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1、第09练 平行四边形的综合问题:金-Zv-_X-拓 展 练一、单选题1.如图，在中，。为斜边AC的中点，E为BD上一点,尸为CE中点.若A E=4）,DF=2,则8。的 长 为（)C.25/3D.4【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线可以求得的长，再 根 据 可 以 得 到 4。的长，然后根据宜角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得8。的长.【详解】解：为斜边4 C 的中点，尸为CE中点，DF=2,：.AE=2DF=4,：AE=AD,：.AD=4,在放A/W C中，D 为斜边4 c 的中点，：.BD=AC=AD=4,故选：D.【点睛】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形
2、的中位线，解答本题的关键是求IHAZ）的长.2.如图，四边形ABC。中，ZA=90,AB=8,4 0=6,点 M,N 分别为线段8C,A8上的动点（含端点,但点M 不与点B重合），点 E,尸分别为M,MN的中点，则 E尸长度的最大值为（）cA.8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】连接DM 根据三角形中位线定理得到EF=；Z W,根据题意得到当点N 与点B 重合时，DN最 大,根据勾股定理计算，得到答案.【详解】解：连接。M.点/分 别 为。M,的中点，.E/是 AMM）的中位线，E F=-D N ,2;点 M,N 分别为线段8C,4 8 上的动点，；当点N 与点B 重合时，DN
3、最 大,此时OV=J/W2+A2=1。En 长度的最大值为：1xl0=5,故选D.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.3.如图，在菱形A8CD中，Z A B C =1 20,A B=6.动点P 从点A 出发，以 1 个单位长度/秒的速度沿AD方向向点。运动，同时，动点。从点C 出发沿C 4方向向点A运动，它们同时到达目的地，则运动到（）秒时PQ=PO.D.5【答案】A【解析】【分析】分两种情形求解即可：当点。与点。重合时，PQ=OP,法构建方程即可解决问题.【详解】解：四边形ABCD是菱形，：.A B=A D,A O=
4、CO,BC/A D,：Z A B C =20,：.ZBA D=60,.ABD是等边三角形，ZBA O=ZD A O=30,：.BO=A B=3,此时尸3 秒；如图1 中，当 OP=PQ时，想办:.CO=A氏巧豆=36,设点。的运动速度为x 单位/秒，由题意得6。_ 6-，X 1解得k 4,经检验户&符合题意.当点Q 与点。重合时，P Q=O P,此时U36+6=3 秒;如图1中，当O P=P。时，作P H L O A于H,则QH=OH.在 RAAP“中，PA=t,/用”=3 0,:.A H=Bt,2：.OH=3 6当t,.QH=（衣卜3 ），1 5/3 1-3）=3 5/3 -t229解得片，
5、g综上所述，当43秒或秒时，OP=PQ.故选A.【点睛】本题考查菱形的性质、含3 0。角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.4.如图，矩形43c o中，A O =上A B,N A 4 O的平分线交BC于点E,DF L AE,垂足为F,连接下万 _1列结论：AD=AE；Z DE A=Z DE Ci DE L C F；BF=FC；若钻=1,则 5.4 =注 二.其2中正确的结论有（）A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】D【解析】【分析】根据4 E平分/D4E,PJ W BAE=ZDAE=ZBAD=45,从而得到
6、AB=BE,进而得到4=伤 记,可得正确；然后证明 A B E g/X A),可得AB=BE=AF=FD,从而得到/A E C=/C E。，故正确；再证得 DEF/XDEC,可得正确；再根据 A8FWZCF,可得8F=C尸，故正确；过点尸作F G,8 c于点G,可得CE=EF=丘FG=6 E G，从而得到8 c=2(应+1)FG=2(应+1)EG,进而得到EG=FG=三 反 ,可得正确；即可求解.【详解】解：在矩形 4BCD 中，ZBAD=ZADC=ZABC=90,AD=BC,AD/BC,平分 ND4E,/.NBAE=ZDAE=-NBAD=45,2,JAD/BC,：.ZDAE=ZAEB=45,
7、：.ZAEB=ZBAE=45,：.AB=HE,AE=6A B -AD=6AB，：.AE=AD,故正确；在 ABE和 A尸。中，V ZBAE=ZDAE,ZABE=ZAFD,AE=AD,：./ABE/AFD(AAS),：.BE=DF,：.AB=BE=AF=FD,：.ZADE=ZAED=-(1801-45)=67.5,2ZAED=ZCED,故正确；ZDAE=45,DFAE,；ZADF=45,A ZCDF=45,N EDF=NADE-NADF=22.5。,：.ZCDE=ZFDE=22,5tV ZAEB=45,ZAED=67.5,；ZCED=67.5,:./AED=/CED,:DE=DE,.,.DEFA
8、DEC,:DF=CD,：.DEl.CFf故正确；,:AB=CD,NBAE=NCDF=45。,AF=DFf：.ABF9XDCF,：.BF=CF9故正确；如图，过点尸作尸G,8。于点G,：.FG/ABf：.ZEFG=ZBAE=45f：.NEFG=NFEG,:.FG=GE,:/DEFq/XDEC,：.CE=EF,二 CE=EF=yfiFG=E G，CG=(我+1)尸 G=(a +1)EG,:BF=CF,:BG=CG,/.B C =2（7 2 +1）F G =2（7 2+1）E G,AB=,BC=-j2AB,2（虎+I）E G =0,解得：EG=FG=2 ,2：S BFC=BC FG=LXZ巫 乂 拒
9、=立 心.故正确；B F C 2 2 2 2.正确的有5个.故选：D【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识,熟练掌握相关知识点是解题的关键.5.如图，点 E和点F分别在正方形纸片A B C C 的边C。和 A。匕 连接A E,B F,沿 B P 所在直线折叠该纸片，点 A恰好落在线段A E 上点G处.若正方形纸片边长1 2,DE=5,则 GE的 长 为（）【答案】C【解析】【分析】设8 尸交于点0,证明A B A 尸名 A D E（A S 4）得至lj A F =D E=5,利用勾股定理得到BF=22+52=1 3，再利用等面积法求
10、出人。=2,进一步得到A G=2 A 0 =嗜，再 利 用 勾 股 定 理 得 到=所以 G E =A E -A G =13-1 210 =4 9.1 3 1 3【详解】解：设 A E,BF交于点O,D 沿BF所在直线折叠该纸片，点4恰好落在线段AE上点G处,:,AO=OG,AG.LBF,A8CO为正方形,A AB=A D,ZBAF=ZADE=90,/ZBAO+ZDAE=90,BAO+ZABO=90,ZABO=ZDAE,在B4/和中,AB=ADZABO=ZDAEZBAF=ZADE BAF/ADE（ASA）,AF=DE=5,BA=12,BF=y/l 于+5?=13,AG1.BF,-BAAF=-A
11、OBF,即-.12-5=-AOA3,2 2 2 2A。晶,13.AO=OG,AG 240=-,13 AE=V122+52=13,120 49 GE=AE-AG=l 3-=.13 13故选：C.【点睛】本题考查折叠的性质，正方形性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等面积法.解题的关键是证明BAF 四（4%）得到人尸=3 =5,再求出 AG,A E.6.如图，在矩形ABCD中，4）=4,将 4 4 向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为 .若将）8 沿E4向内翻折，点8 恰好落在 上，记为用，则下列结论不正确的是（）A.4。=4 B.4 3=6 0 C.AB=2-3 D.AE=2【答案】D【
12、解析】【分析】用折叠性质判断A 正确；用折叠性质和平角性质判断B 正确；根据折叠性质可知NADE=NAE=3 0 ,推出 幺 OC=N A O E,根据角平分线性质得到AC=4 4,根据得到AB=AC=g B C=2,根据含30。角的直角三角形的边的关系推出CD=6AC=2有，可判断C 正确；根据折叠性质可知AE=A E,根据含30。角 的 直 角 三 角 形 边 的 关 系 推 出 手4 8 =,可判断D 不正确.【详解】A.4。=4由折叠知，AO=AO=4,故 A 正确；B./-BE=60由折叠知，么ED=E D =NBEA,且/4七。+/4 。+/8石 4=180,/.N8E4=60,故
13、 B 正确；C.AB=2 6,J AAED=ED=ABE=60,，ZAD=Z/DE=30,/.ZAlDC=ZADC-(ZADE+ZA,DE)=30,/.ZDC=Z 4D,AtC CD,AB|_LBQ/.q c =AB1，V AjB,=4 B,AQ=8C=4,A8=AC=gBC=2,?.AB=CD=3A,C=2 ,故 C 正确；D.AE=2._2/3 4 _ 4 AE=A.E=-A,B=-,3 1 3故 D 不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了矩形，折叠，角平分线，含 30。角的直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的边角性质，折叠的性质，角平分线的定义和性质，含 30。角的直角三角形三边
14、的关系.7.如图,正方形A8C。边长为4,点 E 是C。边上一点，且 ZABE=75.P 是对角线BD上一动点，则AP+BP的最小值为（）A.4B.4 7 2 V 2 +5/6D.5/2,+-6【答案】D【解析】【分析】连接AC,作P G J _ B E,证明当AP+；B尸取最小值时，A,P,G三点共线，且A G _L B E,此时最小值为A G,再利用勾股定理，3 0。所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.【详解】解：连接AC,作PG工BEA F T 7D:A B C。是正方形且边长为4,/.ZABO=45,AC.LBD,A O=2五，/Z A B E =7 5,J/P B G =30。,
15、PG=BP,2当A P +；B尸取最小值时，A,P,G三点共线，且AG L BE,此时最小值为A G,V Z A B E =7 5,AG 上 BE,Z fiAG=1 5,ZBAO=45 9J ZPAO=30,设OP=b,则A尸=,2+（2五）2=（2/7）2,解得：氏半，设 PG=a,则 BP=2a,B O -2/2 la+/?=2/2）解得：a=y2/A G =A P+P G =2b+a=+娓,故选：D【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，*所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当AP+；BP取最小值时，A,P,G三点共线，且A G L B E,此时最小值为AG.8.如图，
16、将正方形纸片ABC。沿EF折叠，使点8落在AO边的点P处（不与点4点。重合），点C落在G点处，P G 交 DC 于点H,连 接8P,BH.B H 交 E F 于点、M,连接P M.下列结论：P8平分/4PG；P H=A P+C H；B M=B P,若BE。，A P=,则S座其中正确结论的序号是（）2 3 3A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据折叠的性质，N E P G =N E B C =9 0，EB=E P,从而彳博到NEPB=N E B P，根据直角三角形两锐角互余,得到NAPB=N 5P G,即可判定；过点B作 利 用 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质，得到CH=Q
17、，A P=P Q,即可判定；通过证明ABMP为等腰直角三角形，即可判定；根据S四 边 加 皿=S加+求得对应三角形的面积，即可判定.【详解】解：由题意可得：N E P G =N E B C =90,EB=E P，/E P G =N E P B +N B P G=90.ZEPB=Z E B P,/E B P+N B P G =90,由题意可得：/E B P+NAPB=180-/A=180-90=9 0，:.ZAPB=NBPG,尸 8 平分NAPG；正确；过点B作BQ上P H,如下图:ZBQP=Z A =90在和AQPB中,ZA=Z.BQPZAPB=/QPBBP=BPJ d P B 也 QPB(A
18、AS):AP=PQ,AB=BQ 四边形A8C。为正方形 .AB=BC=BQ,又 BH=BH：.R t-C R tJ?Q(HL),J CH=QH1.PH =PQ+QH=A P+C H,正确；由折叠的性质可得：所是尸5 的中垂线，J PM=BM由题意可得：ABAPABQP,A B C g A B Q H ,：./A B P =NPBQ,ZC8H=ZQBH,NPBQ+ZQBH=ZABP+NCBH=|ZABC=45,/.ZPBM=45/B P M =NPBM=45,BMP为等腰直角三.角形，*-BM2+PM2=BP29 H P IBM2=BP2，：,B M=B P,正确；2若 BE=3,AP=,则 P
19、E=B石=g,在心 APE 中，AE2-AP2=PE2：.A=J(|)2-l2=1,AB=AE+BE=3,PB=y/AP+AB2=V io，BM=-B P =y/5,S四 边 形诋材=SABEP+SBMP=5 BEx AP+x BM,错误，故选B,【点睛】此题考查了正方形与折叠问题，涉及了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性比较性，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解.二、填空题9.如图，在 AABC中，ZC=90,CA=CB,E,F 分别为 CA,CB上的点，CE=CF,M,N 分别为 AF,BE
20、的中点，若 AE=1,则 MV=.【答案】也2【解析】【分析】取 A 8的 中 点 连 接 M O M Z如图，先判断DM为AABF的中位线,DN为 B E 的中位线得到DM=；BF=2,DM/BF,DN=?AE=2,再证明则。M L W,然后根据AOMN为等腰直角三角形确定MN的长.【详解】解：取 A 8的中点。，连接M。、N D,如图，AE=I,B：CA=CB,CE=CF,：.BF=A E=,:点 M、N 分别为4F、BE的中点，.DM为AABF的中位线，DN为 的 中 位 线，：.D MBF=,D M/BF,DN q AE=；,D N/A E,：A EBF,J.D MVD N,2 DM
21、N为等腰直角三角形，:.MN=yfiD M=互.故答案为 迈.2【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.也考查了等腰直角三角形的性质.1 0.如图，矩形48CD中，A B=3娓,B C =2,E 为 A 中 点.F 为 上 一 点，将折叠后,【答案】6 25/15【解析】【分 析】根据折叠的性质，即 可 求E G；连 接EC,证RtAECG=RfAECD(HL),由勾股定理即可求E R【详 解】解：连 接C E,E为 中 点/.EG=ED=AE=6在 RtAECG 和 RtECD 中,;EG=ED,EC=EC：.RtECGs RtECDHL)CG=
22、CD设4 P =x,则C尸2 =8/2 +B C?即(3#+x=(3-旷+正解 得：x=2-7 6EF=yjAF2+AE2=J(2府+6?=2 而故答案为：6；2 7 1 5.【点 睛】本题主要考查矩形得性质，三角形的全等，勾股定理，正确做出辅助线是解题的关键.1 1.如 图，在 菱 形A 6 C。中，Z A B C=20,将菱形折叠，使 点A恰好落在对角线3。上 的 点G处（不 与5、。重 合），折 痕 为E尸，若DG=2,BG=6,则B E的长为【答案】2.8【解析】【分析】作于/7,根据折叠的性质得到EG=E A,根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到 题 为等边三角形，得 到 根 据
23、 勾 股 定 理 列 出 方 程，解方程即可.【详解】解：作 于 H,由折叠的性质可知，E G =EA,由题意得，B D =D G+B G =8,四边形4 3 c o 是菱形，.-.A D =A B,Z A B D =Z C B D =-Z A B C =60,2.”皿 为等边三角形，A B=B D=8,设 BE=x,则石G=AE=8 x,在 RMEHB 中,B H =-x,E H=x,2 2在 RAEHG 中,E G2=E H2+G H2,即(8-x=(曰工+(6-L r)2,解得，x=2.8,K P BE=2.8,故答案为：2.8.【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、
24、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.1 2.如图，点 E 是正方形ABCO的边CD上一点，以 BE为边向上作平行四边形8E F G,连接AG、A F,BF,若 4B=3 0，AAGF的面积是2,则的面积是.FGB C【答案】1 1.【解析】【分析】先构造出与NABG全等的A H E F【详解】N _ F_ MB C解：如图所示，延 长E O至”，:ABEH,四边形ABEH是平行四边形,:.BE/AH,BE=AH,B E F G 中，BG=EF,GF/BE：.GF/AH,GF=AH,四边形AHFG是平行四边形，再利用面
25、积和即可得出ABEF的面积.使 EH=AB,连接 A H,FH,GF=BE,：.AG=FH9AABGQ4 HEF,过点尸作FW L48于N,交直线CO于M,J.F MVCD,；四边形A3MN是矩形，:.F N+F M=MN=AD=3 屈 S ABG+S&AGF+SAABF=SABEF,B P S&HEF+S4 AGF+SAABF=SABEF,：.S BEF=-x E H x F M +-x ABx F N +2=-x3-j 2 x3/2 +2=.2 2 2故填：11.【点睛】本题考查正方形的性质及矩形的性质和判定.正确添加辅助线构造出全等三角形是正确解题的关键.1 3.如图，RhABC中，ZA
26、BC=90,NC=30。，AB =,点。为AC边上任意一点，将A5C沿3。折叠,点C的对应点为点E,当NADE=30。时，CO的长为.【答案】3-6【解析】【分析】根据翻折的性质和已知条件可得点F和点A重合，过点。作D H L 8 C,D G L A B,垂足分别为“，G ,得四边形8HDG是正方形，设D G =D H=x,得 立x+x=l,求出x的值，进而可以解决问题.3【详解】解：如图，E:.FE=FD,当 ZAOE=30。时，ZBFD=2Z=60,在RhABC中，vZABC=90,ZC=30%.-.ZA=60,点/和点A重合，如图，过点。作D G.L A B,垂足分别为，G,E；.DG=
27、DH,四边形由0 G是正方形，ViDG=D H=x.A G=-DG x,33/.AB=AG+BG=AG+GD=x+x,3 -x+x=1 ，3解得x=立，2.DG=,2v Z C =30,C D =2 D H =3,-43.故答案为：3-有.【点睛】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.1 4.如图，正 方 形 的 边 长 为 4,E,F,H 分别是边8C,CD,AB上的一点，将正方形ABCD沿 折叠，使点。恰好落在BC边的中点E 处，点A 的对应点为点P,则 折 痕 切 的 长 为.【答案】2 K【解析】【分析】过点，
28、作 H G 1 C D 于点 G,连接 D E,D E 交 F H 于点、Q,得到/H G F=ZWGD=90,推出 N H F G+/F H G=9 0。,根据正方形ABC。中，A D=CD=BC=4,ZA=ZA D C=ZC=90,得到四边形D 4G 中，NA”G=90。，推出四边形D4HG是矩形，得到G”=AO,G H=C D,根据折叠知，F H 1DE,得到/Z)QF=90。，推出/。尸。+/。尸=90,得至Ij/G F=/C O E,根据/H G Q/C ugO。，推出AOCE四“GF(ASA),得到 FH=D E,根据E 是 8 c 中点，得至lJC E=3sC=2,推出0E=JC
29、D2+S =2石,得到FH=2辨.【详解】过点，作 HGLCO于点G,连接DE,DE 交 F H 于点Q,则/“GF=N”G=90,ZHFG+ZFHG=90,正方形 A8CO 中，A D=CD=BC=4,/A=/A O C=/C=90。，四边形 D A H G 中，ZA HG=90,四边形D4HG是矩形，GH=A D,：.GH=CD,由折叠知，FHLD E,：.ZD QF=90,：.ZQFD+ZQD F=90,，N G H F=N C D E,：ZHGF=ZC=90,：.A C A/G F(A S A),：.FH=D E,是 8c中点，：.CEBC=2,D E =y/clf+CE2=2 7 5
30、，:.FH=2不故答案为2 招.【点睛】本题主要考查了正方形，折叠，矩形，全等三角形，勾股定理.解决问题的关键是熟练掌握正方形的性质,折叠的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形.1 5.如图，在矩形A 8 C Z）中，对角线AC与 8。交于点。，点 E在线段0 A 上，D E =AB,。F，人（7 于点尸,若 O E =3,A D =2岳,则线段的长为.ADB C【答案】2M【解析】【分析】设OF=x,则 所=3+x,由勾股定理得AC?4犷 FC?=AZ）2-A 7即可求解；【详解】解：设OF=x,则 即=3+xV D E=A B,D F V A C：O C=3
31、+2xJ A C =2 OC=6+4 x贝 I CO?=A。？一 A。？，D F2 =C D2 _ F（：2=A D2 _ 2:.A C2-A D2-F C2=A D2-A F2即（6+4x）2 一倒岳-（3+X）2=（2如_（3+3X7解得：=1，x2=-（舍去）AC=10C D =-J A C2-A D2=yJ1 02-（2V15）2=2M故答案为：2M【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键.1 6.如图，在矩形A8CO中，E是 BC边上的一点，连接A E,将 ABE沿 AE翻折，点 8 的对应点为尸.若线段A尸的延长线经过矩形一边的
32、中点，AB=2,AO=4,则 BE长为.AD FI /I /I _B E C【答案】2忘-2或 姮 匚 或22【解析】【分析】主要分三种情况进行讨论：当线段A F的延长线AG经过8 c的中点时，当线段A尸 的 延 长 线 经 过 的中点时，当线段A尸的延长线AG经过CO的中点时，进行一一求解即可.【详解】解：分三种情况讨论，当线段A/的延长线AG经过8 c的中点时，如 图1,此时8G=CG=2,图I由折叠的性质可得：Af=AB=2,NAFE=/8=90。，.放 B G 中，AB=BG=2,；.A G=2&,ZAGB=45,.FG=A G-A F =2 72-2 EF=FG,：.BE=EF=FG
33、=26-2;当线段A F的延长线经过A。的中点时，如图2,此时BE=CE=2,AFBDCE图2由折叠的性质可得：AF=AB=2,ZAFE=ZB=90,，四边形A8EF是正方形,尸=2,当线段AF的延长线AG经过C/）的中点时，如图3,此时G=CG=1,图3由折叠的性质可得：AF=AB=2,NAFE=NB=90,中，AD=4,10G=1,二 AG=AEr+DG1=Jd+F =717，二 FG=AG-AF=4 n-2 ,设 BE=x,则 EF=x,CE=4-x,EG2=EF-+FG-,EG1=EC2+CG2,/.EF2+FG2=EC+CG；（折-2丫 +X2=12+（4-X）2,解得：X=姮 二1
34、,2.V17-12故答案为：2虎-2或 晅 匚 或2.2【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解决本题的关键.三、解答题1 7.如图，在菱形A B C O 中，对角线A C、BD相交于点。，点 E是 的 中 点，连接0 E,过点。作。F A C交 0E的延长线于点F,连接A F.求证：X AO E沿N DF E；(2)判定四边形A O D F的形状并说明理由.【答案】(1)见解析(2)四边形A O D 尸为矩形，理由见解析【解析】【分析】(1)利用全等三角形的判定定理即可：(2)先证明四边形A O C 尸为平行四边形，再结合乙4 0 0=9 0。，即可得出结
35、论.(1)证明：YE是 AO的中点，：.A E=D E,.D F/A C,：.Z 0 A D=Z A D F,：NA E0=ND EF,.A 0 E 丝 (A S A)；(2)解：四边形A O C F 为矩形.理由：/A OE/D FE,：.A O=D F,D F/A C,，四边形AODF为平行四边形，四边形ABC。为菱形，J.A CLBD,即乙40力=90。，平行四边形A。广为矩形.【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键.18.正方形A8CO的边长为6,点尸在对角线8。上，点 E 是线段AO上或AD延长线上的一
36、点，且PEL PC.如 图 1,点 E在线段AO上，求证：P E=P C.(2)如图2,点 E 在 线 段 的 延 长 线 上，请补全图形，并 判 断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)补全图形见解析，(1)中的结论成立，理由见解析【解析】【分析】(1)连接B 4,由 正 方 形 的 性 质 可 得 /COP=45。，D A=D C,由“SAS”可证 D4Pg (；，可得Z D A P=Z D C P ,P C=P A,由四边形内角和可得/PC+/EP=180。，可证PE=B4,即可得结论；(2)由“SAS”可证 可 得 由 三 角 形 内 角 和 可 证/O
37、 C Q/A E P,可证A P=PE=PC.(1)证明：连接以,四边形4 3 8 为正方形，；.NADP=NCDP=45。D A=D C,且 PD=PD,:.DAPQlXDCP(SAS),：.ZDAP=ZDCP,PCPA,在四边形 COEP 中，Z EPC+ZADC+Z PED+Z PCZ360,且 NAC=NPO90。,：.ZPCD+ZDEP=SO,又：ZAEP+ZZ)EP=180,NAEP=NPCD,：.ZAEP=ZPAE,：.PE=PA,又；PC=JR4,，PE=PC；(2)解：(1)中结论成立，理由如下：如图，四边形A8CD是正方形，：.AD=CD,/A O P=/C O P,且 O
38、P=OP,:.丛ADPm ACDP(SAS),：.ZDAPZDCP,AP=PC,：ZDCP+ZDPE+ZCPE+ZPDC=18 0 ,且/CPE=90,ZCDP=45,ADPE+ZDCP=45,Jg.ZADP=Z DPE+ZAEP=45,：.ZDCP=ZAEP,：.ZPADZPEA,：.AP=PE,K AP=PC,：.PE=PC；【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，四边形内角和，三角形内角和，三角形外角的性质等等，熟知正方形的性质与全等三角形的性质与判定是解题的关键.1 9.如 图1,在正方形ABC。中，点E为8 c上一点，连接O E,把AOEC沿OE折叠得到/)：尸，
39、延长EF交AB于点G,连接。G.图1图2(1)填空，NEDG=,(2)如图2,若正方形边长为6,点E为BC的中点，连接8立求线段AG的长；求8EF的面积；(3)填空：当。E=OG时，若令CE=a,则8F=(用含a的式子表示).【答案】(1)451 Q(2)AG=2：S.BEF=“【解析】【分析】(1)根据正方形的性质可得OC=OA,/A=/B=/C=/A O C=9 0。，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得ND F E=N C,D C=D F,Z 1=Z 2,再求出 Z O FG=/4,D A=D F,然后利用“HL”证明 RtA OGA 和 R s OGF全等，根据全等三角形对应角相等可得
40、N 3=N 4,然后求出N2+N3=45。，从而得解；(2)设A G=x,则 BG=6-x,根据勾股定理得：EG2=BG2+BE2,列方程可得AG的长；先计算5EG 的面积，根据同高三角形面积的关系可得：SABEF=-SE G=-X6=；(3)根据等腰三角形三线合一的性质可得尸是EG的中点，由(1)和折叠得：A G=FG=EF=CE=af根据勾股定理可得结论.(I)解：如 图 1,四边形A8C。是正方形，：.D C=D Af N A=N 8=N C=N A O C=90。，ADEC沿DE折叠得到 D EF,:/D F E=N C,D C=D Ff Z1=Z2,：.ZD FG=ZA=90,D A
41、=D Ff在 RtA D GA 和 RtA D G F 中，D G=D GD A =D F ：.RtA DGARtA D G F(HL),N3=N4,N E D G=N 3+/2=-ZA D F+-ZFD C2 2=y (Z A D F+Z F D C)=3x90。，=45故答案为45.图1(2)由(1)知：RtA DGARtA DGF9:AG=FG,石为8C的中点，:CE=EF=BE=3,设 A G=x,则 3G=6-x,在RS 8EG中，由勾股定理得：EG2=BG?+BE2,即(3+x)2=32+(6-x)2,解得：x=2,：.AG=2；由知：8G=4,BE=3,/.SABEG=-X3X4
42、=6,2VF=3,FG=2,3 3 18二SABEF=-=-x6=y .(3)；DE=DG,NDFE=NC=90。,，点尸是EG的中点，：.AG=FG=EF=CE=af:EG=EF+FG=2a,/ZGBE=90,BF=-E G =a.2故答案为：a.【点睛】四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键.2 0.已知，正方形A8CO的边长为6,点E在 边 上，点尸在边AB的延长线上，且D E=B F,连接CE,CF,EF.A _ D 4-A E rGB(1)如 图1,请判断ACS尸的形状，并说明理
43、由；(2)如图2,连接8。交EF于点“，当DE=2时，求AM的长；(3)如图3,点G,“分别在边A8,C上，连接GH交 所 于 点N,当G H =3小,NENH=45。时，求。E的长.【答案】(IgC E F是等腰直角三角形，理由见解析；AM =2小(3)DE=3【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出HC=CD,ZD=ZCHF=90,再结合“SAS证明 FBC咨AE DC,可得CE=CF,然后根据角之间的关系得/ECF=90。，可得答案；(2)%E K A F,有正方形的性质得EK=EQ,再 根 据 证 明 也ECM,可得E M=F M,然后根据勾股定理求出E F,最后根据直角三角形的性质
44、得出答案；(3)先根据“同位角相等，两直线平行 得如 /,即可得四边形C/G”是平行四边形，再根据勾股定理求出8 F,可得答案.如 图 1,CE/是等腰直角三角形，理由是：在正方形A8CO中，BC=DC,ZfBC=ZD=90.BF=DE,/.AFBC经AEDC,:,CF=CE,/ECD=/FCB,:./ECF=/ECB+/FCB=/ECB+NECD=90。,CEF是等腰直角三角形；(2)如图 2,过点 作EKAB，交 BD 丁 K,则 EK=ED=BF=2,图2,:BK AD,1 ZF=ZMEK.ZBMF=ZEMK,:,EM=FM.在RtzXEA产中，EF=JAE2+AF=依+82=4下,：.
45、A M=；EF=2 5(3)如图3,由(1)得 田 C=45。，NENH=45,:./EFC=NENH,：.GH/FC./A F/D C,四边形FCHG是平行四边形，FC=GH=3后在 RtA FBC 中，BF=-JCF2-B C2=-6?=3，/.D E =BF =3.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质和判定等，灵活选择全等三角形的判定定理是解题的关键.21.如图，在矩形48c o中，A =2 A 8=8,点E是边AO的中点.连结E C,P、。分别是射线4。、E C上的动点，且连结B P,P Q,过点8,。分别作P
46、。，BP的平行线交于点凡（1）当点尸在线段AE上（不包含端点）时，求证：四边形B F QP是正方形；若8c将四边形B F QP的面积分为1：3两部分，求AP的长；（2）如图2,连结PF,若点C在对角线PF上，求 B F C的 面 积（直接写出答案）【答案】（1）见解析；2 1 6立+1 6【解析】【分析】（口易证四边形尸/是平行四边形，过 点。作于，设AP=x,则EQ=j2A P=y/2x,证4 E HQ是等腰直角三角形，得 EH=HQ=A P=x,由4 5证 A 8 P丝“P。，得NA BP=/HPQ,B P=Q P,推出NBPQ=9 0,即可得出结论；过点尸、。作8c的垂线段，垂足分别为点
47、M、N,则四边形A B N”是矩形，得 H N=A B=4,由面积证得F K=Q K,由 4 4 s 证得 KM尸丝K NQ,得 M F=Q N,由 4 4 s 证得 8 M尸丝5AP,得 MF=A P=QN=x,则HN=HQ+QN=2x4,解得尸2,即可得出结果.（2）过点尸作尸K J.8 c于K,过点。作于，易证 8 K尸丝 BAP丝QHP,得出A 8=P，=4,H Q=K F,设OP=x,则E 4=E +P H+DP=8+x,证 C E是等腰直角三角形，得 CE=戊 CD=4五,由轴对称可得8C=CQ=8,贝IEQ=EC+CQ=4夜+8,证 E。是等腰直角三角形，得EQ=EH,贝1|4夜
48、+8=&(8+x),解得x=4&-4,求出 KF=Q =E=8+x=4+4,SAHFC=BCKF,即可得出结果.(1)证明：过点B,Q分别作P。，8 P的平行线交于点R:.PQ/BF,BP/FQ,；四边形PBFQ是平行四边形，过点。作于，如图2所示：图1-1设A P=x,则在矩形 ABCD 中，AD=BC=2AB=2CD=S,ZA=ZADC=90,:点E是AO的中点，：.EDAD=CI)=4,：.ZDEC=45,：NEHQ=9。,是等腰直角三角形，：.EH=HQ=APx,/PE=AE-AP=4-x,：.PH=PE+EH=PE+AP=AE=4,：.AB=PH,在A 48尸和4 HPQ中，AB=P
49、H NBAP=ZPHQ=90,AP=HQ：./ABP/HPQ(SAS),:.NABP=NHPQ,BP=QP,ZABP+ZAPB=ZHPQ ZAPB=90,ZBPQ=90f 平行四边形P B P Q是矩形，；BP=QP,矩形尸5尸。是正方形；解：过 点 不。作8c的垂线段，垂足分别为点M、M如 图1-2所示:A P E H D图1-2则四边形A 8 N H是矩形，：.HN=AB=4,:四边形8 F Q P是正方形，:,SABPK=WS“力 彩BFQP，8 C将四边形8尸QP的面积分为1：3两部分,:SABFK=5S 正方形 BFQP,:.SAPQK=S 正方形BFQP,：.FK=QK,在4 K
50、M尸和 KNQ中,NFMK=NQNK=90。-NMKF=ZNKQ,FK=QK:A K M F dK N Q(A 4 S),：.MF=QN,四边形8尸 尸。是正方形，二 BP=BF,NPBF=NBFK=90。,ZABP+ZPBK=Z：FBM+ZP B/C=9 0,，NABP=NFBM,在 BAP B M尸中,/ABP=NFBM/BAP=NBMF=9。,BP=BF：./B A P B M F(AAS),:MF=AP=QN=x,：.HN=HQ+QN=2X=49解得：x=2,：.AP=2,解：过点尸作尸KLBC于 K,过点。作 Q”J _A P 于 H,如图2所示:四边形P 8 E Q是正方形，A Z