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1、精心整理 精心整理 七年级数学：相交线与平行线培优复习例题精讲 例 1如图(1)，直线 a 与 b 平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3 的度数。解：ab，34（两直线平行，内错角相等）1+32+4180(平角的定义)12(等式性质)则 3x+705x+22 解得 x=24 即1142 3180-138图(1)评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。例 2已知：如图(2)，ABEFCD，EG 平分BEF，B+BED+D=192，B-D=24，求GEF 的度数。解：ABEFCD B=BEF，DEF=D（两直线平行，内错角相等）B+BED+D=192（已知）即
2、B+BEF+DEF+D=192 2（B+D）=192（等量代换）则B+D=96（等式性质）B-D=24（已知）图(2)B=60（等式性质）即BEF=60（等量代换）EG 平分BEF（已知）GEF=21BEF=30（角平分线定义）例 3如图（3），已知 ABCD，且B=40，D=70，求DEB 的度数。解：过 E 作 EFAB ABCD（已知）EFCD（平行公理）BEF=B=40DEF=D=70（两直线平行，内错角相等）DEB=DEF-BEF DEB=D-B=30 评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3）例 4平面上 n 条直线两两相交且无 3 条或
3、3 条以上直线共点，有多少个不同交点？解：2 条直线产生 1 个交点，第 3 条直线与前面 2 条均相交，增加 2 个交点，这时平面上 3 条直线共有 1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面 3 条均相交，增加 3 个交点，这时平面上 4 条直线共有 1+2+3=6 个交点；则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+(n-1)=21n(n-1)32lab4精心整理 精心整理 评注：此题是平面上 n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。例 56 个不同的点，其中只有 3 点在同一条直线上，2 点确定一条直线，问能确定多少条直线？解：6 条不同的直线最多确定：
4、5+4+3+2+1=15 条直线，除去共线的 3 点中重合多算的 2 条直线，即能确定的直线为 15-2=13条。另法：3 点所在的直线外的 3 点间最多能确定 3 条直线，这 3 点与直线上的 3 点最多有 33=9 条直线，加上 3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条 评注：一般地，平面上 n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+(n-1)=21n(n-1)例 610 条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？解：2 条直线最多将平面分成 2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第 3 条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成 3 段，每一段将它所在的区域一分
5、为二，则区域增加 3 个，即最多分成 2+2+3=7 个不同区域；同理：4 条直线最多分成 2+2+3+4=11 个不同区域；10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域 推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成 2+2+3+4+n=1+21n(n+1)=21(n2+n+2)块不同的区域 思考：平面内 n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？巩固练习 1平面上有 5 个点，其中仅有 3 点在同一直线上，过每 2 点作一条直线，一共可以作直线（）条 A6 B7 C8 D9 2平面上三条直线相互间的交点个数是 （）A3 B1 或 3 C1 或 2 或
6、3 D不一定是 1，2，3 3平面上 6 条直线两两相交，其中仅有 3 条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）A36 条 B33 条 C24 条 D21 条 4 已知平面中有n个点CBA,三个点在一条直线上，EFDA,四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，那么一共可以画出 38 条不同的直线，这时n等于（）（A）9（B）10（C）11（D）12 5若平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交成如图示的图形，则共得同旁内角（）A4 对 B8 对 C12对 D16对 6如图，已知 FDBE，则1+2-3=()A90 B135 C150 D180 的
7、定义等式性质则解得即图评注建立角度之间的关系即建立方程组是几何计算常用的方法例已知如图平分求的度数解两直线平行内错角相等已知即等量代换则等式性质已知图等式性质即等量代换平分已知角平分线定义例如图已知且应添出辅助线图例平面上条直线两两相交且无条或条以上直线共点有多少个不同交点解条直线产生个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有及繁深入思考从中发现规律例个不同的点其中只有点在同一条直线上点确定一条直线问能确定多少条直线解条不同的直线最多确定条直线除去共线的点中重合多算的条直线即能确定的直线为条另法点所在的直线外的点间最多能
8、确定精心整理 精心整理 21ABCDEFABCDEABCDEFGH第 5 题312ABCDEFG第 6 题第 7 题 7如图，已知ABCD，1=2，则E 与F的大小关系；8平面上有5 个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5 点之外这些直线最多还 有交点 9平面上 3 条直线最多可分平面为个部分。10如图，已知 ABCDEF，PS GH 于 P，FRG=110，则PSQ。11已知 A、B 是直线 L 外的两点，则线段 AB 的垂直平分线与直线的交点个数是。12平面内有4 条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。13已知：如图，DECB，求证：AED=A+B 第 13 题 14已知：如
9、图，ABCD，求证：B+D+F=E+G 第 14 题 15如图，已知 CB AB，CE 平分BCD，DE 平分CDA，EDC+ECD=90，求证：DA AB 16平面上两个圆三条直线，最多有多少不同的交点？17平面上 5 个圆两两相交，最多有多少个不同的交点？最多将平面分成多少块区域？18一直线上5 点与直线外3 点，每两点确定一条直线，最多确定多少条不同直线？19平面上有8 条直线两两相交，试证明在所有的交角中至少有一个角小于23。答案 15 个点中任取2 点，可以作 4+3+2+110 条直线，在一直线上的3 个点中任取 2 点，可作 2+13 条，共可作 10-3+18（条）故选 C 2
10、平面上 3 条直线可能平行或重合。故选 D ABCDEFGlABCDEFGHPQRS第10题ABCDE第 15 题的定义等式性质则解得即图评注建立角度之间的关系即建立方程组是几何计算常用的方法例已知如图平分求的度数解两直线平行内错角相等已知即等量代换则等式性质已知图等式性质即等量代换平分已知角平分线定义例如图已知且应添出辅助线图例平面上条直线两两相交且无条或条以上直线共点有多少个不同交点解条直线产生个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有及繁深入思考从中发现规律例个不同的点其中只有点在同一条直线上点确定一条直线问能确定
11、多少条直线解条不同的直线最多确定条直线除去共线的点中重合多算的条直线即能确定的直线为条另法点所在的直线外的点间最多能确定精心整理 精心整理 3对于 3 条共点的直线，每条直线上有 4 个交点，截得 3 条不重叠的线段，3 条直线共有 9 条不重叠的线段 对于 3 条不共点的直线，每条直线上有 5 个交点，截得 4 条不重叠的线段，3 条直线共有 12 条不重叠的线段。故共有 21 条不重叠的线段。故选 D 4由n个点中每次选取两个点连直线，可以画出2)1(nn条直线，若CBA,三点不在一条直线上，可以画出 3 条直线，若FEDA,四点不在一条直线上，可以画出 6 条直线，.382632)1(n
12、n整理得2n.0)90)(10(,090nnn n+90,10n选 B。5直线 EF、GH 分别“截”平行直线 AB、CD，各得 2 对同旁内角，共 4 对；直线 AB、CD 分别“截”相交直线 EF、GH，各得 6 对同旁内角，共 12 对。因此图中共有同旁内角4+616 对 6FDBE 2=AGF AGC=1-3 1+2-3=AGC+AGF=180选 B7解：ABCD（已知）BAD=CDA（两直线平行，内错角相等）1=2 （已知）BAD+1=CDA+2（等式性质）即EAD=FDA AEFD EF 8解：每两点可确定一条直线，这 5 点最多可组成 10 条直线，又每两条直线只有一个交点，所以
13、共有交点个数为 9+8+7+6+5+4+3+2+145（个）又因平面上这 5 个点与其余 4 个点均有 4 条连线，这四条直线共有 3+2+16 个交点与平面上这一点重合应去掉，共应去掉 56=30 个交点，所以有交点的个数应为 45-3015 个 9可分 7 个部分 10解ABCDEF APQDQG=FRG=110 同理PSQ=APS PSQ=APQ-SPQ=DQG-SPQ=110-90=20 110 个、1 个或无数个 1）若线段 AB 的垂直平分线就是 L，则公共点的个数应是无数个；2）若 AB L，但 L 不是 AB 的垂直平分线，则此时 AB 的垂直平分线与 L 是平行的关系，所以它
14、们没有公共点，即公共点个数为 0 个；3）若 AB 与 L 不垂直，那么 AB 的垂直平分线与直线 L 一定相交，所以此时公共点的个数为 1 个 124 条直线两两相交最多有 1+2+36 个交点 13证明：过 E 作 EFBA 2=A（两直线平行，内错角相等）DECB，EFBA 1=B（两个角的两边分别平行，这两个角相等）ABCDEFlABCDEFGHPQRS第10题的定义等式性质则解得即图评注建立角度之间的关系即建立方程组是几何计算常用的方法例已知如图平分求的度数解两直线平行内错角相等已知即等量代换则等式性质已知图等式性质即等量代换平分已知角平分线定义例如图已知且应添出辅助线图例平面上条直
15、线两两相交且无条或条以上直线共点有多少个不同交点解条直线产生个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有及繁深入思考从中发现规律例个不同的点其中只有点在同一条直线上点确定一条直线问能确定多少条直线解条不同的直线最多确定条直线除去共线的点中重合多算的条直线即能确定的直线为条另法点所在的直线外的点间最多能确定精心整理 精心整理 1+2=B+A（等式性质）即AED=A+B 14证明：分别过点 E、F、G 作 AB 的平行线 EH、PF、GQ，则 ABEHPFGQ（平行公理）ABEH ABEBEH（两直线平行，内错角相等）同理：H
16、EFEFP PFGFGQ QGDGDC HEF+ABE+EFP+PFG+GDC BEH+FGQ+QGD（等式性质）即 B+D+EFG=BEF+GFD 15证明：DE 平分CDA CE 平分BCD EDC=ADE ECD=BCE(角平分线定义)CDA+BCD=EDC+ADE+ECD+BCE=2（EDC+ECD）180 DACB 又 CB AB DA AB 16两个圆最多有两个交点，每条直线与两个圆最多有 4 个交点，三条直线最多有 3 个不同的交点，即最多交点个数为：2+43+3=17 17（1）2 个圆相交有交点 211 个，第 3 个圆与前两个圆相交最多增加 224 个交点，这时共有交点 2
17、+226 个 第 4 个圆与前 3 个圆相交最多增加 236 个交点，这时共有交点 2+22+2312 个 第 5 个圆与前 4 个圆相交最多增加 248 个交点 5 个圆两两相交最多交点个数为：2+22+23+2420（2）2 个圆相交将平面分成 2 个区域 3 个圆相看作第 3 个圆与前 2 个圆相交，最多有 224 个不同的交点，这 4 个点将第 3 个圆分成 4 段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加 224 块区域，这时平面共有区域：2+226 块 4 个圆相看作第 4 个圆与前 3 个圆相交，最多有 236 个不同的交点，这 6 个点将第 4 个圆分成 6 段弧，每一段弧将它
18、所在的区域一分为二，故增加 236 块区域，这时平面共有区域：2+22+2312 块 5 个圆相看作第 5 个圆与前 4 个圆相交，最多有 248 个不同的交点，这 8 个点将第 5 个圆分成 8 段弧，每一段弧将它所在的区域一分为二，故增加 248 块区域，这时平面最多共有区域：2+22+23+2420 块 18直线上每一点与直线外 3 点最多确定 35=15 条直线；直线外 3 点间最多能确定 3 条直线，最多能确定 15+3+1=19 条直线 19将这 8 条直线平移到共点后，构成 8 对互不重叠的对顶角，这 8 个角的和为 180 假设这 8 个角没有一个小于 23,则这8 个角的和至
19、少为:238=184,这是不可能的.因此这 8 个角中至少有一个小于 23,在所有的交角中至少有一个角小于 23 20平面上有 10 条直线，若两两相交，最多可出现 45 个交点，题目要求只出现 31 个交点，就要减少 14 个交点，则必须出现平行线，若某一方向上有 5 条直线互相平行，则可减少 10 个交点；若有 6 条直线互相平行，则可减少 15 个交点；故在这个方向上最多可取 5 条平行线，这时还有 4 个BEFGDCHQPABCDE第 15 题的定义等式性质则解得即图评注建立角度之间的关系即建立方程组是几何计算常用的方法例已知如图平分求的度数解两直线平行内错角相等已知即等量代换则等式性
20、质已知图等式性质即等量代换平分已知角平分线定义例如图已知且应添出辅助线图例平面上条直线两两相交且无条或条以上直线共点有多少个不同交点解条直线产生个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有及繁深入思考从中发现规律例个不同的点其中只有点在同一条直线上点确定一条直线问能确定多少条直线解条不同的直线最多确定条直线除去共线的点中重合多算的条直线即能确定的直线为条另法点所在的直线外的点间最多能确定精心整理 精心整理 交点需要减去，转一个方向取 3 条平行线，即可减少 3 个交点，这时还剩下 2 条直线和一个需要减去的点，只须让这 2
21、 条直线在第三个方向上互相平行即可。如图这三组平行线即为所求。的定义等式性质则解得即图评注建立角度之间的关系即建立方程组是几何计算常用的方法例已知如图平分求的度数解两直线平行内错角相等已知即等量代换则等式性质已知图等式性质即等量代换平分已知角平分线定义例如图已知且应添出辅助线图例平面上条直线两两相交且无条或条以上直线共点有多少个不同交点解条直线产生个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有个交点第条直线与前面条均相交增加个交点这时平面上条直线共有及繁深入思考从中发现规律例个不同的点其中只有点在同一条直线上点确定一条直线问能确定多少条直线解条不同的直线最多确定条直线除去共线的点中重合多算的条直线即能确定的直线为条另法点所在的直线外的点间最多能确定