八年级下学期专题培优中学教育试题_中学教育-试题.pdf

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1、初中精品资料 欢迎下载 八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径 全局最短路径问题-求图中所有的最短路径【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”【出题背景】角、三角形、菱形、矩

2、形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小 连 AB，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 AB【问题 2】“将军饮马”作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小 作 B 关于 l 的对称点 B连 A B，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短 PA+PB 最小值为 A B 【问题 3】作法 图形 原理 在直线1l、2l上分别求点M、N，使PMN 的周长最小 分别作点 P 关于两

3、直线的对称点 P 和 P，连 P P ，与两直线交点即为 M，N 两点之间线段最短 PM+MN+PN 的最小值为 线段 P P 的长【问题 4】作法 图形 原理 在直线1l、2l上分别求点M、N，使四边形 PQMN的周长最小 分别作点 Q、P 关于直线1l、2l的对称点 Q和 P连 Q P，与两直线交点即为 M，N 两点之间线段最短 四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的长【问题 5】“造桥选址”作法 图形 原理 lABlPBAlBAlPBABl1l2Pl1l2NMPPPl1l2NMPQQPl1l2PQ初中精品资料 欢迎下载 直线mn，在m、n，上分别求点 M、N，使 MNm，且 A

4、M+MN+BN 的值最小 将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A，连 A B，交n于点N，过 N 作 NMm于M 两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为 A B+MN【问题 6】作法 图形 原理 在直线l上求两点 M、N（M在左），使aMN，并使AM+MN+NB 的值最小 将点 A 向右平移a个长度单位得 A，作 A 关于l的对称点 A，连 A B，交直线l于点 N，将 N 点向左平移a个单位得 M 两点之间线段最短 AM+MN+BN 的最小值为 A B+MN【问题 7】作法 图形 原理 在1l上求点 A，在2l上求点 B，使 PA+AB 值最小 作点 P 关于1l的对称点P，作

5、P B2l于 B，交2l于 A 点到直线，垂线段最短 PA+AB 的最小值为线段 PB的长【问题 8】作法 图形 原理 A为1l上一定点，B为2l上一定点，在2l上求点 M，在1l上 求 点N，使AM+MN+NB 的值最小 作点 A 关于2l的对称点A，作点 B 关于1l的对称点 B，连 A B 交2l于 M，交1l于 N 两点之间线段最短 AM+MN+NB 的最小值为线段AB的长【问题9】作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使PBPA的值最小 连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P 垂直平分上的点到线段两端点的距离相等 PBPA0 【问题 10】作法 图形 原理 mn

6、MNABAlaABMNmnABMNlAABAMNl1l2ABPPl1l2Pl2l1ABNMl2l1MNABABlBAlPBA找图由结点和路径组成的中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括确定起点的最短路径问题即已知起始结点求最短路径的问题确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反该问题是已知终结结点求最短路径的问题确定起点终将军饮马造桥选址费马点涉及知识两点之间线段最短垂线段最短三角形三边关系轴对称平移出题背景角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题思路找对称点实现折转直近两年出现三折线转直等变式问题考查作法图形原理十二个基本问题问题连与点即为在直线上求一点使值最小问题将军饮马作法作关于

7、的对称点连与点即为在直线上求一点使值最小问题作法在直线上分别求点使的周长最小分别作点关于两直线的对称点和连与两直线点即为问题作法图初中精品资料 欢迎下载 在直线 l 上求一点 P，使PBPA的值最大 作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P 三角形任意两边之差小于第三边PBPAAB PBPA的最大值AB【问题 11】作法 图形 原理 在直线 l 上求一点 P，使PBPA的值最大 作 B 关于 l 的对称点 B作直线 A B，与 l 交点即为 P 三角形任意两边之差小于第三边PBPAAB PBPA最大值AB 【问题 12】“费马点”作法 图形 原理 ABC 中每一内角都小于120，在ABC 内求

8、一点P，使 PA+PB+PC 值最小 所求点为“费马点”，即满足APBBPCAPC120以 AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连 CD、BE 相交于 P，点 P 即为所求 两点之间线段最短 PA+PB+PC 最小值CD 一、求最值常用的知识点：1.两点之间线段最短。2.垂线段最短。3.斜边大于角边。4.三角形任两边之和大于第三边。二、线段最值常用的方法：（一）作对称点 例：如图，菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，E是 AB的中点，P是对角线 AC上的一个动点，求 PE+PB的最小值。练习:1如图，在锐角ABC中，AB 4，BAC 45，BAC的平分线交 BC于点 D，M、N分别

9、是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN的最小值是_。2 如图，菱形 ABCD 中，AB=4，A=120，点 M、N、P 分别为线段AB、AD、BD 上的任意一点，求 PM+PN 的最小值。lBAlPABlABlBPABABCPEDCBADACBEP找图由结点和路径组成的中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括确定起点的最短路径问题即已知起始结点求最短路径的问题确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反该问题是已知终结结点求最短路径的问题确定起点终将军饮马造桥选址费马点涉及知识两点之间线段最短垂线段最短三角形三边关系轴对称平移出题背景角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题思路找对称点实

10、现折转直近两年出现三折线转直等变式问题考查作法图形原理十二个基本问题问题连与点即为在直线上求一点使值最小问题将军饮马作法作关于的对称点连与点即为在直线上求一点使值最小问题作法在直线上分别求点使的周长最小分别作点关于两直线的对称点和连与两直线点即为问题作法图初中精品资料 欢迎下载 3如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE 1，AF 2，若 P为对角线 BD上一动点，求 EPFP的最小值 4如图，在平行四边形 ABCD 中，AB 2，AD 1，ADC 60，将平行四边形 ABCD 沿过点A的直线 l 折叠，使点 D落到 AB边上的点 D处，折痕交 CD边于点 E.(1)求证：四边形 BC

11、ED 是菱形；(2)若点 P是直线 l 上的一个动点，请计算 PD PB的最小值 5如图，在矩形 ABCD 中，AB=20，BC=10，若在 AC、AB上各取一点 M、N，求 BM+MN 的最小值。6 找图由结点和路径组成的中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括确定起点的最短路径问题即已知起始结点求最短路径的问题确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反该问题是已知终结结点求最短路径的问题确定起点终将军饮马造桥选址费马点涉及知识两点之间线段最短垂线段最短三角形三边关系轴对称平移出题背景角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题思路找对称点实现折转直近两年出现三折线转直等变式问题考查作法图

12、形原理十二个基本问题问题连与点即为在直线上求一点使值最小问题将军饮马作法作关于的对称点连与点即为在直线上求一点使值最小问题作法在直线上分别求点使的周长最小分别作点关于两直线的对称点和连与两直线点即为问题作法图初中精品资料 欢迎下载 （二）找中点，找不变线段。例：如图,ACB=90,BC=8,AC=6,点 P为 AC上一动点,连 BP,CM BP,求 AM的最小值。练习：如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B分别在边 OM，ON上，当 B在边 ON上运动时，A随之在边 OM上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点 O的最大距离为（）A B

13、 C.2 D.3 （三）构造全等三角形 例：练习：如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线 BD（不含 B点）上任意一点，将 BM绕点 B逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM、CM，AMB ENB。求证：（1）找图由结点和路径组成的中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括确定起点的最短路径问题即已知起始结点求最短路径的问题确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反该问题是已知终结结点求最短路径的问题确定起点终将军饮马造桥选址费马点涉及知识两点之间线段最短垂线段最短三角形三边关系轴对称平移出题背景角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题思路找对称点实现折转直

14、近两年出现三折线转直等变式问题考查作法图形原理十二个基本问题问题连与点即为在直线上求一点使值最小问题将军饮马作法作关于的对称点连与点即为在直线上求一点使值最小问题作法在直线上分别求点使的周长最小分别作点关于两直线的对称点和连与两直线点即为问题作法图初中精品资料 欢迎下载 当 M点在何处时，AM CM的值最小。当 M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由。（2）当 AM BM CM的最小值为3+1 时，求正方形的边长。补充练习 1如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD 分别与 BC、CD交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为

15、（）A2 B32 C32 D4 3.如图，正方形 ABCD 的边长为 4，DAC的平分线交 DC于点 E，若点 P，Q分别是 AD和 AE上的动点，则DQ PQ的最小值是_ 4如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（）A2 3 B2 6 C3 D6 A D E P B C 找图由结点和路径组成的中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括确定起点的最短路径问题即已知起始结点求最短路径的问题确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反该问题是已知终结结点求最短路径的问题确定

16、起点终将军饮马造桥选址费马点涉及知识两点之间线段最短垂线段最短三角形三边关系轴对称平移出题背景角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题思路找对称点实现折转直近两年出现三折线转直等变式问题考查作法图形原理十二个基本问题问题连与点即为在直线上求一点使值最小问题将军饮马作法作关于的对称点连与点即为在直线上求一点使值最小问题作法在直线上分别求点使的周长最小分别作点关于两直线的对称点和连与两直线点即为问题作法图初中精品资料 欢迎下载 5如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，点 E在 AB边上，且 BE1，点 P，Q分别是边 BC，CD上的动点(均不与顶点重合)，求四边形 AEPQ 的周长的最小

17、值为 1四边形 ABCD 中，BD90，C70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时，AMN+ANM 的度数为（）A120 B130 C110 D140 2如图，在 RtABC中，C90，BC 3，AC 4，M为斜边 AB上一动点，过点 M作 MD AC于点 D，过点 M作 ME CB于点 E，求线段 DE的最小值 CADBMN找图由结点和路径组成的中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括确定起点的最短路径问题即已知起始结点求最短路径的问题确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反该问题是已知终结结点求最短路径的问题确定起点终将军饮马造桥选址费马点涉及知识两点之间线段最短垂线段最短三角形三边关系轴对称平移出题背景角三角形菱形矩形正方形梯形圆坐标轴抛物线等解题思路找对称点实现折转直近两年出现三折线转直等变式问题考查作法图形原理十二个基本问题问题连与点即为在直线上求一点使值最小问题将军饮马作法作关于的对称点连与点即为在直线上求一点使值最小问题作法在直线上分别求点使的周长最小分别作点关于两直线的对称点和连与两直线点即为问题作法图