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1、2023年中考数学专项拔高训练 圆的综合题一、综合题1 .如图，AB为1 0 的直径，C 为1 0 上一点，A B 的角平分线AD交匚O 于点D,过点D作 DECAC交AC的延长线于点E.(1 )求证：DE是口 0 的切线；(2)若“AB=60。，DE=3 垂，求 AC 的长.2.如图，以A B为直径，点 O 为圆心的半圆上有一点C,且 乙钻。=6 0,点 D 为A O上一点.将 D B C沿 直 线D C对折得到二点 B 的对应点为B,且B C与半圆相切 于 点C,连 接B,O交半圆于点E.(2)当A B =2时，求图中阴影部分面积.3.已知：如图，L.ABC内接于圆O,且AB过圆心O,D
2、是弧BC上的一点，ODE2BC,垂足为 H,连接AD、CD,AD与 BC交于点P.(1 )求 证：DACD=CAPB.(2)若 AC=6,AB=10,求 AD 的 长.4.如 图，ISDABC中，AB=AC,以AB为直径的口0分别交BC、AC于 点D、E,连 接EB交OD于 点F(1 )求 证：ODOBE；(2)连 接AD,交BE于 点G,若AGEEIIZDGF，且AB=2,求AE的 长.5.如 图1 ,四边形ABCD内接于直径为12的 圆，E1A=6O。，AB=ADO(1)AB=;四 边 形ABCD的周长最大值为(2)如图2,延长AB、DC相交于点E,延长AD、BC相交于点F,求 DF与 B
3、E的积；(3)如图3,连接EF,请问在线段EF上是否存在点A，与点A 关于直线BD对 称，若存在，请证明；若不存在，请说明理由。6.如图 1 ,有一个“z”字图形，其中 ABOCD,AB：CD：BC=1 ：2：3.(1)如图2,若以BC为直径的二0 恰好经过点D,连结A0.求 cosC.当 AB=2 时，求 A 0 的长.(2)如图3,当A,B,C,D 四点恰好在同一个圆上时.求DC的度数.7.如图，AB是口0 的直径，BM切口0 于点B,点 P 是口0 上的一个动点(点 P 不与A,B两点重合)，连接AP,过点0 作 OQCAP交 BM于点Q,过点P 作 PEE AB于点C,交 Q0的延长线
4、于点E,连接PQ,0P.(1)求证：DBOQDDPOQ；(2)若直径AB的长为12.当 PE=时，四边形BOPQ为正方形；当 PE=时，四边形AEOP为菱形.8.已知：.ABZ）内接于 jO,AB=A D -DD(1)如 图 ，点。在。上，若/8 8 =60,求NABO和 NAD8的大小；(2)如 图 ，点。在。外，8。是。的直径，BC与门。相切于点8,若N B C D =50。，求 NCD4 的大小.9.平面上，RtDABC与直径为CE的半圆0 如图1摆 放，DB=90,AC=2CE=m,BC=n,半圆0 交BC边于点D,将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点 D 随半圆O 旋转且DECD始
5、终等于DACB,旋转角记为a(0。314180。).(1)当 a=0时,连接 DE,贝 WCDE=,CD=;(2)试判断：旋转过程中 2 的大小有无变化？请仅就图2 的情形给出证明；AE(3)若m=10,n=8,当旋转的角度a 恰为DACB的大小时，求线段BD的长；(4)若m=6,n=4夜,当半圆O 旋转至与DABC的边相切时，直接写出线段BD的长.B10.我 们 规 定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d,点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D,定义点A到图形G的距离跨度为R=D-d.(1)如 图1 ,在平面直角坐标系xOy中，图
6、形G i为 以O为 圆 心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G i的距离跨度：A(1 ,0)的距离跨度；B (-J ,)的距离跨度_ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2C (.3,.2)的距离跨度；根 据 中 的 结 果，猜想到图形G i的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是.(2)如 图2,在平面直角坐标系xOy中，图 形G 2为 以D(一1 ,0)为 圆 心，2为半径的圆，直 线y=k(X)上存在到G2的距离跨度为2的 点，求k的取值范围.(3)如 图3,在平面直角坐标系xOy中，射 线OP:y=x(x 0),I E是 以3为半径的 圆，且圆心E 在 x 轴 上 运 动，若射线
7、OP上存在点到口E 的距离跨度为2,直接写出圆心E的横坐标XE的取值范围.1 1 .我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形叫做 同族三角形”，如 图 1 ,在 HABC 和 ABD 中，AB=AB,AC=AD,B=B,贝ABC 和DABD 是“同族三角形”.(1)如 图 2,四边形ABCD内接于圆，点 C 是 弧 B D 的 中 点，求 证：DABC和:JACD是同族三角形；(2 )如 图 3,DABC内接于匚O,口 0 的 半 径 为 3&,AB=6,E:BAC=30。，求 A C 的(3)如 图 3,在(2)的 条 件 下，若 点 D 在匚0 上，口 ADC与DABC是非全等
8、的同族三角A H形，A D C D,求 而 的 值.12.如 图，在ABC的外接1 0 中，OBDAC交 A C 于 点 E,延 长 B E 至 点 D,使 得 BE=DE,连 接 AD,CD,其 中 CD与0 相交于点F,连 接 A F 交 B D 于 点 G.备用图(1)求 证：四边形ABCD为菱形.(2 )当D A和D C都与1 0相切时，若匚0的半径为2,求B D的长.(3)若DG=DF,求工的值.13.如图，CABC是 的 内 接 三 角 形，且A B为口0的直径.点D在 口0上且BC=BD,连结AD,过点D作DEI B C于点E,交A B于点F,连结CF.(2 )若DE=12,BC
9、=13,求线段A C的长.14.已知在平面直角坐标系xO y中，直线L分别交x轴和y轴于点A(.3,0),B(0,3).(1 )如图1 ,已 知IP经过点O,且与直线h相切于点B,求D P的直径长；(2 )如图2,已知直线12:y=3x.3分别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线12上的一个动点，以Q为圆心，2 V 2为半径画圆.当点Q 与点C重合时，求证：直线h 与DQ 相切；设DQ 与直线11相交于M ,N 两点，连结Q M ,QN.问：是否存在这样的点Q ,使得 Q M N 是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.15.如图A图2(1)如图1 ,在正的外角Z C
10、 A H内引射线A M，作点C关 于 A M 的对称点 E (点 E在Z C A H内)，连 接 B E ,BE、C E分 别 交 4 W 于点F ,G.则/FEG=.(2)类比探究：如图2,把上题中的“正AB C”改为“正 方 形A B D C ”,其余条件不变，请 求 出Z F E G的度数；通过以上两例探索，请写出一个关于Z F E G与A B A C的数量关系的正确结论：;(3)拓展延伸：如图3,若以正方形A O D C的顶点0 为原点，顶点A,D分别在x轴，y 轴上，点 A 的坐标为(4,0),设正方形A O D C的中心为P,平面上一点F到 P 的距离 为 2 0 .直接写出Z O
11、 F A的度数；当S FAO=6时，求点F的坐标；并 探 索S FAO是否有最大值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.16.如图，直角坐标系xOy中，一次函数y m x+n(m l,n 0)的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A、B ,以 O A 为半径的口0 为与线段A B相交于点P,与 x 轴的正半轴相交于点C ,与 y 轴的负半轴相交于点D.PD 交A C于点Q.(1)若m=G ,求UBDP的度数；(2)试 说 明|的 值 与 n 无关.17.如图，矩形ABCD中，BC=8,点 F 是 AB边上一点(不与点B 重合)匚 BCF的外接圆交对角线BD于点E,连结CF交BD于点G.(1)求证
12、：CECG=BDC.(2)当AB=6 时，在点F 的整个运动过程中.若 BF=2 7 2 时，求 CE的长 当 CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长.(3)过点E 作E1BCF外接圆的切线交AD于点P.若 PEOCF且 CF=6PE,记E3DEP的面积$为 Si,CDE的面积为S2,请直接写出 的值.18.在平面直角坐标系X。)，中，对于点P,点 M 给出如下定义：如果点P 与原点0 的距离为a,点M与 点P的距离是a的k倍(k为 整 数)，那么称点M为 点P的“k倍关联点”.(1)当(1.5,0)时，如 果 点 片 的2倍关联点M在x轴 上，那么点M的坐标为；如 果 点 用(X，y
13、)是点打 的k倍 关 联 点，且满足X=1.5,3 y 5，那么整数k的最大值为；(2)已知在 Rt_AB C 中，Z A B C =90,Z A C B =30 ,A S，0),B(b+l,0).若鸟(-1，0),且在AABC的边上存在点的2倍关联点Q,求b的取值范围.答案解析部分1 .【答案】（1 ）证 明：连 接OD,如 图，VOA=OD,.OADrODA,AD 平分 A B ,.CAD=DOAD,.CAD=DODA,AODOAC,DE匚AC,2 匚0口 ,DE是10的 切 线；(2)解：连接 BD,贝ij ADB=90。,VQCAB=60,AD 平分匚CAB,/.CAD=DDAB=30
14、o,VDE=3 V3,AD=6 73,AB=12,连接 OC,贝ij 0C=0A=6,V CAB=60,AC=0A=0C=6.2.【答案】（1 ）证 明：连 接OC,ZBCO=90.OC=OB,ZABC=60,O B C是等边三角形.：.ZOCB=60,ZBCB=ZBCO+NOCB=90+60=150.iD B C沿 直 线D C对折得到 DBC,：.ZDCe=-ZBCB=-xl50o=75.22在 aDBC 中，ZCDB=180-ZABC-ZDCB=180-75-60=45:.NBDB=2NCDB=2x45=90:.B D L A B .(2)解：.AB=2qO B C是等边三角 形，OC=
15、OB=BC=BC=1,v ZBCO=90,ZBOC=45,=x 1 x 1 S阴 影=S Boc-B C C O-245-OC2 32360 83.【答案】（1 ）证明VOD：B C 且过圆心O36045万4-71 BD=CD/.BAD=QCADBAD=DBCD.BCD=ECADn ACD=DACB+DBCDAPB=匚ACB+DCAD/.ACD=DAPB(2)解：连 接BD,如图VC ABC内接于圆O,且AB过圆心OA ACB=DADB=90VAC=6,AB=10在RtLACB中由勾股定理，得 BC=7A B2-A C2=8VODQBC且过圆心O.*.BH=-BC=42在RtC BOH中VOB
16、=OD=-AB=52由勾股定理，得 O H=JO B2 _B“2=3 DH=2在Rt BDH中由勾股定理，得 BD=JH Q2 +3“2=26在RtLADB中由勾股定理，得A D=J匚折=46.4.【答案】（1 ）证 明：如 图，TA B为口。的 直 径，DADB=90,DAEB=90,AADI1BC,AEDBE,VAB=AC,ABD=DC,VBO=OA,OD为DBAC的中位线，/.ODOAC,AODQBE.(2)解：,AGEDGF,AAE=DF,VAO=OB,FOI IAE,AEF=FB,八 1 1AOF=-AE=-DF,2 2TAB=2,/.OD=AB=1 ,22 2DF=-OD=3 32
17、AAE=D F=-.35.【答案】(1 )6 6；12+12 6(2)解：连 接BD,Z OA=60,AB=AD,四边形ABCD内接于圆.,.DCB=120,DADB=LABD=60o,BD=AB=6 G.,.l+DE=CABD=602+nF=DADB=60口 1+02=60.,.1=1 F,2=1 E/.DBFDCDBE.DF BD BD BE.,.DFBE=BD2=108(3)存在证 明：作 点 A，与 点 A 关于直线BD 对 称，并连接AD,AB.ABD是等边三角形易得口 ADF=ABE=60。AD=AB=BDq g DF BD由（2）倚-BD BEDF AB77DBE口 FD A 工
18、 ABE DFA=DBAEODF A+OFAD=120 BAE+LFAD=120O BAE+FAD+BAD=180F、A E 在同一直线上在 线 段 E F上存在点A，与 点 A 关于直线BD 对称。6.【答案】（1 ）解：如 图 2,连 接 BD,：B C 为口 0 的 直 径，.DCDB=90o,CD 2在 RtLBCD 中，cosC=-=一;BC 3 如 图2,作OEDCD于E,贝lj CE=DE,VAB=2,AB:CD:BC=1 :2:3,.,.CD=4,BC=6,/.AB=CE=2,VABQCD,/.C=DABO,在DAOB和口 EOC中，OB=OC W T 2 ,由(1 )知，圆内
19、一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，图 形G2为 以D(一1 ,0)为 圆 心，2为半径的圆，到G?的距离跨度为2的 点，距离跨度小于图形G2的圆的直径4,.点P在图形G2匚C内 部，.R=2OP=2，(加+1)2+凶 加 1)了,直 线y=k(x+1)上存在到G2的距离跨度为2的 点P,，2+1)丁=2,/.(k2+l)m2+2(l.k2)m+k2=0 ，存在点P,.方 程 有 实 数 根，/.=4(l.k2)2.4x(k2+l)k2=.12k2+40,33(3)-1XE211.【答案】(1 )证 明：.点C是 弧BD的 中 点，即B C =C D
20、,；.BC=CD,BAC=CDAC,/AC=AC,.ABC和ACD是同族三角形(2)解：如 图1 ,连 接OA,OB,作 点B作BECAC于 点E,f f i lV0A=0B=3 V2,AB=6,r.OAOBAB2,.AOB是等腰直角三角形，且口 人08=90。，.,.C=DAOB=45,/DBAC=30,，BE=AB=3,.AE=VAB2-BE2=3 V3,.,CE=BE=3,；.AC=AE+CE=3 73+3.(3)解：.B=180-EBAC-匚ACB=180-3045=105,.,.ADC=180.CB=75,如图 2,当 CD=CB 时，匚DAC=E1BAC=3O,D图2：.DACD=
21、75,?.AD=AC=3 V3+3,CD=BC=0 BE=3 0 ,.AD _ 3A/3+3=逐+及 C D-3V2-2-如 图3,当CD=AB时，过 点D作DFCZAC,交AC于 点F,图3贝lJgAC=DACB=45。,.ACD=180.nDAC.nADC=60,ADF=CDsin60o=6x B=3 6 ,2A D=72 DF=3瓜,.AD 376 _ V6 -.CD 6 2综 上 所 述：=3或逅.CD 2 212.【答案】（1 ）证 明：二在ABC的 外 接 圆O中，OB AC,AE=CE.BE=DE,二四边形ABCD是平行四边形.VOBDAC,四边形ABCD是菱形.(2)解：如下图
22、所示，连 接0A.0的半径为2,.*.0A=0B=2.BE=OB+OE=x+2,A E u Jo A2-OE?=4 4-/.DE=x+2.AD=y/AE2+DE2=V4x+8，OD=OE+DE=2x+2.;D A 与。相切，,.OAD=90.OA2+AD2=OD2.：.22+(V4x+8)2=(2x+2)2.解得 =-2 (舍)，x2=./.x=l.0D=4.BD=0B+0D=6.(3)解：DG=DF,.,.DGF=nDFG.二四边形ABCF是。的内接四边形，.-.ABC+DAFC=180.VDAFC+DDFG=180,.匚 ABC=DFG.ABC=DDGF.四边形ABCD是 菱 形，BD是其
23、对角线，.,.ADF=EABC,(ADG=DGDF,AD=CD.DGF=LADF.DDEGF ADF.AF=AD.AF=CD.VDDFG=CAFD,DGF-ADF.GF DF/.DGDF=DAF,-=-.DF AF/.DAF=CADG.*.AG=DG.AG=DF.AF-AG=CD-DF,艮1 GF=CF.CF _ DFDFCD.点F是线段CD的黄金分割点.VDFE2=5,.,.CE=BC-BE=8,设 DF=x,贝I EF=12-x,由(1 )知 CF=DF=AC=x,在 RtCCFE 中，,.CF2=EF2+CE2,即 x2=(12-x)2+82,“26解 得：x=26，DF=AC=.314
24、.【答案】(1 )解：如 图1 ,连 接BC,/BOC=90,A*P BC ,口P与直线h相切于点B,.ABC=90,而 OA=OB,.ABC为等腰直角三角形，贝W P的直径K=BC=AB=3垃;(2)解：过 点C作CEEIAB于 点E,如 图2.A图2将 y=0 代入 y=3x-3，得 x=l,.点 C 的坐标为(1,0).AC=4,/7.,CAE=45。，.。二AC=2 正,2.点Q 与点C 重合，又DQ的半径为2 亚,直线h 与DQ相切.假设存在这样的点Q,使 得 QMN是等腰直角三角形，,直线 h 经过点 A(-3,0),B(0,3),J 的函数解析式为y=x+3.记直线L与 h 的交
25、点为F,情况一：当点Q 在线段CF上时，由题意，得DMNQ=45。，延长NQ交x 轴于点G，如图3,图3BAO=45。,/.NGA=180-45o5=90o,即NGDx轴，点Q与N有相同的横坐标，设 Q(m,3m-3)，则 N(m,m+3),/.QN=m+3-(3m-3),Q的半径为2血，m+3-(3m-3)=2 后，解得 m=3-03m-3=6-3 72,.Q的坐标为(3-a,6-3 V2).情 况 二：当 点Q在线段CF的延长线上时，如 图4,Q 的坐标为(3+0 ,6+3 42).存在这样的点Q C-叵,6-3 6)和Q2(3+V2,6+3也角三角形.15.【答案】(1 )30。(2)N
26、FEG=；NBAC),使得C1QMN是等腰直（3）解：由 题 意 可 知P（2,2），点F在 以P为 圆 心，2及 为 半 径 的 圆 上，如 图，Z A F O -Z A P O 4 5 2故 答 案 为：45 设 F（x,y）则 S E A O=OA-y=6即 2M=6,由 题 意 得yo,y=3由 题 意 可 知P（2,2），点F在 以P为 圆 心，2血 为半径的圆 上；过 点P作P B/X轴，过 点F作F B U y轴，则N P B F =90在Rt P B F中，尸3=上一2|,3尸=1根 据 勾 股 定 理 得BP2+BF2-PF2即|X-2 5+1 2=(2 0)2解 得%=2+
27、不,&=2-币故 F(2+V 7,3)或 F(2-V 7,3)S FAO=:0 4-3,当P F U y轴 时，面 积 最 大，此 时F (2,2+2)S.AO=I M=4+4 016.【答案】(1 )解：如 图1所 示，连 接0P,在函数y=mx+n中，令 x=0,得 y=n,令 尸0,得乂=-,mn A(,O),B(O,n),mnAOA=,OB=n,mOB ntanLJBAO=-=n+=m,OA m又,m=73/.tanDBAO=3.BAO=60,又 OP=OA,OAP是等边三角形，/.AOP=60,.EIDOP=900+60=150,又,.OP=OD,/.BDP=1807-150?2=1
28、5;(2)解：如 图2,过 点Q分别作QEQAB,QFQPC,E、F为 垂 足，过 点P作PHD AC于点H,V APD=一 AOD=45。,nCPD=-DCODM50,2 2riAPD=ncPD,PD平分DAPC,QE=QF,c-CP QF-CP PHb.CPQ _ 2 _ 2、q APQ-1 A P QE-iA P PHCQ CP：AQ=AP 3 B A 0 由(1 )可 知,tanDBAOm,的值与n无关.A。17.【答案】（1 ）证 明：:A B CD./.ABD=DBDC,VDABD=QECG,.,.ECG=CBDC(2)解：；AB=CD=6,AD=BC=8,BD=762+82=10
29、,如图 1 ,连结 EF,则DCEF=DBCD=90,.sinDEFC=sinQCBD,.CE CD 3 C F-5 D-5CF=VBC2+BF2=6 及ACE=V2.5、当 EG=CG 时，DGEC=DGCE=I1ABD=DBDC.，E 与 D 重合，.,.BE=BD=10.、如图2,当GE=CE时，过点C 作 CHDBD于点H,DEGC=DECG=CABD=DGDC,CG=CD=6.BCCD 24 CH=-=,过点E 作 EMCCG于点M.GH=在 Rt CEH中，7解得x=-,.BE=BH+HE：i口、如图2,当，图2 24丫 185)=5,设 HE=x,则 x2+(g )2=(x+)2
30、二%+2 =更.5 5 5 1CG=CE 时，EM 4VtanQECMCM 3 设 EM=4k,贝ij CM=3k,CG=CE=5k.GM 2k 1A GM=2k,tan GEM=一-EM 4k 2.,.tanOGCH=tan匚 GEM=-.CH 2.HE=GH=2BE=BH+HE=综 上 所 述，当BE为10,1 或 1时，C1CEG为等腰三角形5 532 12 44-1-=-(3)ft?：VDABC=90o,AFC是DBCF的外接圆的直径，设圆心为O,如图 3,连接 OE、EF、AE、EF,图3VPE是 切 线,AOE PE,VPEDCF,AOECCF,VOC=OF,ACE=EF,/.CE
31、F是等腰直角三角形，.,.ECF=45,EF=FC,2/.ABD=ECF=45,/.ADB=BDC=45,.,.AB=AD=8,四边形ABCD是 正 方 形，VPEDFC,.,.EGF=QPED,A IBGC=OPED,/.BCF=C1DPE,作 EHDAD 于 H,贝ij EH=DH,VDEHP=riFBC=90,.,EHPDDFBC,EH _ PE _1*BF 6 AEH=-BF,6VAD=CD,ADE=OCDE,/.ADEQDCDE,AAE=CE,A E =EF,1AAF=2EH=一 BF,3J -BF+BF=8,3，B F =6,.E H =D H=1 ,C F=VBF2+BC2=10
32、,1 5：.PE=-FC=-,6 3A P H=V P E2-EH2,4,7；.PD=bl=3 37:=a=3=j_.S2 A。8 2418.【答案】(1 )(4.5,0)或(-1.5,0)；3(2)解：；A(b,O),5 0 +1,0),A B =1.在 Rt A BC 中，Z A B C =90,Z A C B =30,A C 2 A B 2,v 点 Q 为 点 鸟 的 2 倍 关 联 点，4(-1,0),.3=2 0 6=2 .即 点 Q 在 以 4(-1，0)为 圆 心，2 为半径的圆上，当点C在 x 轴 下 方 时，如 图 所 示，由图可知，-3 。+1一 2 或一14/?1,当点C在X轴 上 方 时，结 论 相 同，b的取值范围是T WAW 3或 一.