《2023年中考九年级数学高频考点训练--锐角三角函数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考九年级数学高频考点训练--锐角三角函数.pdf（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023年中考九年级数学高频考点专题训练一锐角三角函数一、综合题1.如图，以AB为直径作半圆O,点C 是半圆上一点，NABC的平分线交。O 于 E,D 为 BE延长线上一点，且NDAE=NFAE.(1)求证：AD为。O 切线；(2)若 sinNBAC=|,求 tanNAFO 的值.2.如图，一个正方体木箱沿斜面下滑，正方体木箱的边长BE为 2 m,斜面AB的坡角为/BAC,且 tanZBAC=援.4(1)当木箱滑到如图所示的位置时，AB=3m,求此时点B 离开地面AC的距离；(2)当点E 离开地面AC的距离是3.1m时，求 AB的长.3.如图，在 ABC中，ZA=300,ZC=90,AB=1
2、2,四边形EFPQ是矩形，点 P 与点C 重合,点Q、E、F 分别在BC、AB、AC上(点E 与点A、点 B 均不重合).(1)当A E=8时，求EF的长；(2)设A E=x,矩形EFPQ的面积为y.求 y与x的函数关系式；当 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？(3)当矩形EF PQ 的面积最大时，将矩形E F P Q 以每秒1 个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P 到达点B时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EF P Q 与 A B C 重叠部分的面积为S,求S与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围.4 .如图，以 A B C 的一边AB为直径的半圆0与边A C,BC的交点
3、分别为点E,点 D,且 D是K E的中点.(1)若N A =8 0。，求NDBE 的度数.(2)求证：A B=A C.(3)若。0 的半径为5 c m,B C=1 2 c m,求线段B E 的长.5 .如图，抛物线y=-x 2+bx+c 过点B (3,0),C (0,3),D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标;(2)如果点C关于抛物线y=-x 2+bx+c 对称轴的对称点为E 点，连接B C,B E,求 t an/C B E的值；(3)点M是抛物线对称轴上一点，且 DAM和 B C E 相似，求点M坐标.6 .如图，已知t an N EOF=2,点C在射线O F 上，OC=1
4、2.点 M是/E O F 内一点，MCLO F于点C,M C=4.在射线CF上取一点A,连结A M并延长交射线OE于点B,作B D LO F于点D.(1)当A C的长度为多少时，A A M C和AB O D相似；(2)当点M恰好是线段A B中点时，试判断A A O B的形状，并说明理由；(3)连结B C.当SAAMC=SABOC时，求A C的长.7.如 图1,在 ABC中，/ACB=90。，AC=BC,/EAC=90。，点M为射线A E上任意一点(不与A重合)，连接C M,将线段C M绕点C按顺时针方向旋转90。得到线段C N,直线N B分别交直线C M,射线A E于点F,D.(1)直接写出N
5、NDE的度数；(2)如图2、图3,当/E A C为锐角或钝角时，其他条件不变，(1)中的结论是否发生变化?如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；(3)如图4,若NEAC=15。，ZA C M=60,直线C M与A B交于G,B D=,其他条件不变，求线段A M的长.(1)【基础巩固】如图1,在 ABC中，D,E,F 分别为AB,AC,BC上的点，DEBC,BF=CF,AF交 DE于点G,求证：DG=EG.(2)【尝试应用】如图2,在(1)的条件下，连结CD,C G.若 CGLDE,CD=6,A E=3,求辑的值.(3)【拓展提高】如图3,在 口 ABCD中，ZADC=45,
6、AC与 BD交于点O,E 为 A 0 上一点，EGBD交 AD于点G,EF_LEG 交 BC 于点 F.若/EGF=40。，FG 平分/EFC,FG=10,求 BF 的长.9.在锐角 ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45,将 ABC绕点B 按逆时针方向旋转，得到 DBE.网5ESD(1)当旋转成如图，点E 在线段CA的延长线上时，则NCED的度数是 度；(2)当旋转成如图，连接AD、C E,若4A B D 的面积为4,求 CBE的面积；(3)点M 为线段AB的中点，点P 是线段AC上一动点，在 ABC绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点P，连接MP，如图，直接写出线段MP，长
7、度的最大值和最小值.10.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点E,F 分别从点B,D 同时出发沿AB延长线和射线DA以相同的速度运动，连结E F,交射线DB于点G.连结CG.(1)当B E=2时，求 BD,EG的长.(2)当点F 在线段AD上时，记/D C G 为/I,NAFE为N 2,那 么 毁 明 的值是否会变化?tanZ-2若不变，求出该比值；若变化，请说明理由.(3)在整个运动过程中，当ADCG为等腰三角形时，求 BE长.11.我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做”等对角四边形1(1)已知：如图1,四边形ABC。是“等对角四边形，NArNC,/A=75。，
8、/。=85。，则NC(2)已知：在“等对角四边形”ABC。中，Z DAB=60,NABC=90。，AB=4,A O=3.求对角线A C的长.(3)已知：如图2,在平面直角坐标系X。)，中，四边形ABC。是“等对角四边形”，其中A(-2,0)、C(2,0)、B(-1,-8)，点。在y 轴上，抛物线)=狈2+区+(a 0)过点A、D,且当-20炬2 时，函数yuo+Zjx+c取最大值为3,求二次项系数a 的值.12.如图，已知BC为。0 的直径，点 D 为四的中点，过点D 作 DGC E,交 BC的延长线于点(2)若 EF=3,CF=5,tanN G DB=2,求 AC 的长.13.已知：如图，A
9、B为。O 的直径，C 是 BA延长线上一点，CP切。0 于 P,弦 PDLAB于E,过点B 作 BQ_LCP于Q,交。0 于H,(2)如图2,G 是圆上一点，Z GAB=3 0 ,连接AG交 PD于 F,连接B F,若 tan/BFE=3V3,求N C 的度数；(3)如图3,在(2)的条件下，P D=6遮，连接QC交 BC于点M,求 QM的长.1 4.定义：一边上的中线与另一边的夹角为30。的三角形称作美妙三角形。如图1,ABC中，AD为中线，若NDAC=30。，则 ABC为美妙三角形。下列三角形中，不是美妙三角形的是O(2)如图2,锐角 ABC是美妙三角形，AD为中线，ZDAC=30,BE为
10、高。求证：AD=BE；图2(3)如图3,在(2)的条件下，设 AD与BE相交于点N,作 ADC的外接圆。O,BA刚好是。的切线，求 ABN与 ABC的面积之比。0阳315.如图，四边形ABCD是矩形，点P 是对角线AC上一动点(不与点C 和 点/重合)，连接P B,过点P 作PF 1 P B交射线DA于点F,连接B F.已知AD=3 V3,CD=3,设 CP的长为x,(1)线 段P B的最小值,当x=l时，Z.FBP=；(2)如图，当动点P运动到AC的中点时，A P与B F的交点为G,F P的中点为H,求线段GH的长度；(3)当 点P在运动的过程中，试探究乙 F B P是否会发生变化？若不改变
11、，请求出乙 F B P大小；若改变，请说明理由；当%为何值时，A A F P是等腰三角形？16.如图，在 ABC中，ZACB=90,AC=B C,点D 是直线BC上一点，作直线A D,过点B 作(1)当点D 在如图1 的位置时，请直接写出线段EA、EB、EC之间的数量关系；(2)当点D 在如图2 的位置时，(1)中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；(3)当点E 是线段AD中点时，请直接写出tan/A D C的值.答案解析部分1.【答案】(1)证明：BE平分/ABC,.Z1=Z2,VZ1=Z3,Z3=Z4,，Z 4=Z 2,VAB为直径，.,.ZAEB=90
12、,VZ2+ZBAE=90Z4+ZB A E=90,即 NBAD=90,A ADI AB,.AD为。O 切线；(2)解：AB为直径，.,.ZACB=90,在 RSABC 中,*.，sinNBAC=器=|.设 BC=3k,A C=4k,则 AB=5k.连接OE交OE于点G,如图，：/l =N2,-AE=C E，/.OEAC,，OEBC,AG=CG=2k,.OG=1 BC=1 k,.,.EG=OE-OG=k,：EGCB,?.EFGABFC,.FG _ EG _ k _ 1CF=fit=3fc=3.FG=1 CG=J k,4 2-k在 RtaOGF 中，tanNGFO=J-=3,2k即 tanZAFO
13、=3.2.【答案】（1）解：过点B 作 BD L A C 交 AC于点D.BD 1 AC 乙BDA=903 BD 3tan血C=4 通=43v AB=3m:.BD=AB-sinzBD=3 x 己=1.8m答：点B 离开地面的距离为1.8 m.（2）解：过 E 作 EP LAC 交 AC、AB 于点 F、G.EFA=乙EBG=90,Z.AGF=乙EGB,：.GAF=乙GEB,GB 3，tan/GEB=丽=不3.EB=2,:.BG=BE-tanz.GFB=2 x =1.5.A EG=2.5.v EF=3.1,FG=EF-EG=0.6.FG0.6 AG=：-9 71K =八 7=1/AB=1+1.5
14、=2.5m.sinz5XC 0.6答：AB的长为2.5m.3.【答案】（1）解：在 RtaABC 中，：AB=12,NA=30。,；.BC=|AB=6,AC=V3 BC=6 V3,：四边形EFPQ是矩形,；.EFBC,.EF.BC AEA B，EF=861 2，EF=4(2)解：AB=12,AE=x，点E 与点A、点 B 均不重合，/.0 x12,四边形CDEF是矩形，EFBC,NCFE=90。，AZAFE=90,在 RtZkAFE 中，ZA=30,.EF=J x,AF=cos30o,AE=x,2在 RS ACB 中，AB=12,.,.cos30=舞，.AC=12x 字=6 百，.FC=AC-
15、AF=6 6-孚 x,.S=FCEF=1 x(6 6-隹 x)=-隹 X2+3 痘 x(0 x12)；2 2 4 S=隹 x(12-x)=-在(x-6)2+9 V3.4 4当x=6 时，S 有最大值为9 V3(3)解：当 g t 3 时，如图1 中，重叠部分是五边形MFPQN,Q图1S=S WKEFPQ _ SAEMN=9 V3-苧 t2=-苧 t2+9 V3.当把区6 时，重叠部分是APBN,图2S=叵(6-t)2,2(-t2+9 V 3(0 t 3)综上所述，s=(K(竽(-6)2(3 tH 2J 2即t a n Z C B E 的值为A .(3)解：直线x=-1 交x 轴于F,如图2,当
16、 y=0 时，-x2+2x+3=0,解得 xj=-1,X2=3,则 A(-1,0)VA(-1,0),D(1,4),AF=2,DF=4,tanZADF=霁=/，而 tanZCBE=i ,AZCBE=ZADF,AD=722+42=2 V5,BE=J（3-2）2+32=V10,BC=3 V2,当点M 在点D 的下方时，设M（1,m）,当 黑 二 餐 时，D A M SB C E,即 然=疆,解 得 m=Q此时M 点的坐标为（1,|）；当 罂=铝 时，DAMSBEC,D C D D即裳=缭，解得m=-2,3V2/10此时M 点的坐标为（1,-2）；当点M 在 D 点上方时，则NADM与/C B E 互
17、补，则 DAM和 BCE不相似，综上所述，满足条件的点M 坐标为（1,|）,（1,-2）6.【答案】（1）解：VZMCA=ZBDO=RtZ,；.AMC和 BOD中，C 与 D 是对应点,和 BOD相似时分两种情况：当 AMCABOD 时，兼=需=tan/EOF=2,A AMC：MC=4,.牛=2,解得 AC=8；当 AMCAOBD 时，福=器=tan/EOF=2,：MC=4,.春=2,解得A C=2.故当AC的长度为2 或 8 时，AMC和 BOD相似(2)解：AABO为直角三角形.理由如下：MCBD,A AMCAABD,.嵌=器=歙，ZAMC=ZABD,；M 为 AB 中点，；.C 为 AD
18、 中点，BD=2MC=8.VtanZEOF=2,A U：.OD=4,J CD=OC-OD=8,AC=CD=8.AC=BD=8在 AMC 与 BOD 中，z.ACM=LBDO=90,CM=DO=4?.AMCABOD(SAS),AZCAM=ZDBO,J NABONABD+ZDBO=ZAMC+ZCAM=90,/.ABO为直角三角形AC MC=2AC,SABOC=|OC BD=12a,A2AC=12a,/.AC=6a.VA AMCAABD,A f C _ AC 日 口 4 _ 6a,加=而即 2=6a+12-a 解得a1=3,a2=-1(舍去)，AAC=6x3=18.7.【答案】(1)解：ZB=90,
19、ZMCN=90,ZACM=ZBCN,在 MAC和 NBC中,AC=BC.ACM=Z.BCNMC=NC MAC 四NBC,ZNBC=ZMAC=90,又NACB=90。，ZEAC=90,ZNDE=90(2)解：不变,在 MAC和a NBC中,AC=BCZ-ACM=Z.BCNMC=NC MAC 四NBC,ZN=ZAMC,又 NMFD=NNFC,ZMDF=ZFCN=90,即 NNDE=90；(3)解：如图4,作 GKLBC于 K,ZEAC=15,ZBAD=30.ZACM=60,ZGCB=30,ZAGC=ZABC+ZGCB=75,ZAMG=75,AM=AG,MAC四NBC,NMAC=NNBC,ZBDA=
20、ZBCA=90,BD=历 店,AB二 V6+V2AC=BC=V3+1,设 BK=a,则 GK=a,CK=g a,a+V3 a=V3+1,a=l,KB=KG=1,BG=V2，AG=V6,AM=V6.8.【答案】(1)证明：DEBC,/.ADGAABF,AEGAACF.DG _ AG EG _ AG,乔=犷 CF=AF.DG _ EG,丽=ZTVBF=CF,DG=EG.(2)解：由得DG=EG,VCGDE,ACE=CD=6.VAE=3,AC=AE+CE=9.VDE/BC,ADEAABC.DE _A E _ 1B C =AC=3(3)解：如图，延长GE交 AB于点M,连结F M,作 M N LB C
21、,垂足为N.在 口 ABCD中，BODO,NABC二 NADO45。.,EGBD,由(1)得 ME=GE,VEFEG,AFM=FG=10,AZEFM=ZEFG.,NEGF=40。,ZEFG=50.FG平分NEFC,/.ZEFG=ZCFG=50,NBFM=180-ZEFM-ZEFG-ZCFG=30.在 RQFMN 中，MN=FMsin30=5,FN=FMcos30=5 V3，VZMBN=45,MN1BN,ABN=MN=5,BF=BN+FN=5+5技9.【答案】(1)90(2)BDB E 解：VA A B C A D B E,，BA=BD,BC=BE,NABC=NDBE,.援=VZABD=ZCBE
22、,.*.ABDACBE,=(煞 )2=等.V SAABD=4,/.SACBE=ACBE 2525T(3)解：:M 是AB的中点，BM=*A B=2.如图，过点B 作 BFLAC,F 为垂足.E:ABC为锐角三角形，点F 在线段AC上.在 RtABCF中，BF=BCxsin45=以B 为圆心，BF为半径画圆交AB于G,BP有最小值B G,，MP的最小值为MG=BG-BM=零 -2,以B 为圆心，BC为半径画圆交AB的延长线于H,BP有最大值B H.此时MP的最大值为BM+BH=2+5=7,.线段MP1的最大值为7,最 小 值 为 挈 -2.10.【答案】(1)解：过点F 作 FNAB交 BD于点
23、N,如图1,/.EBGAFNG,DNFADBA.DF _ NFDA=BA .,矩形 ABCD 中，AB=8,BC=6,A ZB AD=90,AD=BC=6，BD=y/AB2+AD2=10,.DF _ 3,丽=4 VBE=2,DF=BE.,.AE=AB+BE=8+2=10,AF=AD-DF=6-2=4；.EF=y/AE2+AF2=V102+42=2V29VA EBGAFNG.E G _B E _D F _3F G N F：=NF=4；.EG=I EF=6回7 7(2)解：萼 书 的值不变.tanZ-2过点G 作GPLAD于点D,GQ_LCD与点Q,如图2,四边形PDQG是矩形.PG=DQ,DP=
24、QG设 D F=B E=a,则 AF=6-a,AE=a+8VGP/7AE/.A PGFAAEF由(1)得 EG=|E F,即 器=；.PF _PG _FGt9AF=AE=FE=7.PF=；AF=:(6-a),PG=g AE=%(a+8).*.CQ=CD-DQ=CD-PG=8-;(a+8)=等 f a ，QG=DP=DF+PF=a+g(6-a)=与 年a,.八 _ QG 竽+勿 24+3a 3 8+a,o_ PG _ 7 Q+8)8+a.t a n/l=皿=务犷=4,言tanN 2=而=：.=黯=4 为定值(3)解：若 DG=DC=8,如图3,过点G 作 GMAD交 AB于点M；.BM=|BA=
25、,GM=I DA=|设 B E=x,则 AE=8+x,EM=BE+BM=x+IVGM/AF.EM _EG _ 3EA=EF=7:把 I =38+x 7解得：x=,过点G 作GMAE于点M,过点C 作CNBD于点NV DN=g D C=当，DG=2DN=/BG=D G-B D=泊-10=行设 B E=D F=x,贝 lj A F=D F-A D=x-6VGM/7AF.GM _ EG _ 3#77=EF=7T7 BG 5X-GM=3 BG=|GM=|.|AF=1(x-6).5 z X X _ 14 7(x-6)5解得：x=舞 若 C G=D G,设 EF与 BC交于点R，BG=DG=CG:BGRA
26、DGF(AAS)，BR=D F=B E,不成立.CG不能与DG相等综上所述，当B E=等 或时，aD C G 为等腰三角形11.【答案】(1)115(2)解：如图1,NB=ND=9()。时，延长AD,BC交于点E,图1；/D A B=60,.NE=30,又,8=4,AD=3；.BE=4 V3,AE=8,DE=5,Ce C _ OE _ 5 _ 10/3-O-O-Q ,cos30 cos30.BC=BE-CE=4 V3-*=苧,-AC=ylAB2+BC2=J42+(孥；=2 9，如图，/A=N C=60。时，过 D 分别作DE_LAB于 E,DF_LBC于点F,VZDAB=ZBCD=60,又 8
27、=4,AD=3,：.A E=l，D E=B F=挛，:BE=DF=|，o 5 5 A/3CF=DF-tan30=5 x=7，2 3 6 BC=CF+BF=婆 +挛=毕 ,6 十 2 3.=a+(皑2=等,综合以上可得AC的长为浮或缪I .(3)解：A(-2,0)、C(2,0)、B(-1,-V3),AB=2,BC=2 V3,AC=4,AAB2+BC2=AC2,.ZABC=90,VAD=CD,ABRBC,AZBADZBCD,四边形ABCD是“等对角四边形”.ZAD C=ZABC=90o,AD(0,2),抛物线 y=ax?+bx+c 过点 A(-2,0)、D(0,2),.(4a 2b+c=0 I c
28、=2解得：c=2,b=2a+LJ 抛物线的解析式为y=ax2+(2a+l)x+2,若x=2 时，函数y=ax?+(2a+l)x+2取得最大值为3,.二 4a+4a+2+2=3,；.a=-1，此时抛物线的对称轴为x=3,=满足题意，若二次函数y=ax2+(2a+l)x+2在顶点取得最大值3,则有：28a(2a+l)_&,4a=3，解得：a=-1+苧 或 a=-1 -空，当a=-l+空 时，对称轴在直线x=2 的右侧，不合题意，舍去,a=-1-亨，综合以上可得a=-/或-1 -孚.12.【答案】(1)证明：如图，连接OD,BE,.,点D 为四的中点,：.CD=豺/.OD1CE,ZCBD=ZEBD,
29、VOB=OD,AZODB=ZCBD,AZODB=ZEBD,AOD/BE,BC为。O 的直径，NCEB=90。，ACE1BE,VAD/CE,ODCE,AADOD,OD是（DO的半径，AD是。的切线；解：VDG/CE,AZBFE=ZGDB,ZA=ZECB,VtanZGDB=2,/.tanZBFE=2,在 RtZkBEF 中，EF=3,tanNBFE=霁,ABE=6,VEF=3,CF=5,CE=EF+CF=8,BC=,JCE2+BE2=10,AOD=OC=5,在 RS BCE 中，sinZECB=1=A =|AsinA=sinZECB=1,在 RSAOD 中，sin A=S，OD=5,tz/l D.
30、OA=孕，/.AC=OA-OC得.13.【答案】(1)证明：如下图1,连接OP,P B,CP切。O 于P,OPJ_CP于点P,又 BQ，CP于点Q,AOPZ/BQ,AZOPB=ZQBP,VOP=OB,AZOPB=ZOBP,AZQBP=ZOBP,又,PEJ_AB于点E,PQ二 PE；(2)解：如下图2,连 接 OP,TCP切。O 于 P,工乙 OPC=LOPQ=90。/.zC+zCOP=90VPD1AB;乙 PEO=Z.AEF=Z.BEF=90：.AEPO+.COP=90AZ.C=(EPO在 Rt AFEA 中,/GAB=30.设 EF=x,贝 ij AE=EF tan300=V3x在 Rt A
31、FEB 中,tanNBFE=3/3BE=EF-tanz.BFE=3百%-AB=AE+BE=4V3x.AO=P0=2f3xEO AO-AE=V3x.在 Rt/PEO 中，sin/EPO=需=.C =乙 EPO=30(3)解：如下图3,连接B G,过点。作 OK上H B 于 K,又 BQJ_CP,：.)PQ=乙OKQ=90,二四边形POKQ为矩形，QK=PO,OK CQ,:.乙 C=乙 K0B=30。，V 0O 中 PDJ_AB 于 E,PD=6 V3,AB 为。O 的直径，.*.PE=1 PD=3 V3,根据(2)得乙EPO=30,在 Rt/EPO 中，C0S2.EP0=需，:.PO=PE+co
32、s乙EPO 33+cos300=6 AOB=QK=PO=6,.在 Rt AKOB 中，sin乙KOB=端，-KB=OB-sin300=6 x 1 =3,，QB=9,在4A B G 中，AB为。0 的直径，AGB=90,Vz BAG=30,A B G=6,4 ABG=60,过点 G 作 G N,QB 交 QB 的延长线于点 N,则NN=90。，ZGBN=180-ZCBQ-Z ABG=60,ABN=BQcosZGBQ=3,GN=BQsinZGBQ=33，QN=QB+BN=12,.在 RtA QGN 中，QG=J1 22+(3V3)2=3V 19，VZABG=ZCBQ=60,BM是B Q G 的角平
33、分线，/.QM：GM=QB：GB=9：6,QM=去、3旧=驾.14.【答案】(1)C(2)解：过点D 作 DFLAC于点F,J ZAFD=90VZDAC=30,AAD=2DF,AD为中线ABC=2CDVBE1AC BEDF.CD _D FBC=BE=2 BE=2DF.BE=AD.(3)解：作直径A E,连接D E,过点D 作 DFJ_AC于点F,ZADE=90，ZAED+ZDAE=90VAB是切线ABAAE,J ZBAD+ZDAE=90AZAED=ZBAD ,弧AD=APNB,设 C P=x,则 P N=5，N C=第 x,MP=3-1 x,/.tanZ FB P=悟，BP BN TBN=3
34、遍-字 x,.ZFBP=30；(i)若 AF=FP,贝!J/FPA=NFAP=30。，.-.AB=BP,且AABP为等边三角形，.BF为 ABP垂直平分线，AB=BP=3,即 x=3；(ii)若 AP=FP,则NAPF=12090(舍去);(iii)若 AP=AF,则/CBP=/CPB=75,BC=PC,此时 x=3 V3.16.【答案】(1)解：EA+EB=V2FC(2)解：不成立，E B-EA=V2EC.证明：如 图2,在BE上截取B F=A E,连 接CF,.ZBAC=ZABC=45,VBE1AD,，/A EB=90。，,ZCAE=90-ZBAC-ZABE=90-45-ZBAD=45-ZABE,ZCBF=ZABC-ZABE=45-ZABE,.ZCBF=ZCAE,VBF=AE,BC=AC,CBFACAE(SAS),；.CF=CE,ZBCF=ZACE,Z ACE+Z ACF=N ACB=90。，./BCF+NACF=90。，即 NECF=90,.,.在 RtA ECF,EF=JCE2+CF2=yj2CE2=V2CE，VEF=EB-BF=EB-EA,:EB-E A =V2EC.（3）解：t a n z j W C =V 2 1 或 V 2 +1