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1、第三章第三章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程漳州市龙海区港尾中学漳州市龙海区港尾中学3.2.2 双曲线的简单几何性质（第一课时）双曲线的简单几何性质（第一课时）成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 教学目标 理解并掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质（重点）01 双曲线的离心率几何意义的导入、理解及求法（难点）02 直线与双曲线位置关系（重点、难点）03 04双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质学科素养 数学抽象 双曲线的范围、对称性、
2、顶点、渐近线、离心率等性质直观想象 双曲线与椭圆位置关系 逻辑推理 利用双曲线的几何性质解决简单问数学运算 数据分析 数学建模双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质01知知 识识 回回 顾顾Retrospective Knowledge双双曲曲线线的的标标准准方方程程双曲线的定义双曲线的定义:平面上到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线 两个定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距双双曲曲线线的的标标准准方方程程焦点在坐标轴上，且关于原点对称的双曲线的标准方程为：焦点在坐标轴上，且关于原点对称的双曲线的标准方程为：双
3、曲线的标准方程的特点：（1）左边是两个分式的平方差，右边是1；（2）三个参数a、b、c满足 c=a b；（3）系数为正的项的分母是a，系数为负的项的分母就是 b；（4）x2与y2哪一个系数是正的，则焦点就在哪一个轴上焦点在x轴上：焦点在y轴上：02新新 知知 探探 索索New Knowledge explore双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质观察双曲线的图象并思考下列问题：1范围：图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高 分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点2对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心图象是 不是轴对称图形？如果是，找出对称轴3通过观察
4、，图象还有没有其他的性质？如果有，试作出说明 下面，我们通过对双曲线标准方程 的研究，来认识双曲线的一些简单几何性质双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质范范 围围 这说明双曲线两支分别位于直线 x=a 的左侧与直线x=a 的右侧，向左右两边无限延伸 由双曲线的标准方程 可知，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式：双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质范范 围围 总之，双曲线 处于两条相交直线 所围成的、包含轴在内的那两个区域中，并且在直线 x=a，x=a 所围成区域的外侧 我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围双曲线的任意一点的坐标(x，y)都满足条件：双双曲曲线线的的简简单单几
5、几何何性性质质对对 称称 性性 在双曲线的标准方程中，将(x，y)分别替换成(x，y)，(x，y)，(x，y)，方程都不变，可见双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的 因此，双曲线有两条对称轴，即x轴和y轴；有一个对称中心，即原点，双曲线的对称中心称为双曲线的中心双曲线的中心双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质顶顶 点点 在双曲线的标准方程 中，令y=0，得 x=a；可见该双曲线与对称轴x轴有两个交点A1(a，0)，A2(a，0)，都称为双曲线的顶点双曲线的顶点 令x=0，得y2=b2，这个方程没有实数解，可见该双曲线与它的另一条对称轴y轴没有交点但我们也把B1(0，b)，B2(0，b)画出
6、来 线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴实轴和虚虚轴轴，它们的长分别为2a和2b 双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实实半轴长半轴长和虚虚半轴长半轴长 实轴与虚轴等长的双曲线，称为等轴双曲线双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质顶顶 点点 在双曲线的标准方程 中，令x=0，得 y=a；可见该双曲线与对称轴y轴有两个交点A1(0，a)，A2(0，a)，都称为双曲线的顶点双曲线的顶点 令y=0，得x2=b2，这个方程没有实数解，可见该双曲线与它的另一条对称轴x轴没有交点但我们也把B1(b，0)，B2(b，0)画出来 线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴实轴和虚轴虚轴，
7、它们的长分别为2a和2b 双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实实半轴长半轴长和虚虚半轴长半轴长双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质渐渐近近线线 双曲线 处于两条相交直线 所围成的、包含轴在内的那两个区域中从图象上看，双曲线的两支向两端无限延伸，越来越接近于这两个区域的边界直线 下面，我们通过方程来研究双曲线接近这两条直线的程度 在双曲线方程 中，将x当作已知数，解出：双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质 我们先取双曲线在第一象限内的部分进行考察，并研究这一部分向右上方接近于直线 的程度 为此，对同样的横坐标x，计算出直线 与与双曲线 上的点的纵坐标之差：随着x的无限增大
8、，分母 无限增大，分子ba不变，可见d无限接近于0，这说明双曲线在第一象限的部分在右上方无限接近直线 渐渐近近线线双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质 在其他象限内，也可以类似地证明渐渐近近线线 总之，双曲线 在无限延伸的过程中无限接近两条直线 这两条直线称为双曲线的渐近线渐近线 过双曲线的两个顶点A1(a，0)，A2(a，0)分别作y轴的平行线 x=a，经过B1(0，b)，B2(0，b)分别作x轴的平行线 y=b 这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线就是双曲线的两条渐近线双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质渐渐近近线线对于双曲线 和它的渐近线 ，将方程中的x 与y 互换
9、，就得到双曲线即 的渐近线方程 ，双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质 与椭圆类似，双曲线的半焦距与实半轴长的比 叫作双曲线的离心率离心率离离心心率率 因为c a 0，所以双曲线的离心率 e 1 显然，e 越大，越大，即渐近线 的斜率的绝对值越大，说明双曲线的开口越大双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质例例4 求双曲线 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率a2=9，b2=16，即实半轴长 a=3，虚半轴长b=4；所以c=ab=916=25，即c=5 故焦点坐标为F1(5，0)，F2(5，0)；离心率 解：由双曲线的标准方程 可知 从而，渐近线方程为 ，双双曲曲线线的的简简
10、单单几几何何性性质质解：由于双曲线的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为则有 例例5 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，虚半轴长为 ，离心率为3，求该双曲线的标准方程03拓拓 展展 提提 升升Expansion And Promotion双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质例题例题 求出下列双曲线的渐近线方程，并归纳出一般结论双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质例题例题 求出下列双曲线的渐近线方程，并归纳出一般结论双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质解：设所求双曲线的方程为因为双曲线过点(1，2)，所以将坐标代入方程可得 练习练习 求与双曲线 有相同的渐近线，且过点(1，2)的双曲线的标准方程04归归 纳纳 总总 结结Sum Up双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质方程图像双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质方程范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)实轴长2a虚轴长2b渐近线方程离心率05课课 后后 作作 业业Homework After Class双双曲曲线线的的简简单单几几何何性性质质P130 P130 习题习题3.2 3.2 第第4 4题题(2)(3)(4)(2)(3)(4)第第5 5题，第题，第1212题题