，60ABC.将菱形ABCD沿对角线AC折起得到三棱锥ABCD，二面角BACD的大小为60，则直线BC与平面DAB所成角的正弦值为 .13133 提示：由题意60DOB，AC平面DOB，DOB为等边三角形，取OB的中点
14、H，则有DH平面ABC，且3DH，ABDCABCDVV，即dSDHSABDABC3131（其中d为点C到平面ABD的距离），131312d，即直线BC与平面DAB所成角的正弦值13133.13.设等差数列na的前n项和为nS，若675SSS，则0na 的最大n ，满 足10kkS S的正整数k 6，12 提示：依题意6650aSS，7760aSS，67750aaSS，则1111111()2aaS6110a，671121212()12()022aaaaS，11313713()1302aaSa，所以12130S S，即满足10kkS S的正整数k 12 14.已知函数12)(xxf，12)32()
15、(2kxkxxg.若方程 0g f x()有 3 个不同实根，则k的取值范围为 .21k或0k.方程 0g f x()有 3 个不同实根等价于方程0g x()，即223210 xk xk()有两个根1x、2x，其中DACBDACBOO101x且21x，或101x且02x，当101x且21x时，即0)1(012)0(kgkg，0k 当101x且02x时，21k，此时2102g xxx()的根为0和21，满足题意综上，k的取值范围为21k或0k.15.已知点P是平面区域M：0,0,330.xyxy 内的任意一点，P到平面区域M的边界的距离之和的取值范围为 3,32 提示：设平面区域M：0,0,33
16、0.xyxy 围成ABO，由题意，1,3,2AOBOAB，P到平面区域M的边 界 的 距 离 之和d就 是P到ABO三 边 的 距 离之 和，设P到 边 界,AO BO AB的 距 离 分 别为,a b c因为32A B OP B OP O AP A BSSSS，因为10,0,(33)02abcab，所以1(23)32dabcab ，从而32d，又132ab，所以13(3)2 3322dabcb ，因此d的取值范围为3,32 三、解答题（本大题共 5小题,共 72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（本题满分 14 分）在ABC中，,a b c分别是三内角,A B C的对边，且
17、23cos2sin()sin()2sin33BAAA.（1）求角B的值；（2）若2 3b，求三角形ABC周长的最大值.解：（1）因为23cos2sin()sin()2sin33BAAA 22231313332(cossin)(cossin)2sincossin2222222AAAAAAA，所以1cos2B，因为B是三角形的内角，所以3B（2）正 弦 定 理 得2 34sinsinsin3acAC，所 以24 s i n,4 s i n()3aA cA，因 此 三 角 形ABC周 长24 s i n4 s i n()2343 s i n()2336lAAA，因为203A，所以当3A时，max6
18、3l 17（本题满分 15 分）如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，2ACABSA，AC AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且2SFFE（1）求证：AF 平面SBC；（2）在线段上DE上是否存在点G，使二面角 GAFE的大小为30？若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由 解：（1）由2ACABSA，ACAB，E是BC的中点，得2AE A S B F D 因为SA底面ABC，所以SAAE 在RtSAE中，6SE，所以1633EFSE 因此2AEEF SE，又因为AEFAES，所以EFAEAS，则90AFESAE，即A FSE 因为SA底面ABC，所以SABC，又BCAE，
19、所以BC 底面SAE，则BCAF 又SEBCEI，所以AF 平面SBC （2）方法一：假设满足条件的点G存在，并设DGt 过点G作GMAE交AE于点M，又由SAGM，AESAAI，得GM 平 面SAE 作MNAF交AF于点N，连结NG，则A FN G 于是GNM为二面角GAFE的平面角，即30GNM，由此可得2(1)2MGx 由MNEF，得MNAMEFAE，于是有2(1)2623tMN，6(1)6MNt 在RtGMN中，tan30MGMN，即263(1)(1)263tt ，解得12t 于是满足条件的点G存在，且12DG （2）方法二：假设满足条件的点G存在，并设DGt以A为坐标原点，分别以AC
20、，AB，AS为x，y，z轴建立空间直线坐标系Dxyz，则(0,0,0)A，(0,0,2)S，(1,1,0)E，(1,0)Gt由2SFFE得2 2 2(,)3 3 3F(1,0)AGtuuu r 所 以(1,1,0AE uuu r，2 2 2(,)3 3 3AF uuu r，设平面AFG的法向量为111(,)x y zm，则 00AFAGuuu ruuu rmm，即22203330 xyzxmy，取1y，得A S B C E F D G M N A S B C E F D G x y z xt，1 tz，即(,1,1)ttm 设平面AFE的法向量为222(,)xyzn，则00AFAEuuu ru
21、uu rnn，即22203330 xyzxy，取1y，得xt，1zt，即(,1,1)ttn由二面角GAFE的大小为30，得22|1 1(1)(1)0|cos30|2()1(1)tttt|m n|m|n|，化简得22520tt ，又01t，求得12t 于是满足条件的点G存在，且12DG 18（本题满分 15 分）设函数2()231f xaxbxa，（1）若01a ，12()()f xf x 12,x x满足1,xb ba，22,4 xba ba，求实数b的最大值；（2）当 4,4x时，()0f x 恒成立，求5ab的最小值 解：（1）由12()()f xf x及12xx得到122bxxa，即12
22、max()2bxxa，因为1,xb ba，22,4 xba ba，所以，252bbaa，解得21041aba，令41at，则(1,5t，2111(2)41165atat ，从而210241aa，即2min10()241aa，所以，2b ，当1a 时，b的最大值为2（2）方法一：当0a 时，（1）若444ba ，()04bfa，即1616aba 且 222480aab，整理得221224()63ab，设124()cos,sin6arbr，其中603r，0,2 所以，576156332 6ab ，等号成立的条件是62 65,sin,cos377r ，即14,217ab （2）若44ba，即16ba
23、，则152103aba ；（3）44ba，即16ba，又由题意知29144ba，所以，2911644aa，解得135a，从而91911154443543aba 当0a 时，也容易知道911154443aba 综上，当且仅当14,217ab 时，min1(5)3ab 方法二：为了出现5ab的形式，可以把原函数换一种形式2()(23)1f xxaxb，只要令,a b对应系数成比例就会出现目标形式 令22351xx，解得1213,2xx，又 4,4x时，()0f x，特别地有(3)0f，所以1115(3)333abf ，当且仅当(3)0f时成立 另一方面，4,4x时，()0(3)f xf，所以，3x
24、 为二次函数的对称轴，即有153ab ，且34ba，解得14,217ab 从而，当且仅当14,217ab 时，min1(5)3ab 在前面的解法中，注意到11()(5)122fab ，所以152()222abf ，等号当且仅当1()02f，即142ba 时成立，解得24,77ab时，5ab的最大值为 2.19.（本题满分 15 分）如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为(3,0)，3(1,)2是椭圆上的一个点（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的上、下顶点分别为BA,，00(,)P xy（00 x）是椭圆上异于BA,的任意一点，yPQ 轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直 线AM交
25、直线:1l y 于点C,N为线段BC的中点，如果MON的面积为32，求0y的值 解：（1）设椭圆方程为22221xyab，由题意，得3c 因为222acb，所以223ba又3(1,)2是椭圆上的一个点，所以2231413aa，解得24a 或234a（舍去），从而椭圆的标准方程为2214xy（2）因为00,P xy，00 x，则0(0,)Qy，且220014xy因为M为线段PQ中点，所以00,2xMy又 0,1A，所以直线AM的方程为002(1)1yyxx因为000,1,xy 令1y ，得00,11xCy 又 0,1B，N为线段BC的中点，有00,12(1)xNy 所以0000,122(1)xx
26、NMyy 因此，22200000000000(1)222(1)44(1)xxxxxOMNMyyyyyy =2220000000()1(1)044(1)xxyyyyy 从而OMMN 因为220014xOMy，22002200012114(1)(1)1xyONyyy ，所以在Rt MON中，22MNONOM，因此00111221MONySOM MNy 从而有00113212yy，解得045y 20（本题满分 15 分）已知数列na满足:22111,sinsin 2cos.nnnaaa（1）当4时，求数列na的通项公式；（2）在（1）的条件下,若数列nb满足sin,2nnnabS为数列nb的前n项和
27、，求证:对任意*5,38nnNS.解：（1）当=4时，111,22nnnaa11221nnnnaa，所以 12nna是以 1 为首项、1 为公差的等差数列，ABOCNMPQxy:1l y ABOCNMPQxy:1l y 12,nnan从而12nnna.（2）1233sin,1,sin128nnnbbbb，所以当1,2,3n 时，538nS 成立，当4n 时，因为sin,22nnnnnb4564563()2222nnnS ，令45656714561456,222222222nnnnTT ，两式相减得4561414111115,2222224216nnnT 55,3.88nTS 所以综上所述，对任意*5,3.8nnNS