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1、2020-2021学年初中数学竞赛试卷一、选 择 题（共 7小题）1 7 a1.（4分）已知。+后=；+2 匕。0，则工的值为（）o a bA.-1 B.1 C.2 D.不能确定2.（4分）下列命题中错误的是（）A.1+鱼 与 1 一鱼互为负倒数B.V%=x V xC.67-5 X+2 在实数范围内可以分解因式D.将函数y=x 的图象先向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到函数y=（x -3）-5的图象3.（4分）已知A,8是。上的两点，P为。外任一点，且 P,4,B 不共线，直线附,P B分别交。于点C,。，则（）A.P A-P O P B-P DB.PA PC=PB PDC.PA PC
2、J _AB 于。，在（1）DC ABAC BC；（2）AC2 _ AD_B C2-BD111（3）T +r =-7：（4）A C+B O C D+A B 中正确的个数是（AC2 BC2 CD2第1页 共1 2页7.（4分）过A A B C的顶点8的两条直线分三角形8 c边上的中线所成的比AE：EF：FD=4：3：1,则这两条直线分A C边所成的比AG：GHz H C为（）二、填 空 题（共4小题）8.（5分）已知a、0是方程/-x-l=O的两个实数根,则代数式。2+似 伊-2）的值为.9.（5分）已知等腰 ABC中，AB=AC,B C=4,内切圆的半径为1,则腰长为.1 0.（5分）如图，在圆
3、内接四边形A B C D中，AB=AD,AC=1,ZACD=60Q,则四边形的面积为1 1.（5分）已知一元二次不等式a+b x+c。的解为；/，则不等式C+f e r+a。的解为三、解 答 题（共3小题）1 2.（1 6分）已知加”是两位数，二次函数y=/+，n r+”的图象与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2,（1）求 证:0 a-4 W4；（2）求出所有这样的两位数1 3.（1 6分）某剧场共有座位1 0 0 0个，排成若干排，总排数大于1 6.从第二排起，每排比前一排多一个座位.问：剧场共有多少个座位？第2页 共1 2页1 4.(1 6 分)已 知：4 3。和 AC E 都是直
4、角三角形，H.ZABD=ZACE=90 .如图甲,连接。E,设 M 为 O E的中点.(1)说明：M B=M C；(2)设N B A D=N C 4 E,固定 ABD,让 R t Z U C E 绕顶点A 在平面内旋转到图乙的位置,试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论.图甲 图乙第3页 共1 2页2020-2021学年初中数学竞赛试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（共 7 小题）12 aI.（4 分）已 知 =；+2bH 0,则工的 值 为（）o a bA.-1 B.1 C.2 D.不能确定【解答】解：两边同乘以a,得到：?+2b）a-20,b解这个关于a 的方程得到：a=2 b,或
5、n=T，11石。0,，。工 一故选：C.2.（4 分）下列命题中错误的是（）A.1+或 与 1-四 互为负倒数B.Vx=xyxC.6/-5x+2在实数范围内可以分解因式D.将函数y=x 的图象先向右平移3 个单位，再向下平移5 个单位，得到函数），=（尤-3）-5 的图象【解答】解：A、（1 V2）（1+V2）=-1,是真命题.B、依=-xx,x=0,是真命题.C、=-2 3 0 无解，故不能分解因式是假命题.。、符合平移的规律，是真命题.故选：C.3.（4 分）已知A,B 是。0 上的两点，P 为。0 外任一点，且 P,A,B 不共线，直线外,PB分别交。于点C,。，则（）A.PA-POPB
6、-PDB.PA-PC=PBPDC.PA-PCJ_AB 于。，在（1）DC-ABAC-BC；（2）AC?AD 111 7=；（3）7+7=7；（4）AC+BOCD+A8 中正确的个数是（）BC2 BD AC2 BC2 CD2第5页 共1 2页DRA.4 B.3 C.2 D.1【解答】解：（1）根据直角三角形斜边上的高分直角三角形所得的两个三角形与原三角形相似，有：ACQs/XABC,:.AC：AB=DC：BC,：.D C A B=A B C.所 以（1）正确.c c AC2 AD AB AD（2）由射影定理有：AC2=ADAB,Bd=BD-AB,：.r=-=一.所 以（2）BC2 BDAB BD
7、正确.（3）：AC2=ADAB,BC2=BDAB,又XACDsXCBD、：.CD2=ADBD11 1 1 AD+BD AB 1 1 一，+=-+-=-=-=-=-所以（3AC2 BC2 ADAB BDAB ADBDAB ADBDAB ADBD CD2正确.（4）根据三角形两边之和大于第三边，只 能 得 到 A C+B O A B,不 能 得 到 AC+BOAB+CD.所 以（4）不正确.故选：B.7.（4 分）过ABC的顶点8 的两条直线分三角形BC边上的中线所成的比AE：EF：FD=4：3：1,则这两条直线分AC边所成的比AG：GH：HC为（）【解答】解：如图，过点力作。/4 c 交 BG、
8、于点N、M,DN DE DM DF AG-AE AH-AF：AE：EF：FD=4：3：1,.m _ 竺 _ _1_1AE 4 AF 4+3 7：.DN=AG,DM=、AH,第6页 共1 2页又：A。是ABC的中线，.点。是 BC的中点,.点N 是 BG的中点，点 M 是 BH的中点,1 1:DN=CG,D M=*H,：.AG=|CG,CH=AH,AG+CG=AC,CH+AH=AC,：.AG=|AC,CH=|AC,*GH=AC-AG CH=AC-gACAC=gAC,14 2：.AG：GH：HC=4AC：-AC：-AC=3：4：2.3 9 9故选：B.8.（5 分）已知a、0 是方程?-x-1=0
9、 的两个实数根，则代数式a2+a（伊-2）的 值 为 0【解答】解：.a、。是方程/-X-1=0 的两个实数根，/.a+p=l,邓=-1,a2-a-1=0,俨-0-1=0,/.a2=a+l,p2=p+lAa2+a（p2-2）=a+l+a（0+1-2）=a+l-1 -a=0.故答案为：0.9.（5 分）已知等腰ABC中，AB=ACt B C=4,内切圆的半径为1,则腰长为.-3-【解答】解：如图，A3=AC,BC=4,；.CE=2,OD CE.A O ）SA4CE,=,AO AC：.AC=2AO,第7页 共1 2页设 A O=x,则 AC=2x,：OD=OE=1,由勾股定理求得,(x+1)2+2
10、2=4X2,解得x=i，10.（5 分）如图，在圆内接四边形ABC。中，AB=AD,AC=1,ZACD=60,则四边形V3的 面 积 为.-4【解答】解：过 A 作 AEJ_BC于 E,AF_LC。于尸.V ZADF+ZABC=180(圆的内接四边形对角之和为180),ZABE+ZABC=S0,：.NADF=/ABE.V ZA B E ZADF,AB=AD,NAEB=NAFD,.AEB/AFO,四边形ABCD的面积=四边形AECF的面积，AE=AF.又；/：=NAFC=90,AC=AC,.RtAAECRtAAFC.V ZACD=60,N4FC=90,：.ZCAF=30,第8页 共12页：.CF
11、=I，A F=字，四边形 A BCD 的面积=2SAACF=2X C F X A F=空.故答案为：.41 1.（5分）已知一元二次不等式o A b x+c X）的解为一,VrV主 则不等式c f+f o c+a X）的解 为 x 3 或尤-2.b 11 1 c 1【解答】解：由题意得：o,-=-（-4+4）=._ =一二，a z 3 o a 6c C r h不等式 cx+bx+aX）可化为：一/+x+l 0,a QB|J%+1 0,解得：x 3 或 x V -2.故答案为：3 或-2.三、解 答 题（共 3小题）1 2.（1 6 分）已知加是两位数，二 次 函 数 的 图 象 与 无轴交于不
12、同的两点，这两点间的距离不超过2,（1）求证：0 m 2 -4 =/+/+的图象与 轴交于不同的两点，判别式大于0，即 n?4 n 0,设这两点是（。，0）（b,0）,*a和b是 方 程 加 i+=0 的根，Aa+b=-m,ab=n,这两点距离=1 -b|W 2,第9页 共1 2页 C a-b)2 4,(a-b)2=(a+b)2-4ab=m2-4724,A0nz2-4 4,0/w2-4 W4,(2)由(1)可知，4 团2忘4+4=4(+l),m n是两位数,0，9,0W4危 36,4W4(+l)W40,m=,2,3,4,5,6,m=,4 V1W4(n+1),=0,2=2,4 V4W4(H+1)
13、,=0,m=3,4 V9W4(H+1),n=2,m=4,4 1 6,则&+117,2000=100X20=80X25=50X40=40X 50=25 X80=20X 100=10X200=5 X400=4X500=2X1000=1X2000,分类讨论发现，只有当-1=2 5 的时候，x=2 8,是个正整数，符合题意.所以一共有25排座位.答：剧场共有25排座位.14.（16分）已知：ZkAB。和ACE都是直角三角形，且NA&）=N A C E=90.如图甲,第 10页 共 12 页连接。E,设M为。E的中点.(1)说明：MB=MC-,(2)设/8 4。=/。&固定4 4 8),让R t A C
14、 E 绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置,试问：MB=MC是否还能成立？并证明其结论.图甲图乙【解答】证明：(1)作点M作M P_ L A 8 于点P,V ZABD=ZACE=90a.：.MP/CE/BD.为Q E的中点，：.CP=BP,是B C 的中垂线，.B C M 是等腰三角形，：.MB=MCi(2)MB=MC 成立.取A。、4 E 的中点F、G,连接B E MF,MG,C G 显然线段M G、MF 都是 4 D E 的中位线，四边形MMG 是平行四边形，MG=AD,MF=%E,：.ZMFAZAGM,又；N O8 A =/A C E=9 0 ,，R t 斜边中线 BF=AD=MG,CG=AE=MF,：ZDAB=ZCAE,：.ZBDA=ZCEA,第1 1页 共1 2页：.ZBFA=2ZBDA=2ZCEA=ZCGA,：.ZBFM=ZBFA-ZMFA=ZCGA-ZAGM=ZMGC,:丛BFM”丛MGC,.MB=MC.图甲第1 2页 共1 2页