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1、【中考数学】2023届江苏省区域高频考点一模复习专题分层一相似三角形一、综合题1.如图，已知A A B C中，AB=AC=a,BC=1 0 ,动 点P沿C A方向从点C向点A运动，同时，动 点 Q 沿C B方向从点C向 点B运动，速度都为每秒1 个单位长度，P,Q中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动，过 点P作PD/BC,交A B边于点D,连 结DQ,设 P,Q 的运动时间为t（1）直接写出B D的长；（用 含t的代数式表示）（2）若 a=15,求 当 t 为何值时，&A D P与X B D Q相似；（3）是否存在某个a的值，使P,Q在运动过程中，存在SBDQ：S4/IDP：s 筋 形
2、C PD Q =1:4:4 的时刻，若存在，求 出a的值；若不存在，请说明理由2.如图，在 ABC 中，ZACB=90,AC=4,B C=3,点 E、F 分别在 AC,AB 上，连接 EF.（1）将 ABC沿 EF折叠，使点A 落在AB边上的点D 处，如图1,若 S 四 蜕ECBD=2SA EDF,求 AE 的长;(2)将AABC沿 E F 折叠，使点A落在BC边上的点M 处，如图2,若 M F J _ C B.求 AE的长；求四边形A E M F 的面积；(3)若点E在射线AC上，点F在边AB上，点 A关于E F 所在直线的对称点为点P,问：是否存在以P F、CB为对边的平行四边形，若存在，
3、求出AE的长；若不存在，请说明理由.3 .如图，。内两条互相垂直的弦AB.CD(不是直径)相交于点E,连接AD,BD,AC,过 点。作 0F14C于 点F.过 点 A 作。的切线PA,交C D的延长线于点P.(1)求证：2 0 F=BD.(2)若 AC=AB,BD=3,PD=1,求 4 0 的长.4 .如图1,四边形O A B C 是矩形，点A的坐标为(3,0),点 c的坐标为(0,6).点P从 点。出发，沿 OA以每秒1 个单位长度的速度向点A运动，同时点 Q从 点 A 出发，沿A B以每秒2 个单位长度的速度向点8运动，当 点 P与点A重合时运动停止.设运动时间为t秒.(1)当 t =2时
4、，线 段 PQ的中点坐标为(2)当A C B Q与A P A Q相似时，求t的值；(3)当 t =1时，抛物线y =/+b%+c经 过P、Q两点，与y轴交于点M ，抛物线的顶点为K，如图2 所示.问该抛物线上是否存在点D，使乙 M Q D 二l M K Q ，若存在，求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，说明理由.5 .如图，抛物线y=x 2-3 x 交x 轴的正半轴于点A,点8 (-1 ,a)在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接A B、BC,以A B、BC为邻边作DABCD,记点C纵坐标为n,(1)求 a 的值及点A的坐标；(2)当点D恰好落在抛物线上时，求 n 的值；(3)记 CD
5、与抛物线的交点为E,连接A E,B E,当aAEB的面积为7 时，n=.(直接写出答案)6 .综合与探究如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y =a%2 +b x +4交 x轴 于A，B两 点(点 B在 点 4 的左边)，交y轴于点C,其 中 4(1,0),OB=2 OA.(1)求抛物线的函数表达式；(2)连 接B C，点 P为线段B C上一个动点，过 点P作PD/y轴交抛物线于点D,当线段P D的值最大时，求 点P的坐标；(3)在(2)的条件下，是否在y轴上存在点Q ,使 ACPQ与 BOC相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.7 .如图，。是 A B C 的外接圆
6、，AB为直径，NBAC的平分线交。0 于点D,过点D作 D E 1 AC分别交A C、AB的延长线于点E、F.(1)求证：E F 是。的切线；(2)若A C=4,C E=2,求 防的长度.(结果保留n)8 .新定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.如图1,在四边形A B C D中，AD=CD,/.BAD+/.BCD=1 8 0 ,则四边形A B C D是一个等补四边形.在数学活动课上，巧巧小组对等补四边形A B C D进一步探究，发 现B D平分/.ABC.（1）巧巧小组提供的解题思路是：如图2,过 点D分别作D E J.B C 于 E,DF 1 B A交B A的延长线于F,通
7、过证明X A D F 任 C D E，得 DF=DE,再根据“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上“得 到B D平 分 乙4BC.请你写出巧巧小组的完整证明过程；（2）如图3,在平面直角坐标系中，点/、B 在 x 轴上，以A B为直径的O“交 y 轴于点C、D,点、P为 弧B C上一动点（不 与B、C重合），求证：四边形A C P D始终是一个等补四边形；（3）在（2）的条件下，如图4,已知4（1,0）,8（3,0）,巧巧小组提出了一个问题：连 接PA,PC+P D与P A的比值是否会随着点P的移动而变化？若不变化，请求出其比值；若变化，请说明理由.（1）某学校“智慧方园”数学社团遇
8、到这样一个题目：如图 1,在 ABC 中，点 O 在线段 BC 上，ZBAO=30,ZOAC=75,AO=3V3,BO：CO=1：3,求 AB 的长.经过社团成员讨论发现，过点B 作 BDA C,交 AO的延长线于点D,通过构造 ABD就可以解决问题(如图2).请回答：NADB=,AB=.(2)请参考以上解决思路，解决问题：如图3,在四边形ABCD中，对角线AC与 BD相交于点O,ACAD,AO=3V3,ZABC=ZACB=75,BO：OD=1：3,求 DC 的长.10.已知线段A B,只用圆规找AB的中点P.(2)以A 为圆心，AB长为半径作圆；以 B 为圆心，AB长为半径在圆上连续截取，记
9、截点为Bi,B2,B3,B4,B5；以B3为圆心，BB3长为半径画弧；以B 为圆心，AB长为半径画弧，与前弧交于点C；以 C 为圆心，CB长为半径画弧交线段AB于点P.结论：点P 就是所求作的线段AB的中点.(1)配合图形，理解作法，根据作图过程给予证明：点 P 是线段AB的中点.(2)已知。O,请只用圆规把圆周四等分.(保留作图痕迹，不要求写作法)11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M 是边CD上的一点，将 ADM沿直线 AM翻折，得 ANM.连接BN.(1)当点B、M、N 在同一直线时，求DM的长；(2)当DM=1时，求 ANB的面积；(3)当射线BN交线段CD于点F 时，求
10、 DF的最大值.12.综合与实践问题情境RtA ABC 和 RtA DEF 如图 1 放置，点 B 与点 D 重合，ZACB=ZEDF=90,NA=30。，AB=ED=FD=4,EF分别与AC,AB交于点N,点 P,点M 是 AB的中点.（1）数学思考连接M N,求证：点N 是EF的中点；并计算 MNP的面积；（2）操作探究如图2,先将ADEF沿 BC的方向平移，使点D 与点C 重合，再沿CA的方向平移到点D 为AC的中点时停止；过点C 作 CHAB交 DE于点H,连接AH,AN,C M.试判断四边形AMCH的形状，并说明理由；（3）在图2 的基础上，将 DEF绕着点D 顺时针旋转30,CHA
11、B仍然存在,延长CH交 MN于点G,交 EF于点Q,如图3.请直接写出三角形CMG的面积.Q图31 3.在矩形A B C D中，AB2，AD4，F 是对角线A C上不与点A,C 重合的一点，过 F 作FE 1A D于E,将K A E F沿E F翻折得到 G E F，点 G 在射线A D上，连 接CG.(1)如图1,若点A 的对称点G 落 在A D上，上 FGC=90。，延 长 G F 交AB于 H,连 接CH.图1求证：CDG GAH；求 tanzGWC.(2)如图2,若点A 的对称点G 落 在A D延长线上，Z.GCF=90,判 断 G C F与 A A EF是否全等，并说明理由.1 4.如
12、图，点O 是 ABC中AB边上一点，以点O 为圆心，OA的长为半径作。0,恰好经过点C,且与边BC,AB分别交于E,F 两点.连接A E,过点E 作。O 的切线，交线段BF于点M,交AC的延长线于点N,且 EM=BM,EB=AO.；v（3）若。4=B，求A C N E的面积.15.如 图（1）所示，E为矩形ABCD的边A D上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止.设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为y e n?.已知y与t的函数关系图像如图（2）（其中曲线0 G为抛物线的一部分，其余各部分均
13、为线段）.（1）试根据图（2）求0饪5时，4B P Q的面积y关于t的函数解析式；（2）求出线段BC、BE、E D的长度；（3）当t为多少秒时，以B、P、Q为顶点的三角形和 ABE相似；（4）如 图（3）过E作E FLBC于F,BEF绕点B按顺时针方向旋转一定角度，如果4 B E F中E、F的对应点H、I恰好和射线BE、C D的交点G在一条直线，求此时C、I两点之间的距离.16.如图，已 知Z B C和L A D E均为等腰三角形，AC=BC,DE=AE.图 图（1）问题发现：如图，当 乙4cB=乙47）=60。时，点B、D、E在同一直线上，连接C E,请判断线段BD、CE之间的数量关系及“E
14、 B的度数，并说明理由：(2)拓展探究：如图，当ACB=AED=9 0 时，点B、D、E 在同一直线上，连接C E,请判断线段BD、CE之间的数量关系及乙 C E B的度数，并说明理由.答案解析部分1.【答案】(1)解：.FB=AC，：.AABC是等腰三角形，又,：PDBC,则 BD=CP=t x l =t；(2)解：PD/BC,AB=AC=15,AP _ ADAC=AB:.AD=AP=15 t,BD=CP=t,AC=15 FC=10,CP=t,:.PD=10 t，v AADP 和 ABDQ 相似，.QB _BD 或 QB _BDA D-P D P D-A D 10 t _ t 10_t _
15、t1 5 T -10-1t 或 10-|t-15 T解得：A=4,t2=15(舍去)，=15 10(舍去)，t4=6t=4 或 6 时，AADP 与 ABDQ 相似；(3)解：存在，理由是：假设存在SA BDQ：S AADP：S梯形CPDQ-1：4：4,即 SAAPD _ 4 _ 4 SAABC 1+4+4 9 v PD/BC,：.AAPD-AACB,相似比是|,AP _ 2AC=3 设四边形CPDQ的边C Q上的高是h,则ABDQ的边B Q上的高是h,AABC的边B C上的高是3fl,1 1 1*,BQ x h.=BC x 3/i,1(1 0-t)=x 3 x l 020.手，20AP=a,
16、t=a g-AC=ua-20?a 3 _ 2,3代入解得：a=20,.存在某个a 的值，使P、Q在运动过程中，存 在SABDQ：SAADP：S梯形CPDQ=1:4:4 的时刻，a 的值是20.2.【答案】（1）解：ABC沿EF折叠，折叠后点A 落在AB上的点D 处，.*.EFAB,AEFADEF,SA AEFSA DEF,S 四 边 形 ECBD=2SA EDF,*.SA ABC=4SA AEF,在 RtZkABC 中，V ZACB=90,AC=4,BC=3,AB=5,VEF1AB,AZAFE=ZACB,/.RtA AEFSRQ ABC,SM EF _ r鸣 2,瓦 嬴 一（加即：运 一 工，
17、25-4：.AE=1（2）解：ABC沿 EF折叠，折叠后点A 落在AB边上的点M 处，；.AE=ME,AF=MF,NAFE=NMFE,Z.ZAEF=Z A F E,二 AE=AF,；.AE=EM=MF=AF,四边形AEMF是菱形，设 A E=x,则 EM=x,CE=4-x,四边形AEMF是菱形，；.EMAB,CMEACBA,.CM _CE _EMCB=CA=AB CM 4 x x,丁 =丁 =耳%，CM=g,即：AE=-,y 由 知，AE=挈，C M=1：，S菱形AEM F=E CM=罢；(3)解：如图3,当点E 在线段AC上时，.PF与 CB是平行四边形的对边,APF/CB,PF=CB,由对
18、称性知，PF=AF,AE=PE,；.PF=AF=BC=3,设 AE=PE=a,.PFCB,；.AOFAACB,ZAOF=ZACB=90,.AO _ OF _AFAC=CB=AB.AO _0F _ 3 丁 =丁 =5.12 9*A0=芍，OF=5，八 厂 12 八 八 6 OE=g a,PO=耳，在 RtA OPE 中，PE2=OE2+OP2,二次=(芋一C+(|).3 a=2 即：AE;如图4,当点E 在线段AC的延长线上时，延长PF交 AC于 O,同理：0E=。一 等，P0=g在 RtA OPE 中，PE2=OE2+OP2,：.AE=6,即：AE=，或 6.3.【答案】（1）解：连 接 A
19、0 并延长，交。于 点 G,连 接 CG.-A G 为直径，A ZACG=90,GC LAC,v OF 1 AC,OFGC,AF=CF,9：0A=OG,A OF是AACG的中位线，20F=CG,*：AB 1 CD,4 DAE+ADC=90,又 Z A G +Z.AGC=90,Z.ADC=Z.AGC,Z.DAE=Z.CAG,四=，即CG=BD,2OF=BD(2)解：-P A是。的切线，乙PAD+Z.DAG=Z.PAG=90,又 V 乙DCG+AACD=ACG=90。，/.DAG=乙DCG,:.乙PAD=Z-ACD,又 v z_ACD=Z.ABD,:.乙PAD=Z.ABD.VAC=AB,：.AC=
20、AB,Z.ADC=Z.ACD+Z-BAD,X V ZBA C=ZB D C,Z-ADB=乙BDC+Z.ADC=Z-BAC+z-BAD+Z.ACD=Z-CAD+Z.ACD,/.ADP=Z.CAD+Z.ACD,Z-ADP=Z.ADB,ADP-BDA,PD _ AD .而=而 .AD2=PD BD,v BD=3,PD=1，:.AD y/3.4.【答案】(1)(|,2)(2)解：如图1,.四边形OABC是矩形,二 NB=NPAQ=90。二当 CBQ与4 PAQ相似时，存在两种情况：当P A Q sQ B C时，输=嚼,3 t _ 6 2t，-2F 4t2-15t+9=0,(t-3)(t-1)=0,ti
21、=3(舍)，t2=M，当PAQs/MZBQ 时，勃 3 t _ 3*IF 621 t2-9t+9=0,l 93V5t-,.0t7,.x=9+3V5不符合题意，舍去，综上所述，当 CBQ与 PAQ相似时，t 的 值 是|或 2笋(3)解:当 t=l 时，P(1,0),Q(3,2),把 P(1,0),Q(3,2)代入抛物线y=x2+bx+c中得:1 +b +c=,解得：,9+3 b+c=2 c=2抛物线：y=x2-3x+2=(x-1)2-i ,二顶点 k(|1),VQ(3,2),M(0,2),，MQx 轴，作抛物线对称轴，交 MQ于 E,；.KM=KQ,KE_LMQ,NMKE=NQKE=J ZMK
22、Q,如图 2,ZMQD=1/M KQ=NQKE,设 DQ 交 y 轴于 H,VZHMQ=ZQEK=90,KEQAQMH,KE _MQ 屈一 丽 _ 4_ _ J3 M T?2 .MH=2,AH（0,4）,易得HQ的解析式为：y=-1 x+4,则 1 y-+4 ,（y=x2 3%+2x2-3x+2=-|x+4,解得：x i=3 （舍），X2=-|,A D （-|,等）；同理，在 M 的下方，y 轴上存在点H,如图3,使NHQM=*ZMKQ=ZQKE,由对称性得：H(0,0),易得0 Q 的解析式：y=X,（y=x2 3x+2x2-3x+2=|x,解得：X|=3（舍），X2=|,.D2-3xlz4
23、-9综上所述，点D 的坐标为：D(-|,等)或(|,整)5.【答案】(1)解：当 x=-4 时，a=(-1)2-3x(-1)=AB(-1,由 x2-3x=0,得 xi=0(舍去)，X2=3.A(3,0).(2)解：如图1所示：过 D 作 DG，y 轴于G,BH，x 轴于H.ACD/7AB,CD二 AB.AZDCG=ZAEF.BHEF,AZHBA=ZFEA.ZHBA=ZDCG.ZHBA=ZDCG在 ABH 和 DCG 中 z_CGD=乙BHA,AB=CD?.ABHADCG.，.CG=BH=1,DG=AH=，3=.4 2 2/.XD=OF+DG=楙 +彳=5.将 x=5代入抛物线的解析式得：y=1
24、0.，n=10+:=字.4 4 学46.【答案】(1)解：4(1，0),0/4=1.OB=20A=2,8(-2,0)将 点 A(l,0)和 点 6(-2,0)分别代入y=ax2+bx+4 中，得：1 重 於 上 1，解 得 厂 一：抛物线的函数表达式为y=-2 x2-2 x +4(2)解：设直线B C 的表达式为y=kx+b.将 B(-2,0)，c(0,4)代入 y=k x +b 得：2笊=，解得：忆 y=2x+4.I o=4 3=4设点 P(m,2m+4)v PD/y 轴，:.D(m,2m2 2m+4)PD=-2m2 2m+4 (2m+4)=-2m2 4m=-2(m+I)2+2,*2 JOB
25、2+OC2=2遍：.0Q=0C CQ=2，Q 点坐标为（0,2）；当 CPQACOB 时 赞=需，NQCP OCB，此时Q 在 C 的下方.r n CP BC 5C Q=C 0-2：.0Q=OC-CQ=|Q 点坐标为（0,|）；综上所述：Q 点的坐标为（0,2）或（0,|）7.【答案】（1）证明：如图，连 接 0D，0A 0D,Z.OAD=Z.ODA,-AD 平分 Z.EAF,Z.DAE=乙DAO,:.Z-DAE=Z-ADO,A O D/AE,AE 1 EF,.OD EF,E F是。的切线(2)解：如图，作0 G 1 4 E于 点G,连 接BD,1则 AG=CG=AC=2，Z-OGE=ZE=乙
26、ODE=90,.四边形O D E G是矩形，OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4,乙DOG=90,/,DAE=Z.BAD,Z.AED=Z.ADB=90，A A A D EAABD,A E _ AD 日 6 _ AD-A D=AB 9 AD=8 9AD2=48，在 RtAABD 中，BD=y/AB2-AD2=4，在 RtAABD 中，：AB=2BD,/.BAD=30,(BOD=60,则B D的长度为零=等1OU D8.【答案】(1)解：过 点D分别作D E L B C于E,DF J.B A交B A的延长线于F,四边形A B C D是一个等补四边形：.AD=CD,乙BCD+BAD=180又上F
27、AD+(BAD=180：.LFAD=乙 ECD又 上CED=Z.AFD=90,AD=CD：.L A D F =CDE(44S)：.DF=DE9：DE 1 BC,DF 1 BA：.BD 平分 Z.ABC；(2)解：,四边形ACPD是圆的内接四边形:乙CPD+Z-CAD=180,Z.ACP+ADP=180 IM A 为半径，MA _Ly轴 MA垂直平分CD：.AC=AD 四边形ACPD始终是等补四边形；(3)解:不变化作 AE 1 P C 交 PC延长线于E,4尸_ L P O 交 PD于 F：.AC=AD：./-CPA=乙4Po PA平 分心CPD9：AE 1 PC,AF 1 PD：.AE=AF
28、在 Rt ACE 与 Rt ADF 中(AE=AFU c=AD：.Rt LACE 三 Rt AADF(HL)：.EC=DF：.PC+PD=PC+PF+DF=PC+EC+PF在 Rt PAE 与 Rt PAF 中(PA=PAME=AF:.Rt APAE 三 Rt APAF(HL)：.PE=PF：.PC+PD=2PF PC+PDPA舒2PF=2CQSZ.APDr/10),8(3，0)A O M 的直径 4B=4,M(l,0)连接BD：.AAPD=乙 ABD9：A B为直径：.ADB=90：.ADO+乙ODB=90,上ODB+乙OBD=90J.Z.ADO=(DBO9：Z.A0D=乙 DOB=90 A
29、OD DOBAOODOD=OB,即 OD2=4。OB=1 x 3 =3：OD 0，OD=y/3.,.在 Rt OBD 中，DB=VOF2+OD2=32 4-(V3)2=2V3on D o：.2cos/.APD=2cos乙48。=符=2 x=百BD 2V3.PC+PDPA=V 3 .9.【答案】（1）7 5；4 V 3（2）解：过点B作BEA D交A C于点E,如图所示.V ACAD,BEAD,.,.ZDAC=ZBEA=90.V ZAOD=ZEOB,?.AODAEOB,.BO _ EODO-AO毁 VBO-OD=1-3,=-DA-U AO DA 3-VAO=3 V3,/.EO=V3，.AE=4
30、V3.VZABC=ZACB=75,.NBAC=30,AB=AC,：.AB=2BE.在 RSAEB 中，BE2+AE2=AB2,K P (4 V 3)2+BE2=(2BE)2,解得：BE=4,，AB=AC=8,AD=12.在 RtA CAD 中，AC2+AD2=CD2,即 82+122=CD2,解得：CD=4 V1310.【答案】(1)解：连结B3A,B3C,CB,CP,易知B3,A,B 共线，记 A B=r,由作图过程可知BaB=B3c=2r,CP=CB=r,又./CBP 公共，.B3cBsaCBP,.绿=黑，即 红=器，.B P=4 r,即 PCB BP r BP 2为 AB中点；(2)解：
31、作法：以己知圆半径为半径在圆上连续截取，得截点A、B、C、D、E、分别以A、D 为圆心，AC长为半径，作弧，交于点M；以 A 为圆心，AM为半径，在圆上连续截取，得截点Ai、Di、A2.图2结论：A、AH D、A2即圆周四等分点.1 L【答案】(1)解：连接BN,四边形ABCD是矩形，ZD=90,AB=CD=4,V B,M,N 共线，则由折叠性质得：AD=BC=AN=3,NANM=/ANB=90。,BN=yjAB2-A N2=V 7，设 DM=MN=x,则 CM=4-x,在 BCM中，BC2+CM2=BM2,即 32+(4-x)2=(x+V7)2，解得：x=4-夕，即 DM=4-V 7 ;(2
32、)解：延长MN交 AB延长线于点Q,如图所示：,四边形ABCD是矩形，AAB/DC,NDMA=NMAQ,由折叠性质得：4ANM名ZkADM,AZDMA=ZAMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,AZMAQ=ZAMQ,MQ=AQ,设 NQ=x,则 AQ=MQ=l+x,VZANM=90,J ZANQ=90,在 RQANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2,J (x+1)2=32+x2,解得：x=4,ANQ=4,AQ=5,VAB=4,AQ=5,A SANAB=I SA NAQ=I x 1 ANNQ=1 x 1 x3x4=竽；(3)解：过点A 作 AH_LBF于点H,如图所示：,四边形ABCD是
33、矩形,，ABDC,AZHBA=ZBFC,VZAHB=ZBCF=90,A A ABHABFC,.BH _CF 丽=阮 VAHAN=3,AB=4,可以看到点N 是在以A 为圆心3 为半径的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时,DF最大，此时B、N、M 三点共线，如图所示：由折叠性质得：AD=AH,VAD=BC,.AH=BC,.BH _ CFAH=B C，.CF=BH,由勾股定理得：BH=V/4B2-AH2=V7，；.CF=V7,.DF 的最大值=口 =4-V7.12.【答案】（1）解：如图1,过点M 作MG 1 AC于点G,过点P 作PH 14C 于点H,：/.ACB=90,=30,AB=4,1 1
34、ABC=AB=/4 =2,AC=7AB2-BC2=V42-22=2V3.*：BE=BF=4,:BC=CE=2.ACB=乙 EDF=90,：.AC|DF,:FN：NE=DC：CE=1,：.EN=FN,点N 为EF的中点；:NG 1 AC,：.MGA=乙4cB=90,：.MG|BC,/.AMG s&ABC,.AM _ MG,而=宿,点M 是AB的中点，BC=2,：.MG=1.VzEDF=90,DE=DF,，4E=4F=45。，J./-ENC=45,:乙 HNP=45,：.NC=EC=2,:.AN=AC NC=2V3-2.:PH LAC,，乙 PHC=90,：CHPN=乙 HNP=45,:PH=HN
35、.Vzjl=ZJ1,A APH ABC,.PH _ AHBC=AC.PH 2y3-2-PH 7 Z -Z=-，2 273：.HP=4-2 3,11S&MNP SAAMN-S&ANP wMN(MG PH)=之 x 2 x(V3 1)(1-4 4-2遍)=9 5V3(2)解：四边形AMCH为菱形证明：连接MD,点D 为AC的中点，点M 为 AB的中点，乙4cB=90。,：.MD|BC,CM=AM=8M,：.Z.CDM=Z.ACB=90,：.Z.MCA=Z.BAC=30.V CH|48,:(HCD=BAC=30,：.Z.HCD=MCA=30,在H C D 与M C D 中NHCD=Z.MCACD=C
36、D/HDC=zMDC：.HCD 三 MCD(4S%),:CH=CM.Y D 是AC的中点，OH工AC,：.CH=AH,：.AM=CM=CH=AH,四边形AMCH是菱形(3)解：三角形CMG的面积为生旦13.【答案】(1)解：证明：在矩形ABCD中，ZBAD=ZD=90:.NDCG+NDGO90。XVZFGC=90AZAGH+ZDGC=90.,.ZDCG=ZAGH.*.CDG GAH 设 EF=x AEF沿 EF折叠得至口 GEF AE=EGVEFAD ZAEF=90=ZDAEF/CD/AB A EF ADC.EF _ AE,-CD AD.EF _ CD _ 2 _ 1-AE AD 4 2 AE
37、二 EG=2x/.AG=4xVAE=EG,EF/AB.EF _ EG _ 1 丽 AG 2AAH=2EF=2xVA CDG GAH.AG _ AH _ HG-DC DG CG,4%_ 2x _ HG 丁-44x CG.4x _ 3 _ HG,T -2-CGZFCG=90.tanZGHC=浅=|(2)解：不全等理由如下：在矩形 ABCD 中，AC=y/AB2+AD2=722+42=2遮由可知：AE=2EF，.AF=y/AE2+EF2=V5 EF由折叠可知，AG=2AE=4EF,AF=GFVZAEF=ZGCF,ZFAE=ZGAC AEF ACG.AE _ AFAC AG.型 一 店,275 一 T
38、-E F-1 AE=|,AF=|V5FC=AC-AF=2 V5-4 4AAE*FC,EF*FC，不全等14.【答案】(1)解：连 接 0E,直线N M 与。0 相切于点E,：.0E 1 EM,.OEM =90,AzEOM+ZEMO=909JEM=BM,，乙B=LBEM,在 O O 中，AO=EO,EB=AO,EB=EO,AzB=zFOMVzFMO=Z5+乙BEM=248,：.EOM+Z.EMO=ZB+2(B=3乙B,A3ZB=90 B =30,：.Z.EOM=(B=30,.在。中，NEAM=ZEOM=*X 30。=15。；(2)解：连 接 CO,在。中，CO=EOJZ.CEO=/.EOM+NB
39、=2乙B=60,：.ACEO是等边三角形，：.CO=EO=CE，乙COE=60,:.乙COB=A.EOM+乙COE=30+60=90,：.COA=90.,在 O。中，AO=CO,.在 RtAAOC 中，AC=2AO，.AC2=2AO2,;由(1)可知：乙B=BEM=EOM,乙B=,.BEM/BOE,.BE _BM,前=标：.BE2=BM OB:EB=AO,A OA2=BM-OB,.AC2=2AO2,.AC2=2BM-OB；（3）解：过点N 作 NP 1 C E 于点P,.在 RtAOEM 中，0E=40=V5,Z.EOM=30,:.EM=BM=1,OM=2,.由（2）可知，AAOC为等腰直角三
40、角形，：.NAF=45,.在 ZL4NM 中，Z.ANM=180-Z.NAF-/.NMA=180-4 5 -:.乙NCE=乙NAF+=45+30=75,60=75,:.乙NCE=ANM,:.NE=CE,.由（2）可知，ACEO是等边三角形,：.NE=CE=OE=AO 4 3，:乙NEC=乙BEM=30,.在 RtANPE 中 NP=sin/NEC NE=sin30。遍=*，,SACNE=gcE NP=义 V 3 x 孚=，15.【答案】解:观察图像可知，AD=BC=5x2=10,BE=lxlO=lO,ED=4xl=4,AE=10-4=6在 RtA ABE 中，AB=y/BE2-AE2=V102
41、-62=8,如图1 中，作 PMLBC于M.PB _ PM-BE=AB.t _ PM而一 百，APM=1 t,当 0tW5 时，BPQ 的面积 y=j -BQPM=1 2t|t=1 t2(2)解：由(1)可知 BC=BE=10,ED=4(3)解：当 P 在 BE上时，VBQ=2PB,只有NBPQ=90。,才有可能B、P、Q 为顶点的三角形和 ABE相似,ZBQP=30,这个显然不可能，二当点P 在 BE上时;不存在 PQB与 ABE相似.当点P 在 ED上时，观察图像可知，不存在.当点P 在 DC上时，设PC=a,2=62+(8+n)2,此时 t=10+4+(8-)=14.5,.,.t=14,
42、5s 时，PQB 与 A ABE 相似(4)解：如图3 中，设EG=m,GHDE.m _ 4.20B C，,m+10-1 0，-01-y，44 f 4|z)=n.ZU-DE/BC.-,=在 R s BIG 中,VBG2=BI2+G F,二(挈)n=-8+134 或-8-|3 4 (舍弃)，VZBIH=ZBCG=90,J B、I、C、G 四点共圆，AZBGH=ZBCI,VZGBF=ZHBLAZGBH=ZCBI,GBHSM BI,.伟=融：=盖=惮-等1 6.【答案】(1)解：BD=CE,乙CEB=60,理由：V A B C是等腰三角形，AC=BC,ACB=60,/./1BC是等边三角形，同 理&
43、A D E也是等边三角形，4B=BC=AC,AE=AD=DE，：BAD+Z.DAC=Z.DAC+Z,CAE=60,：.BAD=Z.CAE,在A B A D和L C A E中，AD=AEZ.BAD=Z.CAE,AB=AC BAD wzkCAE(S4S),：.BD=CE,Z=乙4DB=180-Z.ADE=120,，乙CEB=Z.AEC 一 4AED=120-60=60；(2)解：BD=V 2C E，乙CEB=45，理由：在等腰三角形A BC中，AC=BC,44cB=90。，：.AB=V24C,乙CAB=45。，同理，AD=V 2 A E，/-ADE=Z.DAE=45,第=器，皿E=WB,：.EAC=/-DAB,ACE ABD f.嚼=器=鱼，AEC=ADB,-,-BD=V2CE,点B、D、E 在同一条直线上，工乙ADB=180-Z.ADE=135,：.Z.AEC=135,：.Z.CEB=Z.AEC-Z.AED=45.