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1、2020-2021学年福建省龙岩高级中学高一上学期期中数学试卷一、单选题(本大题共8 小题，共 40.0分)1 .设集合4 =x|y =不I，集合B =y|y =x2,xe R,则a u B =()A.(t B.0,+o o)C.1,+8)D.l,+o o)2 .已知典城是定义在R上的奇函数，若对于 2 0,都有f(x+2)=真 城，且当城间画掰|时,奠舞=嫄勺，则 贯 国 唾 糅(潮口嘴=A.1 e B.e 1.C.I e D.e +/3 .已知函数f(x)=?其中 幻表示不超过X的最大整数，若直线y =k x+k(k 0)与1/(久 i),x 0,b 0.若4 a +b =a b,则a +
2、b的；IA.1 B.5 C.6 .已知函数/(x)=2 -3 x+i的单调减区间是(A.0,+8)B.(-8,|C.7 .不等式2 +x M f (2 0 2 0)f (2 0 1 9)C./(2 0 2 0)f(2 0 1 9)f(0)B .f(0)/(2 0 1 9)f (2 0 2 0)D./(2 0 2 0)/(O)/(2 0 1 9)二、多选题(本大题共4 小题，共 20.0分)9 .下列各组函数中，f(x)与g(%)是同一函数的有()A./(%)=x,g(x)=elnxB J=|x 1|，。炽)=；二;C./(x)-x2,g(x)=VxD.7(x)=x，g(x)=?1 0 .设函数
3、/(%)是定义在R上的函数，若存在两个不等实数:小,小 e R,使得/仔詈)=色等2则称函数f(x)具有性质P,那么下列选项中，具有性质P的 函 数 是()A./(x)=卜，*B./(x)=x2l 0,x=0C./(x)=x3 D./(x)=|x2 1|1 1 .下列命题中，是真命题的是()A.三边长为5,1 2,1 3 的三角形是直角三角形B.等边三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴C.有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等D.抛物线y =(x+2)2 +1 的对称轴是直线x=-21 2 .下列函数与y =2-2%+3 的值域相间的是()A.y =4 x(%B.y =j +2C.
4、y=D.y=2x Vx 1三、单空题(本大题共4小题，共 2 0.0 分)1 3 .函 数 吗=考 至 的 定 义 域 为 _ _ _ _ .J l g(%+4)3 11 4.设/。)=正 筋,若/(乃=”有唯一解，且/(%0)=G 而，出=/(4 1-1)，n 7*,则 2 0 1 1 =-1 5.已知定义在盛上的奇函数&砥，当初泡遗时，贯:感=短开拓I 那么需Y弱时，,贾您才=1 6.己知/(%)=1 一|x 4-1 1,x V 0X2 2x,x 0/(T)=(2)若实数mE 2,0 ,则|/(%)-/(一1)|在区间 血6+2 上的最大值的取值范围是四、解答题(本大题共6 小题，共 7
5、0.0 分)1 7.(1)求值(1 0 0 0 0 4)I;(2)化简 4%4(3 x 4 y 3)+(6%-z y 3)(%Qfy 0)-1 8.(本小题满分1 4分)如图，在四棱锥P 4 B C。中，四边形AB C。为矩形，5 1/J P，M,N分别为A C,的中P(1)求证：M N平面4B P；(2)求证：平面W R P，平面儿P C的充要条件是Bp 1PQ.1 9 .命题p：关于x的方程/+m x+m =0无实根，命题q：函数f (%)=(m +1尸在R上为减函数,若“p v q”为假命题，求实数机的取值范围.2 0 .1 8.已 知 二 次 函 数 的 最 小 值 为 一 1,且=(
6、1)求a,的值(2)求y=/(X)在 上 的 单 调 区 间 与 值 域.2 1 .某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k),这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为2 47 n 2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 n l 2,凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份W单位：月）的关系有两个函数模型丫=/谈 仅 0,。1）与y=px2+k（p 0,k 0）可供选择.（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.（参考数据：句2=0.3010,1g3 0.4711）.2 2.某仓库为了
7、保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABC。是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E 为 A 8的中点.AEMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）,MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.（1）设 MN与4 8 之间的距离为x 米，试将4 EMN的面积S（平方米）表示成关于x 的函数；（2）求4 EMN的面积S（平方米）的最大值.【答案与解析】1.答 案:D解析：解：集合4 xy-yjx+1=x|x 1-集合B=yy=x2,x G/?=yy 0,Ak)B=xx 1=1,+oo).故选：D.利用并集定义
8、和不等式性质求解.本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.2.答案：B解析：试题分析：根据题意，由于2然磁是定义在R上的奇函数，若对于 0,都有/(x +2)=点 磁，那么可知当髅蟒的|时，黄嚼=/，贯 麴1勤 盟 毒 巧 也 修 懒1除 既 承 如 哪=-费 贼 嘲，故可知 萩 期 嘲醺冬鲍0 l/=e-l,故选B.考点：函数解析式点评：主要是考查了函数就行以及解析式的运用，属于基础题。3.答案：C解析：解：作出y=f(x)的函数图象如下：y =kx+k=k(x+1),恒过点(1,0)若y=/(%)与y=kx+k(k 0)的图象有3个交点，则必须满足:k 0
9、2k+k V 1,解得 k V3/c+/c 1故选：C.作出y=f (%)的函数图象，令两函数有3 个交点列出不等式组得出k 的范围.本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，其中将方程的根转化为函数的零点，然后利用图象法数形结合的思想，分析函数图象交点与K 的关系是解答本题的关键.4.答案：D解析：略5.答案：D解析：解：Q 0,h 0,4。+b=a b,.b=0,解得a l.a-l：.a+b=a+-=a-l+5 2|(a-l)-+5=9,当且仅当a=3,b=6时取等号.a-l a-l y a-l a+b的最小值是9.故选：D.由a 0,b 0,4a+b=ab,可得 b=0,解得 a
10、 l.a +b=a+-*=a 1+-+5,a-la-l a-l再利用基本不等式的性质即可得出.本题考查了基本不等式的性质，属于基础题.6.答案：B解析：解：令t=x2 3x+l =(%-|)2-：,显然二次函数，的图象的对称轴方程为久=|,且f(x)=2 t,故本题即求函数f 的减区间，再利用二次函数的性质可得函数r 的减区间为(-8,|,故选：B.令 =-3 工+1,则/(普=2 1,故本题即求函数f 的减区间，再利用二次函数的性质可得函数f的减区间.本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题.7.答案：A解析：解：不等式可变形为/一%2 0,B
11、|J(x-2)(%4-1)0,解得 2,所以不等式2+%2 0,然后利用一元二次不等式的解法求解即可.本题考查了一元二次不等式的解法，解题的关键是将不等式进行变形，属于基础题.8.答案：B解析：本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较大小的问题，考查函数图象的应用，属于中档题.由条件可知函数f(x)的周期为8,根据题意作出函数/(x)的图象，即可得出结果.解：因 为 函 数/的 定 义 域 为 R,且+是偶函数，所以f(一 x+l)=/Q+l),即有/(2 x)=/(乃，函数f(x)的图象关于直线x=1对称.因为/-1)是奇函数,所以f(x l)=/(%1),即有f(x)=/(-2 x),函 数
12、的 图 象 关于点(-1,0)对称.所以/(2-x)=f(2 x),于是有:/(x+8)=-/(x+4)=/(x),所以函数/(尤)的周期为8.所以 f(2020)=/(4)(2019)=f(3).结合题设/(%)在-1,1 上单调递增，可作出函数f(x)的示意图：由图可得：/(0)/(3)/(4),即有：/(0)/(2019)/(2020).故选8.9.答案：B C解析：本题主要考查同一函数的判断，分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键,是基础题.分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.解：4/(x)的定义域是R,g(x)的定义域是(0,+8),两个函数的定义域不
13、相同，不是同一函数；二;：三；，两个函数的定义域都是R，对应法则也相同,是同一函数；C.g(x)=M,两个函数的定义域都是R,对应法则也相同，是同一函数；D.g(x)-x,xx 0),/(%)的定义域是R,两个函数的定义域不相同，不是同一函数.故选：B C.10.答案：A C D解析：解：选项A：因为函数/X x)都是奇函数，可找到关于原点对称的点，比如%1=1,%2 =-1，则有/(与3 =0 =U =呼2 故 A都具有性质P；同理，选项C也具有性质P；选项B：假设存在两个不等的实数X i，X2&R,使得/(中)_ f(M)+f(%2),即(生产)2=雪1,2解得X1=&,与假设矛盾，故不存
14、在，故 B不具有性质P;选项。：因为函数/。)=氏 2-1|为偶函数，且/(0)=1,令/Q)=|x2-1|=1,解得x =+V 2，则存在Xi =-V 2,使得/(与 鸟=/(0)=1 =血产,故。具有性质P.故选：ACD.直接利用性质尸的定义，对应各个选项逐个验证即可.本题考查了函数的性质以及学生对性质尸的理解能力，涉及到反证法的应用，属于中档题.11.答案：A C D解析：解：对于4由于5 2 +1 2 2 =1 3 2,根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形是直角三角形,此命题是真命题；对于8,等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴，此命题是假命题：对 于 c,利用证两次全等的方法可以
15、判断出：有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等，故此命题真命题；对于。，抛物线y=(x+2)2+l 的对称轴是直线 =-2,是真命题.故选：ACD.直接利用勾股定理的逆定理，等边三角形的性质，三角形的全等，抛物线的定义和性质的应用判定A、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：勾股定理的逆定理，等边三角形的性质，三角形的全等，抛物线的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.12.答案：AC解析：配方可求出、=-2万+3的值域为 2,+8),然后求每个选项的函数的值域，找出与已知函数值域相同的即可.本题考查了函数值域的定义及求法，基本不等式求函数值域的方法，配方求
16、二次函数值域的方法，反比例函数的值域，考查了计算能力，属于中档题.解：y=%2 2x+3=(%I)2+2 2,.,该函数的值域是 2,+8),丁 =4屹*)的 值 域 是 2,+8)；丫 =七+2的值域是(2,+8)；y=x2+i 2,当且仅当=1时等号成立，该函数的值域为 2,+8);对于y=2x-1，设-1=t,(t 0),则x=t 2 +i,y=2t2-t +2=2(t-i)2+99 ；.该函数的值域为片,+8).故选：AC.13.答案：x|-4%3或3 x 1)_ x _ 10解析：解：由 x+4 0 ，解得：一 4 一 3或一3 工工一5或%31.(X+4。1 函数/(%)=：二;1
17、 的定义域为%I -4 V x -3或一3%1.故答案为：%|-4 V x V 3或3 x 1.由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不等于0,对数式的真数大于0联立不等式组求解.本题考查函数的定义域及其求法，考查了一元二次不等式的解法，是基础的计算题.14.答案：短解析：解：/丽，/(x)=x 有唯一解，X 1x=许，解得 0或”:2,由题意知工一2=0,，Q=：,f(%)=a2 八/x+2：=f Qn l)=._1 _ 13-.-1-一xn Xn-1 2，11X v x1=/(x0)=,.-.-=1006,，数列6 是首项为1006,公差等于;的等差数列.xn,=-+(2011-1)=1
18、006+1005=2011,*2011X1 21,I l =而？故答案为：嘉-由已知得f =胃,从而当=/(X n-i)=白 ,十 一 十=*由此能求出数歹式 是首项为1006,x+Z Xn-i十/xn xn-i/xn公差等于2的等差数列.由此能求出结果.本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质和等差数列的性质的合理运用.15.答案：一 系 产 什 富 不 工解析：试题分析：因为，定义在盛上的奇函数,贾您才,一频:一蹴=T-f 配资G 零出冽=一 开常书口。考点：本题主要考查函数的奇偶性。点评：易错题，关键是利用函数的奇偶性，转化成求16.答案：1 1,2解析：解：，IX L X,
19、X N U/(-l)=1-1-1 +11=1;MY颔时,-；A，颔,所以，客Y领时，,宣 静 磁=密 4磔 时;函数表达式。属于常见题型。-Z(X+l,x 1(2)/(x)=/(x)-l=-x-l,-l x 0%+l,x -1令 g(%)=f M =-x-i,-i x 0其图象如下图所示：当m=_ 2 时，g(x)=此时|g(x)|g =l；当?n G (2,-1)时，gMmax=-g(m +2)=-(m+2)2-2(m+2)-1 =-m2-2 m+IE(1,2)；(x i x r 1 o i当7n =.l时，g(x)=2 1 r(=m 11，此时l9(X)lm a x =2,当m e (T,
20、o)时，|g(%)|m o x =-5(m+2)=-(r n +2)2-2(m +2)-1=2m+16 (1,2)；当m=0 时,g(x)=x2-2x -1,x E 0,2,此时|g(x)17n oz=1.综上，若实数me5 2,0 ,则|/。)一/(一1)|在区间m i,?n +2 上的最大值的取值范围是 1,2.(1)直接把x =-1代入已知函数解析式求得了(一 1)的值；(2)令g(x)=/(x)-f(-l),根据题设条件求出g(尤)的表达式，画出其图象，再对，进行讨论，求出|g(%)|的最大值的表达式，进而求得结论.本题考查分段函数的图象及函数最值的几何意义，考查运算求解能力，体现了分
21、类讨论的数学思想，属难题.17.答案：解：(1)(10 0 0 0 4)5 =10 0 0 0 4 3=10 0 0 0 *=10-1 1 1 1 2 1(2)4%4(3 x 4y 3)+(6 x 2y 3)=2xy-3解析：由指数的运算性质进行计算即可得出两个代数式的结果本题考查有理数指数幕的化简计算，基本题，计算型.18.答案：证明：(1)连接8。，由于四边形A B C O 为矩形，则 8 0必过点M.(l分)又点N 是 的 中 点，则M N BP,(2分)M N C 面 AB P,B P u 面 AB P,：.MN 平面ABP.(4分)(2)充分性：由“BP 1 P C”=“平面4BP
22、1 平面A P C”，A B 1 B P,AB 1 B C,B P c f f i PB C,B C c f f i PB C,B P C B C =B,AB 1 面 PB C,（6 分）v PC c f f i PB C,AB V PC,（7分）又：P C 工B P,AB,B P 是面A 8 P 内两条相交直线，PC If f i AB P,PC c f f i APC,（9分）.面4 B P，面4。.（10 分）必要性：由“平面4BP 1平面APC =B P 1 PC.”过8作1 A P 于H,平面4BP _ L平面 A P C,面4BP n 面4P C=AP,B H u 面 AB P,：
23、.B H 1 面4P C.（12分）AB 1 PC,PC If f i l AB P,PC 1 PB.故平面4BP 1平面A P C的充要条件是BP 1 P C.（14分）解析：（1）连接B O,由于四边形A 8 C Q 为矩形，则 8。必过点M.由点N 是 P。的中点，知MN/B P,由此能够证明MN 平面AB P.（2）先证明由“B P A.P C”=“平面/BP 1平面4 P C”，再证明由平面2BP 1 平面A P C”=aB P 1PC.”由此证明平面4BP J平面A P C 的充要条件是BP 1 PC.19.答案：解：命题p真时：4=m2-4 m 0,解得0 m 4,命题4 真时：
24、0 z n +l l,解得 l m 0,若“p V q”为假命题，则p、q”都为假命题，f m 4 ,解得：m S-1或m 2 4或m=0,m 0实数m的取值范围是 m m 4或m=0 .解析：本题考查了复合命题真假的应用，属于基础题.分别求出命题0真、命题q 真时机的范围，由“pvq”为假命题，得p、q”都为假命题，即可解答.20.答案：（i）a =l,b=_ 4,c =3（2）递减区间是-1,2，递增区间是 2,4，值域-1,8解析：分析：（1）、利用待定系数法求二次函数的解析式。(2)、由(1)判断对称轴与区间的位置关系，明确区间的单调性，求最值。解析：(1)、/(X)为二次函数，/Q
25、=/(3)=0,对称轴为 =2，/(x)的最小值为-1,设二次函数的解析式为：f(x)=a(x-2)2-l,a 0二a l=O即 a=L./(x)=(x-2)3-1=，-4x4-3故 a =L b=4,c=3 o(2)由(1)可得，函数的对称轴为x =2,并且a 0,所 以 的 单 调 递 减 区 间 为:S，单调递增区间为:刊。/(X)在X=2处取得最小值为一1；而/(X)在 X =1处取得最大值为8；故fQ。在-L 4 上的值域为：L82 1.答案：解：(1)函数=/(/0,。1)与 丫 =口 +以 0,卜 0)在(0，+8)上都是增函数，随着X的增加，函数y =k a Y k O,a 1
26、)的值增加的越来越快，而函数y =+%的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y =kax(k 0,a 1)符合要求.根据题意可知 =2 时，y =2 4；x =3 时，y =3 6,_ 32北之恭解得二2故该函数模型的解析式为y =*(|)x,1 W X W 1 2,X 6 N*；(2)当x=0时，y=弓，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是吊血2,由蔡.(尸 1 0 x 5,得(|尸10,.%股10=置=忌至”5.9,:x W N*,A x 6,即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.解析：本题考查函数模型的选择及应用，考查指数不等式的解法，考
27、查运算求解能力，是中档题.(1)由题意结合给出的两个函数模型增加的快慢程度，可知选择模型y=kax(k 0,a 1)符合要求,进一步列关于与4的方程组，求得与人的值，则函数解析式可求；(2)取x=0求得元旦放入凤眼莲的覆盖面积，再由题意列指数不等式求解即可.22.答案：解：如 图1所示，当M N在正方形区域滑动，即 0 x W 2时，EMN 的面积 S=g x 2 x x =x；如 图2所示，当M N在三角形区域滑动，即2 V x 2+g时，连接E G,交CD于点、F,交MN于 一 点、H,E为A 8中点，.F为 CO 中点，GF 1 C D,且FG=W.又：MN/CD,MNGA DCG.器吟
28、，即皿=%故八EM N的面积S=1.吟出.=,+(1+rx,0 x 2综合可得：S=V3 2 i n I n ./o上 叵;(-y xz+(1 +)x,2 x 2 +V3(2)当 MN 在正方形区域滑动时，S=x,所以有0 V S工2；2 当 MN 在三角形区域滑动时，5 =-苧/+(1+沿 =_ 曰_ 等)+“萨，因 为 萼 2,则 S 在(2,2 +遮)上递减，无最大值，0 S 2.所以当 =2 时，S 有最大值，最大值为2 平方米.解析：本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，确定分段函数是关键.(1)分类求出MN 在矩形区域、三角形区域滑动时，AE MN 的面积，可得分段函数；(2)分类求出AE MN 的面积的最值，比较其大小，即可得到最值.