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1、学习必备 欢迎下载 2015 年高考函数的图像专题讲义 河南省三门峡市卢氏县第一高级中学 山永峰 图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据。在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度。主要以选择题、填空题的形式出现，属于中偏高档题。主要考查形式有：知图选式、知式选图、图像变换（平移、对称、翻折、伸缩变换），以及自觉的运用图像解题。因此要注意识图、读图能力的提高以及数形结合思想的灵活运用。笔者以近几年高考题为载体，结合自己的教学经验整理如下，不足之处敬请斧正！备考方向要明了 考 什 么 怎 么 考 学习必备 欢迎下载 1.在实际情境中，
2、会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题 3.会用数形结合思想、转化与化归思想解决函数问题.高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考查函数图象的判断及应用 1.对图象的判断主要有以下两种：(1)根据所给函数解析式，利用其与基本初等函数的关系以及它们之间的变化规律，根据图象变换得出所求函数的图象，如 2012 年四川 T5，新课标全国 T10 等(2)根据函数的性质(如：奇偶性、单调性、周期性等)或函数图象的特殊点得出所求函数的图象，如 2012 年山东 T9 等 2.图象的应用主要有以下几个方面：求函
3、数的值域、单调区间，求参数的取值范围，判断非常规解的个数等，如 2012年福建 T15，天津 T14 等.归纳 知识整合 1利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线 首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线 2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：yf(x)a0，右移a个单位a0，上移b个单位b1，伸为原来的A倍0A0)对称，那么其图象如何变换才能使它变为奇函数？其解析式变为什么？间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基
4、础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 提示：向左平移 a 个单位即可；解析式变为
5、 yf(xa)自测 牛刀小试 1(教材习题改编)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车行驶的路程 s 看作时间 t 的函数，其图象可能是()2函数 yx|x|的图象经描点确定后的形状大致是()3函数 yln(1x)的图象大致为()4已知下图(1)中的图象对应的函数为 yf(x)，则下图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是_(填序号)yf(|x|)；y|f(x)|；yf(|x|)；yf(|x|)5(2012 镇江模拟)函数 f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图所示，那么不等式f xcos x0，且 a1)的图像如图 1-1所示
6、，则下列函数图像正确的是()图 1-1 A B C D 寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法(1)知图选式：间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函
7、数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图象的变化趋势，观察函数的单调性；从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观察函数的周期性 利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项(2)知式选图：从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；结合图像的特殊点（极值点、与坐标轴的交点等）。从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性 从函数的周期性，判断图象的循环往复 利用上述方法，排除错误选
8、项，筛选正确选项 注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口 强化训练：2函数 yx22sin x 的图象大致是()3(2013 杭州模拟)已知函数 f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()Af(x)x22ln|x|Bf(x)x2ln|x|Cf(x)|x|2ln|x|Df(x)|x|ln|x|间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧
9、正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 .2014 年浙江卷 在同一直角坐标系中，函数 f(x)xa(x0)，g(x)logax 的图像可能是()A B C D 考点三：函数图象的应用 例4(2012 天津高考)已知函数y|x21|x1的图象与函数ykx2的图象恰有两个交
10、点，则实数 k 的取值范围是_ 互动探究：若将“ykx2”改为“ykx”，k 的取值范围是什么？例 5：2013 江西卷 如图 13 所示，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1，l2之间，ll1，l 与半圆相交于 F，G两点，与三角形 ABC 两边相交于 E，D 两点 设弧 FG 的长为 x(0 x1.设函数f x(x22)(x1)，xR.若函数 yf(x)c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是()A(1,1(2，)B(2，1(1,2 C(，2)(1,2 D2，1 6 已知 a0，且 a1，f(x)x2ax，当 x(1,1)时，均有 f(x)1
11、2，则实数 a 的取值范围是_ 1 个易错点图象变换中的易错点 在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的
12、变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 才能避免出错 3 个关键点正确作出函数图象的三个关键点 为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：(1)正确求出函数的定义域；(2)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 yx1x的函数；(3)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程 3 种方法识图的方法 对于给定函数的图象，要能从图象的左
13、右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：(1)定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；(2)定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.易误警示作图不准确或数与形不吻合致误 典例 6(2011 新课标全国卷)函数 y11x的图象与函数 y2sin x(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于()A2 B4 C6 D8 易误辨析 1如果作出的函数图象比较粗糙，极易造成区间(1,2)上的
14、两个交点遗漏，从而误选 B.2如果作函数 y11x的图象不够准确，只注意到图象过点间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等
15、的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 32，1，极易忽视区间32，2 上的交点，从而误选 C.3如果不能正确地挖掘函数 y11x及 y2sin x(2x4)的图象均关于点(1,0)对称，从而无法求出交点横坐标的和 4解决此类问题，避免在解题过程中出现失误，应关注以下几点：(1)平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成(2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力(3)训练由图分析其函数性质的解题技巧 强化训练：1已知函数 f(x)|2x1|，x2，3x1，x2，
16、若方程 f(x)a0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为()A(1,3)B(0,3)C(0,2)D(0,1)2已知 a，b，c 依次是方程 2xx0，log2x2x 和 log12xx的实数根，则 a，b，c 的大小关系是_ 间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会
17、根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 2015届高考函数的图像专题检测题 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)1函数 y x2 xx11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 6设函数 f(x)xx，x0，f x1，x0)与函数 yf(x)的图象有三个不同的交点，则 k的取值范围是()A.14，13 B.0，14
18、C.14，13 D.14，13 7.2013 四川卷 函数 yx33x1的图像大致是()二、填空题 8函数 f(x)axb，x0，logcx19，x0的图象如图所示，则 abc_.间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化
19、规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 9(2013 盐城模拟)若关于 x 的不等式 2x2|xa|至少有一个负数解，则实数 a 的取值范围是_ 10已知函数 yf(x)(xR)满足 f(x1)f(x1)，且 x1,1时，f(x)x2，则函数 yf(x)与 ylog5x 的图象交点的个数为_ 三、解答题(本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分)11已知函数 f(x)x|mx|(xR)，且 f(4)0.(1)求实数 m
20、的值；(2)作出函数 f(x)的图象；(3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式 f(x)0 的解集；(5)求当 x1,5)时函数的值域 12当 x(1,2)时，不等式(x1)20 时，函数 f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于 1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于 0 的正根，可分别得 1，22，2,1，由此可得仅函数 f(x)x2ln|x|符合条件 例：答案(0,1)(1,4)互 动：解：函 数 可 表 示 为y x1，x1或x1，x1，1x1，图象为如图所示的实间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据
21、在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交点，则
22、 k(0,1)(1,2)变式 5：6.解析：由题知，当 x(1,1)时，f(x)x2ax12，即 x212ax.在同一坐标系中分别作出二次函数 yx212，指数函数 yax的图象，如图，当 x(1,1)时，要使指数函数的图象均在二次函数图象的上方，需12a2 且 a1.故实数 a 的取值范围是12a1 或 1a2.答案：12，1(1,2 典例 5：D 解析 设 l，l2距离为 t，cos x2t21，得 tcos x12.ABC 的边长为23，BE231t1，得 BE23(1t)，则 y2BEBC223(1t)232 34 33cos x12，当 x(0，)时，非线性单调递增，排除 A，B，求
23、证 x2的情况可知选 D.典例 6：解析 由题意知 y11x1x1的图象是双曲线，且关于点(1,0)成中心对称，又 y2sin x 的周期为 T22，且也关于点(1,0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点(1,0)成中心对称，再结合图象(如图所示)可知两图象在2,4上有 8 个交点，因此 8 个间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎
24、下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 交点的横坐标之和 x1x2x8428 答案 D 变式：1.2.答案：acb 检测题答案 1-7：D C .解析：选 D 依题意作出函数 f(x)xx，x0，f x1，x0与直线y13(x1)，y14(x1)的部分图象，如下图所示从图象中我们可以看出当 k14时，函数 f(
25、x)与直线 y14(x1)的图象有三个交点，当 k13时，函数 f(x)与直线 y13(x1)的图象有两个交点，所以当14k0，则其临界情况为两函数图象的交点间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和
26、研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 为(0,2)，此时 a2.结合图象可知，实数 a 的取值范围是94，2.10.11.解：(1)f(4)0，4|m4|0，即 m4.(2)f(x)x|4x|x x4 x224，x4，x x4 x224，x0 的解集为x|0 x4(5)f(5)54，由图象知，函数在 1,5)上的值域为0,5)12.解：设 f(x)(x1)2，g(x)logax，在同一直角坐标系中画出f(x)与 g(x)的图象，要使 x(1,2)时，
27、不等式(x1)2logax 恒成立，只需函数 f(x)的图象在 g(x)的图象下方即可当 0a1 时，如图，使 x(1,2)时，不等式(x1)2logax 恒成立，只需 f(2)g(2)，即(21)2loga2，解得 1a2.综上可知，1a2.13.解：(1)设 P(x0，y0)是 yf(x)图象上任意一点，则 y0f(x0)又 P 点关于 xm 的对称点为 P，则 P的坐标为(2mx0，y0)由已知 f(xm)f(mx)，得 f(2mx0)fm(mx0)fm(mx0)f(x0)y0.间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的
28、考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函学习必备 欢迎下载 即 P(2mx0，y0)在 yf(x)的图象上 yf(x)的图象关于直线 xm 对称
29、(2)对定义域内的任意 x，有 f(2x)f(2x)恒成立|a(2x)1|a(2x)1|恒成立，即|ax(2a1)|ax(2a1)|恒成立又 a0，2a10，得 a12.备选题：1.解：(1)函数化为 y x12294 x2，x12294 x2，图象如图(1)所示(2)yx22x3yx22|x|3y|x22|x|3|.图象变换如图(2)所示 间的函数关系的一个重要途径是研究函数性质的一种常用方法是数形结合的基础和依据在今后的高考中将会加大对函数图像的考查力度主要以选择题填空题的形式出现属于中偏高档题主要考查形式有知图选式知式选图图像变换平移几年高考题为载体结合自己的教学经验整理如下不足之处敬请斧正备考方向要明了考什么怎么考学习必备欢迎下载高考对本节内容的考查主要以选择题或填空题的形式考在实际情境中会根据不查函数图象的判断及应用同的需要选择及它们之间的变化规会运用函数图象理解和研律根据图象变换得出所求函数的图象如年四川究函数的性质解决方程解新课标全国等的个数与不等式的解的问根据函数的性质如奇偶性单调性周期性等或函数题图象的特殊点得出所求函