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1、学习必备 欢迎下载 x y 1x 1 O 图 3 二次函数基础知识的中考题赏析 山东省淄博市临淄区金山中学（255438）孙树志 李洪忠 二次函数是初中数学的重点内容，中考对其基础知识的考查是一个热点 熟练地掌握二次函数有关的概念、性质、图像等基础知识，是求解这部分的考题的必要条件 一、抛物线与 a,b,c的关系题型 例（2007 年南宁市）已知二次函数2yaxbxc的图象如图 1 所示，则点),(bcaP在第 象限 分析：要判断点),(bcaP在第几象限，首先要判断二次函数的系数的符号观察函数的图像，抛物线开口向下，则0a，对称轴方程为abx2且在 y 轴的左侧，由此可判断0b；抛物线与 y
2、 轴的正半轴相交，知0c，由此不难判断点),(bcaP坐标的符号 解：由二次函数的性质，得 0a，0b，0c，则0a，0bc 所以点),(bcaP在第三象限 说明：此题解答同学们应熟记如下函数性质：、当0a时，抛物线开口向下，当0a时，抛物线开口向上；、ba,同号抛物线对称轴在 y 轴的左侧，ba,异号抛物线对称轴在 y 轴的右侧；、当0c时，抛物线与 y 轴的负半轴相交，当0c时，抛物线与 y 轴的正半轴相交 例 2(2007 南充市)如图 2，是二次函数 yax2bxc 图象的一部分，图象过点 A（3，0），对称轴为 x1给出四个结论：b24ac；2ab=0；abc=0；5ab其中正确结论
3、是（）（A）（B）（C）（D）分析：抛物线的开口朝下，抛物线的顶点在 x 轴的上方，故0a且与 x 轴有两个交点，得042 acb，即acb42；根据抛物线对称轴为12abx，得ba,同为负值，且ba 2，所以02 ba；再由负数之间的大小比较知道ba 5；当 x1 时，函数值为抛物线的顶点且在 x 轴的上方为正值，易得0cba 解：应选择 B 说明：结合抛物线的有关性质和图像是解答本题的关键 例 3（2007 年天津市）已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图 3 所示，有下列 5 个结论：0abc；bac；420abc；23cb；()abm amb，（1m 的实数）其中正确的结论有（B
4、 ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 分析：观察函数图像，得0a，0b，0c，所以0abc，结论错误；同样当1x时，函数值在 x 轴下方为负值，即0cba，得bca，结论也错误；由于二次函数的对称轴为1x，根据函数图像的对称性，当2x时，函数值在 x 轴上方为正值，得024cba，结论正确；由对称轴方程为1x，可得12ab，也就是2ba，将其代入bca，得bc32，结论正确；根据二次函数的性质可以将结论化简为bmamba2，将2ba代入上式为amama22，整理得0)12(2 mma，即0)1(2ma，又因为0a，x y O A 图 2 x y O 图 1 学习必备 欢迎下载 相关链接：
5、若12xx，是 一 元 二 次 方 程20axbxc (0)a 的两根，则1212bcxxx xaa，1m，所以结论正确.解：应选择 B 说明：本题从图像中获取准确的信息，结合代数知识作合理化简对正确选择来说是至关重要的 二、利用二次函数与一元二次方程的关系解题 例 4（2007 年广州市）抛物线122xxy与 x 轴交点的个数是（B）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 分析：令0y，则1202xx，可由acb42判断方程根的个数，从而来判断抛物线与轴的交点个数 解：由04)2(2得 抛物线122xxy与 x 轴有一个交点应选择 说明：抛物线与轴的交点个数判断方法比较多，一般利用acb42
6、值；也可以根据抛物线的开口方向，与顶点位置来判断 例 5（茂名市 2007）已知函数22yxxc的图象与x轴的两交点的横坐标分别是12xx，且222122xxcc，求 c 及1x，2x的值 分析：根据二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解为抛物线与 x 轴的交点的横坐标，因此可以利用一元二次方程的判别式acb42，根 与 系 数 的 关 系acxxabxx2121,解决问题 解：令0y，即220 xxc 当2240c即1c时方程有两个不相等的实数根，即函数的图象与 x 轴有两个交点 由cxxxx2121,2，又因为已知ccxx222221 ccxxxx22)(221221，22222c
7、cc，24c，舍去)(21c，22c 当2c 时，2220 xx，解得1213,13xx c 及1x，2x的值分别为：2c ，1213,13xx 说明：此类题目求解须根据二次函数与一元二次方程的关系，将函数问题转化为方程解答 三、利用二次函数性质确定抛物线 例 6（2007 年河南省）二次函数221yaxxa 的图象可能是（）分析：将二次函数122axaxy配方为aaaxay411)21(22，由于0a，二次函数的对称轴为ax21，所以函数的对称轴不可能为 y 轴，可排除 C、D 答案；当二次函数221yaxxa 的图像经过原点时，知道012a，解得1a由此得到二次函数解析式为：xxy2或xx
8、y2，其对称轴分别为21x、21x，所 x y O x y O x y O x y O 学的重点内容中考对其基础知识的考查是一个热点熟练地掌握二次函数有关的概念性质图像等基础知识是求解这部分的考题的必要条件一抛物线与的关系题型例年南宁市已知二次函数第象限分析要判断点在第几象限首先要判断二次断抛物线与轴的正半坐标的符号则轴相交知由此难判断点解由二次函数的性质得所以点在第三象限时抛物说明此题解答同学们应熟记如下函数性质当线开口向下当时抛物线开口向上同号抛物线对称轴在轴的左侧异号抛物线对称轴在过点对称轴为给出四个结论其中正确结论是分析抛物线的开口朝下抛物线的顶点在轴的上方故且根据抛物线对称与轴有两个
9、交点得即图图轴为得同为负值且所以再由负数之间的大小比较知道当时函数值为抛物线的顶点且在轴的上方学习必备 欢迎下载 以应排除 A 答案 解：应选择 B 说明：此类题的求解方法关键是认真观察图像的特征，再结合二次函数的有关性质作判断 四、求二次函数的表达式 例 7（2007 年天津市）已知一抛物线与x轴的交点是(2 0)A，(1 0)B，且经过点(2 8)C，（I）求该抛物线的解析式；（II）求该抛物线的顶点坐标 分析：题目已知三点坐标，可设抛物线的解析式为2yaxbxc，得一个三元一次方程组，求得参数值，可得解析式，再利用配方求得抛物线的顶点坐标 解：（I）设这个抛物线的解析式为2yaxbxc
10、由已知，抛物线过(2 0)A，(1 0)B，(2 8)C，三点，得 4200428abcabcabc ，解这个方程组，得 224abc，所求抛物线的解析式为2224yxx（II）222192242(2)222yxxxxx 该抛物线的顶点坐标为1922，说明：此题是求二次函数解析式的基础题目，除了利用二次函数的一般式外，还可以设二次函数的交点式求解，对此同学们可以探索有关二次函数的交点式解析式的知识 学的重点内容中考对其基础知识的考查是一个热点熟练地掌握二次函数有关的概念性质图像等基础知识是求解这部分的考题的必要条件一抛物线与的关系题型例年南宁市已知二次函数第象限分析要判断点在第几象限首先要判断二次断抛物线与轴的正半坐标的符号则轴相交知由此难判断点解由二次函数的性质得所以点在第三象限时抛物说明此题解答同学们应熟记如下函数性质当线开口向下当时抛物线开口向上同号抛物线对称轴在轴的左侧异号抛物线对称轴在过点对称轴为给出四个结论其中正确结论是分析抛物线的开口朝下抛物线的顶点在轴的上方故且根据抛物线对称与轴有两个交点得即图图轴为得同为负值且所以再由负数之间的大小比较知道当时函数值为抛物线的顶点且在轴的上方