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1、专题五 高考中的圆锥曲线问题 1 已知 F1、F2为椭圆x225y291 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点若|F2A|F2B|12，则|AB|_.2 设 AB 为过抛物线 y22px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为 ()A.p2 Bp C2p D无法确定 3 若双曲线x2a2y231 的一条渐近线被圆(x2)2y24 所截得的弦长为 2，则该双曲线的实轴长为 ()A1 B2 C3 D6 4 在抛物线 y2x2上有一点 P，它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P 的坐标是 ()A(2,1)B(1,2)C(2,1)D(1,2)5 设坐标原点为 O，抛物线
2、 y22x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则OA OB等于()A.34 B34 C3 D3 题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题 例1(浙江改编)如图所示，在直角坐标系 xOy 中，点 P(1，12)到抛物线 C：y22px(p0)的准线的距离为54.点 M(t,1)是 C 上的 定点，A，B 是 C 上的两动点，且线段 AB 的中点 Q(m，n)在直线 OM 上(1)求曲线 C 的方程及 t 的值；(2)记 d|AB|14m2，求 d 的最大值 思维升华 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问
3、题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角
4、形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒 已知点 A(1,0)，B(1,0)，动点 M 的轨迹曲线 C 满足AMB2，|AM|BM|cos2 3，过点 B 的直线交曲线 C 于 P，Q 两点(1)求|AM|BM|的值，并写出曲线 C 的方程；(2)求APQ 面积的最大值 题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的
5、值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒例2(福建)如图，等边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三个 顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上(1)求抛物线 E 的方程；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点 Q，证明：以 P
6、Q 为直径的圆恒过 y 轴上某定点 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物
7、线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒 思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值 (江西)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e 32，ab3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图所示，A、B、D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于点 N，直 线 AD 交 BP于 点 M，设 BP的 斜 率 为 k，MN的 斜 率 为 m.证 明：2m k 为 定值 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的
8、实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒 题型三 圆锥曲线中的探索性问题 例 3(广东)在平面直角
9、坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e 23，且椭圆 C 上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程(2)在椭圆 C 上，是否存在点 M(m，n)，使得直线 l：mxny1 与圆 O：x2y21 相交于不同的两点 A、B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由 思维升华(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化 其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在
10、；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角形的边
11、长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒 已知椭圆 C1、抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，C1的中心和 C2的顶点均为原点 O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：x 3 2 4 2 y 2 3 0 4 22(1)求 C1，C2的标准方程；(2)是否存在直线 l 满足条件：过 C2的焦点 F；与 C1交于不同的两点 M，N，且满足OMON？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 题型四 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与
12、它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒例 4(浙江)如图，点 P(0，1)是椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点，C1
13、的长轴是圆 C2：x2y24 的直径l1，l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于 A，B 两点，l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程；(2)求ABD 面积取最大值时直线 l1的方程 思维升华 对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲
14、线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒(重庆)如图，椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，离心率 e22，过左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于 x 轴的直
15、线与椭圆相交于不同的两点 P，P，过 P，P作圆心为 Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 Q 外若 PQPQ，求圆 Q 的标准方程 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中
16、的定点定值问题例福建如图等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒 高分演练 1 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在平行于 OA 的直线 l，使得直线 l 与椭圆 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 4？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由l 不存在 2.如图，椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，x 轴被曲 线 C2：yx2b 截得的线段长等于 C1的长半轴长(1)求 C1，C2的方程；(2
17、)设 C2与 y 轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线 l 与 C2相交于点 A，B，两直线 MA，MB 分别与 C1相交于点 D，E.证明：MDME；记MAB，MDE 的面积分别为S1，S2.问：是否存在直线l，使得S1S21732？请说明理由 3 如图，已知直线 l：ykx2 与抛物线 C：x22py(p0)交于 A、B 两点，O 为坐标原点，OAOB(4，12)(1)求直线 l 的方程和抛物线 C 的方程；(2)若抛物线上一动点 P 从 A到 B 运动时，求ABP 面积的最大值 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点
18、的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒 4.如图，椭圆长轴的端点为 A，B，O 为椭圆的中心，F 为椭圆 的右焦点，且AF FB1，|OF|
19、1.(1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为 M，直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，问：是否存在直线 l，使点 F 恰为PQM 的垂心，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x29y251 的左，右顶点分别为 A，B，右焦点为 F.设过点 T(t，m)的直线 TA，TB 与此椭圆分别交于点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中 m0，y10，y20.(1)设动点 P 满足：|PF|2|PB|24，求点 P 的轨迹；(2)设 x12，x213，求点 T 的坐标；(3)设 t9，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m
20、 无关)6(上海)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2x2y21.(1)过 C1的左顶点引 C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积 (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1于 P、Q 两点若 l 与圆 x2y21 相切，求证：OPOQ.(3)设椭圆 C2：4x2y21.若 M、N 分别是 C1、C2上的动点，且 OMON，求证：O 到直线 MN 的距离是定值 小值为无法确定若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为则该双曲线的实轴长为在抛物线上有一点它到的距离与它到焦点的距离之和最小则点的坐标是设坐标原点为抛物线与过焦点的直线交于两点则等于题型一圆锥曲线中的范围点在直线上求曲线的方程及的值记求的最大值思维升华圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种一是几何法特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值二是代数法常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数线交曲线于两点求的值并写出曲线的方程求面积的最大值题型二圆锥曲线中的定点定值问题例福建如图等边三角形的边长为且其三个顶点均在抛物线上求抛物线的方程设动直线与抛物线相切于点与直线相交于点证明以为直径的圆恒