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1、学习必备 欢迎下载 轨迹方程的经典求法 一、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程 例 2：在ABC中，24BCACAB，上的两条中线长度之和为 39，求ABC的重心的轨迹方程 解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图 1，M为重心，则有239263BMCM M点的轨迹是以BC，为焦点的椭圆，其中1213ca，225bac 所求ABC的重心的轨迹方程为221(0)16925xyy 二、直接法：直接根据等量关系式建立方程.例 1：已知点(2 0)(3 0)AB，动点()P xy，满足2PA PBx，则点P的轨迹是（）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析：由题知(2
2、)PAxy ，(3)PBxy ，由2P AP Bx，得22(2)(3)xxyx，即26yx，P点轨迹为抛物线故选 D 三、代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.例 3：已知ABC 的顶点(3 0)(1 0)BC，顶点A在抛物线2yx上运动，求ABC的重心G的轨迹方程 解：设()G xy，00()A xy，由重心公式，得003133xxyy，00323xxyy，又00()A xy，在抛物线2yx上，200yx 将，代入，得23(32)(0)yxy，即所求曲线方程是2434(0)3yxxy 四、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.例 5：已知 A，B，D
3、 三点不在一条直线上，且(2 0)A，(2 0)B，2AD，1()2AEABAD（1）求E点轨迹方程；（2）过A作直线交以A B，为焦点的椭圆于MN，两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆方程 解：（1）设()E xy，由1()2AEABAD知E为BD中点，易知(22 2)Dxy，又2AD，则22(222)(2)4xy 即E点轨迹方程为221(0)xyy；（2）设1122()()M xyN xy，中点00()xy，由题意设椭圆方程为222214xyaa，直线MN方程为(2)yk x 学习必备 欢迎下载 直线MN与E点的轨迹相切，2211kk，解得33k 将3
4、3y (2)x 代入椭圆方程并整理，得222244(3)41630axa xaa，2120222(3)xxaxa，又由题意知045x ，即2242(3)5aa，解得28a 故所求的椭圆方程为22184xy 五、参数法：如果不易直接找出动点坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来 例 4：已知线段2AAa，直线l垂直平分AA于O，在l上取两点PP，使其满足4OP OP，求直线AP与AP 的交点M的轨迹方程 解：如图 2，以线段AA所在直线为x轴，以线段AA的中垂线为y轴建立直角坐标系 设点(0)(0)Pt t，则由题意，得40Pt，由点斜式得直线APAP，的方程分别为4()(
5、)tyxayxaata，两式相乘，消去t，得222244(0)xa yay这就是所求点 M 的轨迹方程 评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.配套训练 一、选择题 1.已知椭圆的焦点是 F1、F2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长 F1P 到 Q，使得|PQ|=|PF2|，那么动点 Q的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 2.设 A1、A2是椭圆4922yx=1 的长轴两个端点，P1、P2是垂直于 A1A2的弦的端点，则直线 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程为()A.14922yx B.14922xy C.14922
6、yx D.14922xy 二、填空题 3.ABC 中，A为动点，B、C 为定点，B(2a,0),C(2a,0)，且满足条件 sinCsinB=21sinA,则动点 A的轨迹方程为_.4.高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距 10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为 A(5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.求的重心的轨迹方程解以线段所在直线为轴线段的中垂线为轴建立直角坐标系如图为重心则有点的轨迹是以为焦点的椭圆其中所求的重心的轨迹方程为二直接法直接根据等量关系式建立方程例已知点动点满足则点的轨迹是圆椭圆双迹问题例已知的顶点顶点在抛物线上
7、运动求的重心的轨迹方程解设由重心公式得又在抛物线上将代入得即所求曲线方程是四待定系数法当曲线的形状已知时一般可用待定系数法解决例已知三点不在一条直线上且求点轨迹方程作直线点轨迹方程为设中点由题意设椭圆方程为直线方程为学习必备欢迎下载直线与点的轨迹相切解得将代入椭圆方程并整理得又由题意知即五参数法如果不易直接找出动点坐标之间的关系可考虑借助中间变量参数把联系起来解得故所求学习必备 欢迎下载 三、解答题 5.已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，O切直线 l 于点 A，又过 B、C 作O异于 l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.6.双曲线2222b
8、yax=1 的实轴为 A1A2，点 P 是双曲线上的一个动点，引 A1QA1P，A2QA2P，A1Q 与 A2Q的交点为 Q，求 Q 点的轨迹方程.求的重心的轨迹方程解以线段所在直线为轴线段的中垂线为轴建立直角坐标系如图为重心则有点的轨迹是以为焦点的椭圆其中所求的重心的轨迹方程为二直接法直接根据等量关系式建立方程例已知点动点满足则点的轨迹是圆椭圆双迹问题例已知的顶点顶点在抛物线上运动求的重心的轨迹方程解设由重心公式得又在抛物线上将代入得即所求曲线方程是四待定系数法当曲线的形状已知时一般可用待定系数法解决例已知三点不在一条直线上且求点轨迹方程作直线点轨迹方程为设中点由题意设椭圆方程为直线方程为学
9、习必备欢迎下载直线与点的轨迹相切解得将代入椭圆方程并整理得又由题意知即五参数法如果不易直接找出动点坐标之间的关系可考虑借助中间变量参数把联系起来解得故所求学习必备 欢迎下载 7.已知双曲线2222nymx=1(m0,n0)的顶点为 A1、A2，与 y 轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、Q.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程；(2)当 mn 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.已知椭圆2222byax=1(ab0),点 P 为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，F1PF2的外角平分线为 l，点F2关于 l 的对称点为 Q，F2Q 交 l 于点 R.(1)当 P
10、 点在椭圆上运动时，求 R形成的轨迹方程；(2)设点 R形成的曲线为 C，直线 l：y=k(x+2a)与曲线 C 相交于 A、B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，求 k的值.求的重心的轨迹方程解以线段所在直线为轴线段的中垂线为轴建立直角坐标系如图为重心则有点的轨迹是以为焦点的椭圆其中所求的重心的轨迹方程为二直接法直接根据等量关系式建立方程例已知点动点满足则点的轨迹是圆椭圆双迹问题例已知的顶点顶点在抛物线上运动求的重心的轨迹方程解设由重心公式得又在抛物线上将代入得即所求曲线方程是四待定系数法当曲线的形状已知时一般可用待定系数法解决例已知三点不在一条直线上且求点轨迹方程作直线点轨迹方程为设中点
11、由题意设椭圆方程为直线方程为学习必备欢迎下载直线与点的轨迹相切解得将代入椭圆方程并整理得又由题意知即五参数法如果不易直接找出动点坐标之间的关系可考虑借助中间变量参数把联系起来解得故所求学习必备 欢迎下载 参考答案 配套训练 一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,动点 Q 到定点 F1的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆.答案：A 2.解析：设交点 P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P 共线，300 xyxxyyA2、P2、P
12、共线，300 xyxxyy 解得 x0=149,149,3,92220200yxyxxyyx即代入得 答案：C 二、3.解析：由 sinCsinB=21sinA,得 cb=21a,应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222axayax.答案：)4(1316162222axayax 4.解析：设 P(x,y），依题意有2222)5(3)5(5yxyx,化简得 P 点轨迹方程为 4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0 三、5.解：设过 B、C 异于 l 的两切线分别切O于 D、E 两点，两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，
13、|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B、C 为两焦点的椭圆，以 l所在的直线为 x 轴，以 BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点 P 的轨迹方程为728122yx=1(y0)6.解：设 P(x0,y0）(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件yaxyaxxxaxyaxyaxyaxy220000000)(11得 而点 P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2，即
14、b2(x2)a2(yax22)2=a2b2 化简得 Q 点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xa).7.解：(1)设 P 点的坐标为(x1,y1)，则 Q 点坐标为(x1,y1),又有 A1(m,0),A2(m,0),求的重心的轨迹方程解以线段所在直线为轴线段的中垂线为轴建立直角坐标系如图为重心则有点的轨迹是以为焦点的椭圆其中所求的重心的轨迹方程为二直接法直接根据等量关系式建立方程例已知点动点满足则点的轨迹是圆椭圆双迹问题例已知的顶点顶点在抛物线上运动求的重心的轨迹方程解设由重心公式得又在抛物线上将代入得即所求曲线方程是四待定系数法当曲线的形状已知时一般可用待定系数法解决例已知三点不在一条
15、直线上且求点轨迹方程作直线点轨迹方程为设中点由题意设椭圆方程为直线方程为学习必备欢迎下载直线与点的轨迹相切解得将代入椭圆方程并整理得又由题意知即五参数法如果不易直接找出动点坐标之间的关系可考虑借助中间变量参数把联系起来解得故所求学习必备 欢迎下载 则 A1P 的方程为：y=)(11mxmxy A2Q 的方程为：y=)(11mxmxy 得：y2=)(2222121mxmxy 又因点 P 在双曲线上，故).(,12212221221221mxmnynymx即 代入并整理得2222nymx=1.此即为 M 的轨迹方程.(2)当 mn 时，M 的轨迹方程是椭圆.()当 mn 时，焦点坐标为(22nm,
16、0)，准线方程为 x=222nmm,离心率 e=mnm22；()当 mn 时，焦点坐标为(0,22nm),准线方程为 y=222mnn,离心率 e=nmn22.8.解：(1)点 F2关于 l 的对称点为 Q，连接 PQ，F2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又221010yycxx 得 x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y
17、0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故 R的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)(2)如右图，SAOB=21|OA|OB|sinAOB=22asinAOB 当AOB=90时，SAOB最大值为21a2.此时弦心距|OC|=21|2|kak.在 RtAOC 中，AOC=45，.33,2245cos1|2|2kkaakOAOC 求的重心的轨迹方程解以线段所在直线为轴线段的中垂线为轴建立直角坐标系如图为重心则有点的轨迹是以为焦点的椭圆其中所求的重心的轨迹方程为二直接法直接根据等量关系式建立方程例已知点动点满足则点的轨迹是圆椭圆双迹问题例已知的顶点顶点在抛物线上运动求的重心的轨迹方程解设由重心公式
18、得又在抛物线上将代入得即所求曲线方程是四待定系数法当曲线的形状已知时一般可用待定系数法解决例已知三点不在一条直线上且求点轨迹方程作直线点轨迹方程为设中点由题意设椭圆方程为直线方程为学习必备欢迎下载直线与点的轨迹相切解得将代入椭圆方程并整理得又由题意知即五参数法如果不易直接找出动点坐标之间的关系可考虑借助中间变量参数把联系起来解得故所求学习必备 欢迎下载 求的重心的轨迹方程解以线段所在直线为轴线段的中垂线为轴建立直角坐标系如图为重心则有点的轨迹是以为焦点的椭圆其中所求的重心的轨迹方程为二直接法直接根据等量关系式建立方程例已知点动点满足则点的轨迹是圆椭圆双迹问题例已知的顶点顶点在抛物线上运动求的重心的轨迹方程解设由重心公式得又在抛物线上将代入得即所求曲线方程是四待定系数法当曲线的形状已知时一般可用待定系数法解决例已知三点不在一条直线上且求点轨迹方程作直线点轨迹方程为设中点由题意设椭圆方程为直线方程为学习必备欢迎下载直线与点的轨迹相切解得将代入椭圆方程并整理得又由题意知即五参数法如果不易直接找出动点坐标之间的关系可考虑借助中间变量参数把联系起来解得故所求