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1、期末测试卷02(本卷满分150分，考试时间120分钟)测试范围：集合与命题、函数与导数、统计概率、参数方程、不等式选讲一、单项选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.X1.已知全集。=/?,集合 A=x 0,B=x|log2(x+l)l,G A =(0,l,3=x(Q A)n 3 =(0,l),故选 B。2.已知命题p：玉 w R,使 巴 竺=1成立，则，,为()。XA、HV G/?,使包成立XB、VX G/?,使 独，成立XC、3X G/?,使 把 丝 W1成立xD、V r e R,使2 竺=1成立x【答案】B【解析】为前不否
2、后否，但前有量词必须改量词，故选B。3.加 个数据的平均数为4,中位数为。，方差为C。若将这?个数据均扩大到原来的2倍得到一组新数据，则下列关于这组新数据的说法正确的是()。A、平均数为。B、中位数为26C、方差为2cD、标准差为&c【答案】B【解析】原数据为七、X2、Xm 新数据为2%、2、2xm,新数据的平均数为2 a、中位数为26、方差为4c、标准差为2正，故选B。4.在x轴正半轴的图像大致为()。【解析】当x 0时，/(x)=ln(l+x-2(，),则当x 0时/(x)单调递减且恒大于 0，故选D。5.已知/(0)=1,对于任意实数x、y,/(工一y)=/(%)-y(2x-y+l)恒成
3、立，则/(x)=()。A、2x+lB、(X+l)2C、(2x+l)2D、x2+x+【答案】D 解析令尢=0,则有/(-y)=_y.(_y+l)=J _)+1 ,再令_ y=X,则+工+1 ,故选D。6.已知函数/(x)=x-lnx,a=/(V2)b=/(ln&)、c=/(log23),则。、b、c 的大小关系为()。A、acbB、bcaC、cabD、cba【答案】C【解析】由/(x)=lnx+l=0得x=，则在(L+8)上单调递增,*/log23 logo7 8=V2llnV=-2 2 e/./(log,3)/(V2)/(In,即 c a，故选 C。7.已知曲线/(x)=g x 3+x-eT,
4、则曲线/(x)在点M(l,/)处的切线方程是(A、3x y 2=0B、3x+y-2 =0C、9x 3y 5=0D、9x-3y+5=0【答案】C【解析】V=/(l)=l x l3+lxel-1=|,A又 广(幻=x2+e*T+x-ex,：./=12+e1-1+1 x e=3,4 4故曲线/(x)在点M(l?)处的切线方程为y 一 1=3(工 一 1),即9%-3y-5 =0,故选C。8.函 数 此=乙、,对任意的实数工，不等式/(幻+12 0 恒成立，则实数。的取值lg(|x|-l),x 2范 围 为()。A、(oo,1JB、(-g,l)C、(-l,+oo)D(l,+oo)【答案】A【解析】由题
5、意可知f(x)为偶函数，.只需研究xNO时函数的情况即可，当0 4 x 2 时，函数/(x)单调递增，/(x)的最小值为/(0)=-。，当xN 2 时，函数/(x)单调递增，/*)的最小值为/(2)=0,要使对任意的实数x，不等式/(x)+120恒成立，则只需要一a+120，B P al,故实数a 的取值范围为(-8,1,故选A。9.若函数/)=!(e 为自然对数的底数)，则 y=/(x)图像大致为()。e-1 x-解析】记 g(x)=e-2 x-l,则有 g(x)=ex-2 ,当尤 ln2 时，g(x)=ex-2 0,g(x)是增函数，g(x)在x=In2 处取极小值也是最小值，g(ln2)
6、=2-2 1 n 2-l=1-21n2 0，当 X-+8 时 g(X)0,g(x)在有两个零点X =0、x2,不好求但知道在(1，2)之间，g(l)=e-3 0,这只是g(x)的单调性，又/5)=一，则g(x)/O,g(x)当xg(0)=0 ,f(x)=1 一 0,且/(x)是增函数；g(x)当0 c x l n 2 时,g(x)是减函数，且 g(x)g(0)=0,/(%)=-0,且/(x)是增函数,g(x)当0 时，g(x)是增函数，且 g(x)g*2)=0，/(X)=-勺 时，g(x)是增函数，且 g(x)g(%2)=0，/(x)=0,且/1(X)是减函数，g(x)对比各选项知，故选Co1
7、 0 .已知可导函数f(x)的导函数 为/(x),若对任意的xeR,都有/(x)/(x)+l ,且/(0)=2 0 2 1,则不等式2 0 2 0,1 的解集为()。A (-o o,0)B、(0 0,)eC、(0,+o o)n /I 、D、(,+o o)e【答案】C【解析】构造函数g(x)=1处4，则g (x)=.(x)-/(x)+l 0,e e函数g(x)在 R上单调递减，；/(0)=2 0 2 1 ,；.g(0)=/1=2 0 2 0,e由 /(X)-2 0 2 0/1 得 小).2 0 1 2 0 ,；.g(x)(-o o,l 2 I n 2)B、(o o,l 2 I n 2 C、1-2
8、 I n 2,0)D、(1-2 I n 2,0)【答案】D【解析】由己知可得/(2)=a-e 2=l,解得故/(x)=4，g(x)=|-U 2 1 n x|+f,e e e易知函数g(x)的零点个数即函数y=f t e*-2 1 n x i 的图像与直线 =f的交点个数，1 1 9设(幻2 1n x,定义域为(0,+o o)，则()=节 e e xi 9 1 2设 zn(x)=,znr(x)=7 ex+7,则加(%)0 恒成立，工加(%)在(0,+8)内单调递增,e x e x乂 z(2)=0,则当 0V%2 时机(X)0,即(X)0,h(x)在x=2处取得极小值也是最大值，则h(2)=l-2
9、 1n 2 0+时 h(x)0 ,当 x-+8 时 h(x)0 )I.y=|5 e*2 1n xi 的图像如图所示，1产由图像可知，0 T 2 1 n 2 -1,即 l 2 1n 2 f 0 时，2 1n 2-1 /y=-t一.彳 二函数y=|g/-2 1 n x|的图像与直线y=T 有四个交点，即函数g(x)=|/(x)-2 1n x|+r有四个零点，故选D12.对于函数/(x)=曲手，下列说法错误的是()。XA、/(x)在工=五 处取得极大值,B、/0)有两个不同的零点C、/(V 2)/(V )/(V 3)D、若/0)x2【答案】B【解析】A选项，f(x)=,定义域为(0,+8),八 X)
10、二2?日,令 外 幻=0,解得x=五，当0cx e“时，/(x)(),函数/(x)在(0,八)上单调递增,x 4 e时，/(x)0,函数/(%)在(五+8)上单调递减，二函数在x=G 时取得极大值也是最大值/(&)=-!-,对,B 选项，xf O+时/(X)0，X f+8 时/(X)0，2e.函数/(%)有且只有唯一一个零点，错，C 选项，.当x 五 时/(x)为单调递减函数，./(正)./(扬=谑=旭，/(五)=过=皿，2 4 兀 2 兀./(爪)一/(扬=等 一 乎=吟 叱，2 兀 4 4 兀.兀2 2，.()/(),即/(痣)/(五)/(6)，对，D 选项，V f(x)/0)+，=”出，
11、由于函数在(0,+8)上恒成立,%X X,.zIn x+1.rL/、In x+1 riX、n i,z.-2 In x 1/（T）z 设 g（x）=T 定乂域为（。，+8），则 g （x）=一令 g (x)=0,解得x=J=,.0 x J=函数单调递减,yje y/e yje二 g(X)m a x=g()=e-=|，故k?,对，故选Bo二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分.13 .己知函数/(X)是 R上的奇函数，当x 0时，f(x)=eLX-4,且/(l n；)=2,则实数a =。【答案】1【解析】：f(x)是 R 上的奇函数，./(l n：)=/(In 2)=/(l n 2)
12、=2,即/(l n 2)=2,又当 x 0时，f(x)=ea x-4,：./(l n 2)=ef l l n 2-4 =(el n 2)a-4 =2a-4 =-2,：.a=l.14 .某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,使用寿命超过2 年的概率为0.3,则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为 O【答案】0.5【解析】设事件A为该元件的使用寿命超过1年，B 为该元件的使用寿命超过2 年，则 P(A)=0.6,P(3)=0.3,V B e A,A P(A B)=P(B)=0.3,：.P(BA)PAB-=0.5,故选 B。一P(A)0.62 -11 5.已知函数/(x)=-+x+s i
13、n x,则关于x 的不等式/(/3)+/(2 x)0 的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _。2 4-1【答案】x|3 x 0 故函数丁=%+$m 工也是R上的增函数，函数 f (x)为 H 上的增函数,由/(X2-3)+f(2x)0 得/(X2-3)-f(2x)=f(-2x),M 3 v -2 x f 解得3 x 1 关于X 的不等式/(X2-3)+/(2X)0的解集为x-3x.Y16.若关于x 的方程)十-7+2 =0 有三个不相等的实数解再、工2、工3，且再0工2均，其中2 区，e x+ee=2.7 18 2 8 为自然对数的底数，贝1 2+1)2 .(今+1).(手+1)=_ _
14、_ _ _ _ _0e eXy【答案】1【解析】化简工+上 一+机=0可 得 上+!+z=o,ex x+ex ex x-r 1夕Y Y 1令/(x)=f =,定义域为 R,则 r(x)=,令/(x)=0,解得 x=l,/(1)=-,e e e当x 0,/(x)为单调递增函数，且/(0)=0,当X 1 时，/(X)0,则/(x)的图像如图，原式可化为t+m =0,Z +1乂(G+1),(2 +1)=A 2 +1+，2 +1 =(m+1)+(m+1)+1=1,则原式(3+1产.(令+1 (?+1)=1。e1 e2 e3三、解答题：本题共6小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、.1 7.(本小题满分1 2 分)甲、乙两所学校高三年级分别有6 0 0 人，5 0 0 人，为了解两所学校全体高三年级学生在该地区五校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 1 1 0 名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如表：甲校:分组 7 0,8 0)8 0,9 0)9 0,1 0()1()0,1 1 0)1 1 0,1 2 0)1 2 0,1 3 0)1 3 0,1 4 0)1 4 0,1 5 0 频数3471 41 7X42乙校:(1)计算X、y的值;分组 7 0,8 0)8 0,9 0)9 0,1 0 0)1 0 0,1 1 0)1 1 0,1 2 0)1 2
16、 0,1 3 0)1 3 0,1 4 0)1 4 0,1 5 0 频数12891 01 0y4(2)若规定考试成绩在 1 2 0,1 5 0 内为优秀，由以上统计数据填写下面的2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异；甲校 乙校 总计优秀非优秀总计(3)若规定考试成绩在 1 2 0,1 5 0 内为优秀，现从已抽取的1 1 0人中抽取两人，要求每校抽1人，所抽的两人中有人优秀的条件下，求乙校被抽到的同学不是优秀的概率。参考公式：K2=-(以 一2-,其中 =a +6 +c +4。临界值表:(a+)(4-c)(c +d)(b+d)P(K?Nko)0.1 00.0 50.
17、0 1 0即2.7 0 63.8 4 16.6 3 5【解析】(1)从甲校抽1 1 0 x&)=6 0(人),从乙校抽1 1 0 x 50=5 0(人),6 0 0 +5 0 0 6 0 0 +5 0 02分故x=9,y-6；3分(2)表格填写如下,n(ad-be)2甲校乙校总计优秀1 52 03 5非优秀4 53 07 5总计6 05 01 1 0*2.8 2 9 2.7 0 6 ，7分(a+b)(a+c)(c +d)(h+d)故有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异;8分(3)设两校各取一人，有人优秀为事件A,乙校学生不优秀为事件8,根据条件概率，则所求事件的概率P(B|A)=今 等=
18、(1 2分1 8.(本小题满分1 2分)已知函数/(x)=%2 一1,g(x)=ax-o(1)若关于工的方程1/(%)|=g(x)只有一个实数解，求实数。取值范围;(2)若当无w/?时，不等式/(x)Ng(x)恒成立，求实数。取值范围；(3)若avO,求函数/z(x)=f(x)+g(x)在-2,2 上的最大值。【解析】(1)由题意，得-1 1=“|x-l|,即|x-l|=O或|x +l|=a ,1 分显然，x =l 己是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x +l|=a 有且仅有一个等于1 的解或无解，.a v O；3分(2)当xeR,不等式/(x)2 g(x)恒成立，即0?-l)
19、2 a|x-l|对 x e R 恒成立，4分当x =l 时，显然成立，此时aeR，5分当时，可 变 形 为 -.1,x-l|x-l|-(x +1),x 1 时，2 ,当 x 1 时，(p(x)-2,故此时 a-2,7 分综合，得所求实数。的取值范围是a -2：8分(3)当 a4 3 时,(X)ma x =0，当-3 a4 1 时，/l(X)ma x =/7(2)=3 +4 ,当一1 a 力(-2),综上，当.4-3 时，/?(x)ma x-0 ,当-3 a 1 0 0 时，y =40.1分2分4分5分6分7分,f0.7x-30,60 x 100故 y=，40,100 x 110设 0.7x30
20、2 2 7.4,解得 x 2 82,9()一 82 4P(82x90)=p x P(8 0 x 9 0)-x 0.5 =0.4,8 分P(90 x100)=0.2,9 分P(l()0 x110)=0.1,10 分贝ij P(x 2 82)=尸(82 V x 90)+P(90 4 x 0。(1)证 明/1+%+!%2；2(2)若/=l+x+g 冗2/,证明：0 y 0 恒成立，则g(x)在(0,+8)上单调递增，3分于是有/0)=8(1)8(0)=0,X G(0,+O O),则/(x)在(0,+oo)上单调递增，4分则当xw(0,+8)时/(工)/(0)=0,即e A l+x+g j?在%。上恒
21、成立；5 分(2)由(1)知 e*=1 +1+,工2./1+工 +f ,则/=y o,6 分2 2下面证明x y,令(x,y)=l+x+g%2,则力(x,y)对于y而言单调递增,故需证明 Zi(x,y)ex,B P 1 +x+x2.ex ex (x2-)ex+1+x 0,7 分2 2设/(x)=(g%2_)/+i+x,则/z(0)=0,(x)=(g%2+%_)/+1,“(0)=0,8 分h x)=(1 x2+2x)ex 0=hf(x)在(0,+oo)上单调递增，9 分则 hf(x)(0)=0=h(x)在(0,+oo)上单调递增，10 分/.h(x)/1(0)=0,即 1 +X+工%2./1 +
22、%+1_X2/,即 11 分2 2综上x y0。12分2 1.(本题满分12分)已知函数/(x)=e-*+(1-办。(1)若。=0,求函数/*)的极值；(2)若函数/(幻无零点，求实数”的取值范围。ex-【解析】(1)当a=0时，fx)=e-x+x,定义域为R,r(x)=e-*+l=e令/(x)=0,解得x=0，1 分当x 0时，fx)0时，/(x)0,则/(x)在(0,+oo)上单调递增，./(X)在x=0处取得极小值为/(0)=1,无极大值：3分(2)f(x)=e r+(1 定义域为 R,f(x)=-e-x+(1-a)=,4 分ex当a=l时，f(x)=e-x 0,此时/(x)无零点，符合
23、要求，5分当a 1时，/(x)0 且/()=二 一 10，a-e.f(x)有唯一一个零点，不符合要求，7分当a l时，令/()=6 -=0,则x=-ln(l-a),ex当x-ln(l-a)时，r(x)In(l-a)时，fx)0,则/(x)在(一ln(l-a),+8)上单调递增，9 分二,f(x)在x=-ln(l-a)处取得极小值也是最小值，/(x)min=/(-ln(l-)=(l-)l-ln(l-),若函数/(X)没有零点，则需/(X)min0,即(1 )ln(l a)0,解得 1 一e a/2=4O10分2 3.(本小题满分10分)选 修4-5：不等式选讲已知函数/(X)=|6(X+1,CI
24、GR。(1)若VxwR,/(x)+/(x-2)2 1恒成立，求实数。的取值范围；(2)若)+/(二)+八)=4,求/(_ L)+/(_ L)+/(_ L)的最小值。a a a a a a【解析】(1)f(x)+f(x-2)=|av+11 +1a(x-2)+11=ax+i+2a-a x-lax-l+2a ax-l=2a.2 分V VX GT?,/(x)+/(x-2)N l 恒成立，2al,即 4 2 g 或 4 分n 1 h 1 c 1(2)由/)+f(2)+/(土)=4 知|。|+网 +=4,5 分a a a而 心 上)+心 二)+.心3)=。2+/+。2,6 分a a a：6=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.7分又 2|必区/+/,2aca2+c2,2bc b2+c2,8 分.,.16 ,等号成立当且仅当a=6=c,3因此，/(巴a2-i)+/h1(-1+于 c2-1 的最小值是216o 10分a a a 3