《数学分析知识点总结微分方程资格考试安全工程师考试_高等教育-理学.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学分析知识点总结微分方程资格考试安全工程师考试_高等教育-理学.pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.7微分方程初步 2.7.1 概说 涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程微分方程。简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻t，衰变的速率dmdt（由于是减少，因此0dmdt，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。dmkmdt（2）质量为m的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()yy t应该满足牛顿第二定律Fma，即 22d ymgmdt（3）质量为m的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t时刻下降距离()yy t满足 22dyd ymgkmdtdt（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受
2、到弹力而来回整栋，原点位置为O，钢球在t时刻的坐标()xx t满足微分方程 22d xkxmdt 如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是 22dxd xkxhmdtdt 总结：最简单的一阶微分方程是 ()dxf tdt 其中t是自变量，上述方程的一般解应该是 ()xf t dtC 最简单的n阶方程 ()nnd xf tdt 它等价于说11nndxdt是()f t的原函数，即 11()nndxf t dtCdt 则再次积分，一直积分下去得到 111()(1)!nnntxf t dtdtCCtCn 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该
3、放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是2.7.2 一阶线性微分方程 考察下面的方程
4、()()dxa t xb tdt 方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。如果()0a t，则称为一阶线性常微分方程。试着求解上述方程，方程两端都乘以()a t dte，得到()()()()()a t dta t dta t dtdxea t exb t edt 即为下面的形式()()()()a t dta t dta t dtd edxexb t edtdt 即()()()a t dta t dtd xeb t edt 于是有()()()a t dta t dtxeb t edtC 那么有()()()a t
5、 dta t dtxeb t edtC 这就是一阶线性微分方程的一般解。这个解法的关键部分是以()a t dte乘以方程两端。简单的例子（1）质量为m的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t时刻下降距离()yy t满足 22dyd ymgkmdtdt 由于速度dyvdt，因此方程化为 dvkvgdtm 方程两边同时乘以()kkdtta t dtmmeee，则有 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻
6、而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是kkktttmmmdvkee vgedtm 即有 ktmktmd vegedt 得到 kkttmmmgveeCk 即 kkktttmmmmgmgveeCCekk 跳伞的初始速度为 0，即0,0tv
7、，则 00tmgvCk 所以 mgCk 则跳伞速度为 1ktmmgvek 由于dyvdt，因此有 1kkttmmmgmgmyvdtedtteCkkk 跳伞的初始位移为 0，即0,0ty，则 00tmgmyCkk 则 mCk 因此有 1ktmmgmytekk 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一
8、阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是 自然界有一些量，它的减少正比于该量本身数值，这样的量x应该满足一下的微分方程 dxkxdt 即 0dxkxdt 解这微分方程得到 ktxCe 设0t 时x的值为0 x，则有0Cx，量x的变化规律为 0ktxx e 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取
9、坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是2.7.3 变量分离型微分方程 先看一个简单的例子，考察一阶线性方程()dxa t xdt 我们把这个方程改写为
10、()dxa t dtx 如果()xx t是方程的解，那么它能使上式成为恒等式，两边求不定积分得 ()dxa t dtCx 因此得到 ln|()xa t dtC ()a t dtCxee 令CCe，则得到 ()a t dtxCe 因此我们可以得到结论，方程 ()dxa t xdt 的一般解为()a t dtxCe（一般的变量分离型方程）对于一般的变量分离型方程 ()()dxf t g xdt 事实上，如果()0g x，那么方程可以改写为 ()()dxf t dtg x 再对两边求不定积分得到 ()()dxf t dtCg x 另外，如果有0 x能使得0()0g x，那么常值函数0 xx也是原方程
11、的解。（经过换元后得到变量分离型方程）时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即
12、为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是（1）考察方程 dxxfdtt 换元，引入新的未知数 xut 我们得到 xut ()dxd utduutdtdtdt 代入原方程得到 ()duutf udt ()duf uudtt 这又是一个变量分离型方程，我们有 ()dudtf uut ()dudtCf uut 则有 ln|()dutCf uu（2）考察方程 dxxtfdtxt 变换方程 xdxxtfgxdttt 换元，令 xut 我们得到 xut dxduutdtdt 代入原方程，我们有 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物
13、体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是 duuutfdtu 这是一个分离变量型的方程，得到 dudttufuu 两边取积分得到 dudtCt
14、ufuu 则得到 ln|dutCufuu（3）考察方程 dxxtfdtxt 这个方程可以化成（2）中的形式，取0 x和0t满足 000000 xtxt 作如下变换 00 xxtt 则有 00()()dxdxddtdtd 00000000()()()()()()00 xtxtxtfffxtxtxtfff 作换元，令 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速
15、度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是u 我们得到 u dduudd 代入原方程，我们有 duuufdu dudufuu dudCufuu ln|duCufuu 求解方程后只要将值还原为还原前的值。时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体
16、取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是2.7.4 实变复值函数 对于代数方程式，我们已经有过这样的经验：即使是实系数的代数方程，为了弄清楚它的根的状况
17、，最好到更广泛的复数范围内加以讨论。在处理微分方程的某些问题时，例如求解高阶常系数线性微分方程的时候也会遇到类似的问题：虽然是“实”的微分方程，所求的也是实解（实值函数解），但中间过程却需要在更广泛的复值函数范围内进行讨论。本节为这一讨论做准备。（1）复数与平面向量，复数序列的极限 我们把形状如 wuiv 的数称为复数，这里1i 是虚单位，而,u v都是实数，分别称为实部和虚部，记为 Re,wuIm wv 复数的加法和乘法定义如下：11221212()()()()uivuivuui vv 11221212()()()()uivuivuui vv 11221221121 2121 22112()
18、()()()uivuivu uiv uiv uv vu uv vi v uv u 111122121 21221121 21221222222222222222222()()()()()()uivuivuivu uv vi vuv uu uv vvuv uiuivuivuivuvuvuv 作除法时要求220uiv，即22220uv。复数wuiv 可以解释为平面直角坐标系中坐标为(,)u v的点，这点的极坐标为(,)r，x()y iOr(,)u v 其中 22ruv，cosur，sinvr 我们把 (cossin)wri 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因
19、此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是称为复数的极坐标表示，r和分别称为复数的模和幅角，分别用符号|w和A
20、rgw表示。采用这种表示来计算复数的乘方特别方便：(cossin)nnwrnin 证明：当1n 时明显成立，假设当nk时成立，有(cossin)kkwrkik 则当1nk 时，有 1111(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)(coscossinsin)(cossinsincos)cos(1)sin(1)kkkkkkwwwrkikrirkikirkkikkrkik 所以对1nk 也成立，故而有(cossin)nnwrnin 复数wuiv 还可以解释为长为|w方位角为Argw的一个平面向量，多个复数之和就可以理解为多个平面向量之和。复数的模正好是向量的长度，它满足一下不
21、等式：1212|wwww 意味着三角形的两边之和大于第三边。也可以用代数方式证明这个不等式。化为代数表达，也就是证明：22222212121122()()uuvvuvuv 这个采用逆向证明法很容易证明，不等式还可以推广到m个复数的情形，则 1212|mmwwwwww 定理 1：复数序列nnnwuiv收敛于CA iB 的充分必要条件是序列nu和序列nv分别收敛于A和B。（实变复值函数）设DR，EC，我们把从D到E的映射 ()wf t 称为实变复值函数，设wu iv，()()()f ttit，、函数()wf t相当于一对实函数 ()ut，()vt 引入实变复值函数作为工具，是为了更方便地研究实函数
22、。时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两
23、端这就是定理 1：设实变复值函数()()()f ttit在0(,)U t有定义，而CA iB，则0lim()ttf tC的充分必要条件是 0lim()tttu，0lim()tttv 定理 2：设实变复值函数()()()f ttit在0(,)U t有定义，则()f t在0t点连续的充分必要条件是：()t和()t在0t点连续。定理 3：设实变复值函数()()()f ttit在0(,)U t有定义，则()f t在0t点可导的充分必要条件是：()t和()t在0t点可导。且 000()()()fttit 实函数的复合函数求导法则同样适用于实变复值函数的复合函数求导。定理 4：为使实变复值函数()()()
24、F ttit 是实变复值函数()()()f ttit的原函数，必须而且只许()t和()t分别是()t和()t的原函数。记为 ()()f t dtF tC ()()()()()f t dtt dtit dttitC 其中C可以是复数。（欧拉 Euler 公式）在推导过程中，会用到下面几个常见的极限 10lim 1e，0ln(1)lim1，0arctanlim1 当0a 时，lim 1lim1annaaaaenn；当0a 时，0lim 1lim 1 01nnaen；因此有 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴
25、沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是lim 1,naaeaRn 定义：对于caibC ，我们规定 lim 1nccen 下面来求解ce。将复数1cn写成极坐
26、标的形式 111cossincaibabwirinnnn 其中 221abrnn ，arctan1bnan 那么有 1cossinnnncwrin 由前面的知识可得 cossincossinnnnwrirnin 因此有 1cossinnncrninn lim 1limcossinlimlim cossinlimcos limsin limncnnncerninrninnrnin 下面分别求出各部分的极限：2222222211nnnabaabrnnnn 2222lnln 12nnaabrnn 因此有（可用其同阶的无穷小替代）时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量
27、因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是 22222222lim lnlimln 1lim22nnaabn
28、aabrannnn 则有 lnlimlnlimlimnnnrrareee 而 limlimarctanlim11bbnnnnnbaann 因此得到 lim 1limcos limsin limcossinncnacerninebibn 即 cossincaeebib，其中caib 或者 cossina ibaeebib（1）如果0a，那么有cossinibebib（2）令b分别为b和b，我们得到 cos,sin22ibibibibeeeebb（3）推广到复数的指数运算 1212cccceee 证：1211221212121212121122121212121212()()(cossin)(co
29、ssin)(coscossinsin)(sincoscossin)cos()sin()ccaibaibaaaaaaaai bbcceeeeebibebibebbbbibbbbebbibbee （4）令0a，2b，则得到 2cossin22ieii 令0a，b，则得到 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结
30、最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是 cossin1iei 令0a，2bk，则得到 2cos 2sin 21i kekik 特别的1k，有 21ie 它将数学中最重要的五个数字1,2,e i联系在一起。利用欧拉公式，我们将复数的极坐标形式(cossin)wri写成 iwre 这里r为复数的模，为幅角，cossiniei 是一个模为 1 的复数，它表示与极轴夹角
31、为的一个单位向量。|1ie 再看复数 2(cossin)sincoscossin22iiieiiiie 因为 22iiiiieeee 所以iie是与ie垂直的一个单位向量。如下图所示。Oieiie （应用欧拉公式讨论实变复值函数）考察实变复值函数 ()()titf tee，这里tR，iC (,)R，根据欧拉公式有 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速
32、度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是()()(cossin)titt i ttf teeeetit 那么求导数得到 2()(cossin)(cossin)(cossin)(cossin)(sincos)cossin22ttttttt i ttt itt i tt i tt i tifteetitetitetite
33、titetiteetiteeeee2()t i tt i tt i ttei eiee 因此得到，对于iC ，下面的求导公式也成立。ttee 因此得到关于原函数不定积分的相应公式。1tte dteC（1）例如，已知,a bR，试求下面的不定积分。cosatebtdt，sinatebtdt 令aib，则所求的不定积分恰好为下式的实部和虚部()22222222(cossin)11(cossin)()(cossin)(cossin)(sincos)cossinattta ib tatatatataeatibt dte dteCeA iBaibaibebtibtA iBabaibbtibteA iBa
34、babtbbti abtbbteA iBababtbbteAi eab 22sincostabtbbtBab 时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性
35、微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是由于对于实变复值函数()()()f ttit()()()()()f t dtt dtit dttitC 因此有 22cossincos()atatabtbbtebtdtteAab 22sincossin()atatabtbbtebtdtteBab 其中A，B为任意实数。时刻衰变的速率由于是减少因此速率为标量是正值正比于该放射性物质尚存的质量因此质量应满足一下微分方程质量为的物体自由落体取坐标轴沿竖直方向指向地心下落距离应该满足牛顿第二定律即质量为的跳伞员下落所受空气阻而来回整栋原点位置为钢球在时刻的坐标满足微分方程如果钢球还受到一个速度成正比方向速度相反的阻尼力的作用那么它所满足的微分方程是总结最简单的一阶微分方程是其中是自变量上述方程的一般解应该是最简单的阶方程它导数且其一阶导数的系数为常数其余部分未知函数最高层次数为一次称为线性上述方程为一阶线性微分方程如果则称为一阶线性常微分方程得到试着求解上述方程方程两端都乘以即为下面的形式即于是有那么有乘以方程两端这就是