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1、2.1函数概念激趣诱思知识点拨一个人的体重(千克)与身高(厘米)有一定的关系,民间有一个粗略的公式,根据身高算出正常的体重:男性标准体重(千克)=身高(厘米)-100,女性标准体重(千克)=身高(厘米)-102.下表给出的是我国成年女子标准体重的参照数据.请算算你体重正常吗?如果你算出来的数据与标准体重差距较大,就说明你太胖或者太瘦了!激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨一、函数1.变量观点的定义如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的,变量y都有和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.2.集合语言的定义每一个值 唯一确定的值非空数集每一个唯一确定激趣诱思知识点拨名师
2、点析1.A,B都是非空数集,因此定义域(或值域)为空集的函数不存在.2.函数定义中强调“三性”,任意性、存在性、唯一性.即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x,在集合B中都有(存在性)唯一(唯一性)确定的元素y与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.3.符号y=f(x)是“y是x的函数”的数学表示,不能认为“y等于f与x的乘积”,应理解为:x是自变量,f是对应关系(可以是解析式、图象、表格,也可以是文字描述).4.函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关,也可以用g,F,H等表示;同样,自变量x也可以用t,m,n等表示.5.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常
3、量,而f(x)是自变量x的函数,表示的是变量,f(a)是f(x)的一个特殊值.激趣诱思知识点拨微思考函数的这两种定义方法有什么异同点?提示:(1)不同点:初中定义是从变量变化的角度来刻画两个变量之间的对应关系,强调变量的依赖关系,生动直观,是客观的、动态的;高中定义是从集合间的对应关系的角度来刻画两个非空数集间的对应关系,强调具体的对应关系,细致入微,是微观的、静态的.(2)相同点:两种定义满足的条件是相同的,即“变量x的每一个值”以及“A中的任意数x”都有唯一的“y值”及“数y”分别与之对应.激趣诱思知识点拨微练习判断下列从集合A到集合B的对应关系f是否是定义在集合A上的一个函数?解:(1)
4、不是.对A中元素0,在f作用下,B中没有元素与之对应.(2)是.符合函数定义.(3)不是.对A中元素4,B中有2个元素与之对应.激趣诱思知识点拨二、同一个函数由函数定义知,由于函数的值域由函数的定义域和对应关系来确定,这样确定一个函数就只需两个要素:定义域和对应关系.因此,定义域和对应关系为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.激趣诱思知识点拨名师点析自变量和因变量用什么字母表示与函数无关,不影响两个函数的关系.两个函数的关系是通过检验两个函数的定义域和对应关系是否相同来确定的.只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相
5、同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说:(1)定义域不同,两个函数也就不同;(2)对应关系不同,两个函数也是不同的.激趣诱思知识点拨微思考如果两个函数的定义域和值域分别相同,这两个函数一定是同一个函数吗?提示:不一定是同一函数.因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.如函数y=2x和函数y=-3x+1,它们的定义域和值域都是R,但显然不是同一个函数.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测函数的定义函数的定义例1下列对应是实数集R到R上的一个函数的是.(填序号)反思感悟结合函数的定义,对集合A中任意一个x,判断在集合B中是否有唯一确定的y值与之对应.只能“一对一”或“多对一
6、”,不能“一对多”.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练1集合A=x|0 x4,B=y|0y2,下列不表示从A到B的函数的是()答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测求函数的定义域求函数的定义域例2求下列函数的定义域:分析观察函数解析式的特点列不等式(组)求自变量的取值范围 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况:(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内
7、的式子大于或等于零的实数组成的集合;(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测求抽象函数、复合函数的定义域求抽象函数、复合函数的定义域例3(1)若函数f(x)的定义域为(-1,2),则函数f(2x+1)的定义域为.(2)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x)的定义域为.(3)若函数f(2x+1)的定义域为(-1,2),则函数f(x-1)的定义域为.分析(1)f(x
8、)的定义域为(-1,2),即x的取值范围为(-1,2),f(2x+1)中x的取值范围(定义域)可由2x+1(-1,2)求得.(2)f(2x+1)的定义域为(-1,2),即x的取值范围为(-1,2),由此求得2x+1的取值范围即为f(x)的定义域.(3)先由f(2x+1)的定义域求得f(x)的定义域,再由f(x)的定义域求f(x-1)的定义域.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测(2)由-1x2,得-12x+15,f(x)的定义域为(-1,5).(3)由(2)知f(x)的定义域为(-1,5),由-1x-15,得0 x6,f(x-1)的定义域为(0,6).探究一探究二探究三探究四探究五素
9、养形成当堂检测反思感悟求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.(2)函数f(x)的定义域是指x的取值范围,而不是(x)的取值范围.(3)f(t),f(x),f(h(x)三个函数中的t,(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.(4)已知f(x)的定义域为A,求f(x)的定义域,其实质是已知(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.(5)已知f(x)的定义域为B,求f(x)的定义域,其实质是已知f(x)中的x的取值范围为B,求出(x)的取值范围(值域),此取值范围就是f(x)的定义域.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探
10、究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测函数的求值问题函数的求值问题例4已知函数f(x)=x2+x-1.(2)若f(x)=5,求x.分析(1)将给出的自变量的值或代数式代入解析式化简整理(2)已知函数值为5建立关于x的方程,求解解:(1)f(2)=22+2-1=5.f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.(2)f(x)=x2+x-1=5,x2+x-6=0,解得x=2或x=-3.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟函数求值问题的解法1.已知函数的解析式求函数值,将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代
11、入化简求解.2.已知函数解析式及某一函数值,求与函数值对应的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程求解即可,注意函数的定义域对自变量取值的限制.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测同一个函数同一个函数例5试判断以下各组函数是否表示同一个函数:(2)y=x0与y=1(x0);(3)y=2x+1(xZ)与y=2x-1(xZ).分析判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一个函数的方法是:先求函数f(x)和g(x)的定义域,如果定义域不同,那么它们不是同一个函数;如果定义域相同,再化简函数的表达式
12、,如果化简后的函数表达式相同,那么它们是同一个函数,否则它们不是.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测(2)因为y=x0要求x0,且当x0时,y=x0=1,故y=x0与y=1(x0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一个函数.(3)y=2x+1(xZ)与y=2x-1(xZ)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一个函数.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤 探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测变式训练5下列各组函数:f(x)=x+1,g(x)=x+x0;汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t
13、)=80t(0t5)与一次函数g(x)=80 x(0 x5).其中表示同一个函数的是.(填序号)探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测答案:解析:f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;f(x)与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;f(x)=|x+3|,与g(x)的对应关系不同,不是同一个函数;f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一个函数;f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系都相同,是同一个函数.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测函数值域的求解方法函数值域的求解方法典例1求下列函数的值域:分析根据函数解析式,选用适当的方法求值域.探究一探究二探究三探究四
14、探究五素养形成当堂检测解:(1)当x=1时,y=3;当x=2时,y=5;当x=3时,y=7;当x=4时,y=9.所以函数y=2x+1,x1,2,3,4的值域为3,5,7,9.(2)因为1-x21,所以函数y=1-x2的值域为(-,1.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测名师点评本题(3)中方法一分离常数的目的是减少“变量”,变换后x仅出现在分母上,这样x对函数的影响就一目了然了.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测典例2求下列函数的值域:(1)y=x2-4x+6;(2)y=x2-4x+6,x1,5;分析(1)(2)是二次函数在定义域内求值域的问题,(1)可采用配方法;(2)
15、可结合二次函数的图象求值域;(3)可采用换元法去掉根号,但要注意换元过程中新元的取值范围.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测解:(1)(配方法)通过配方得y=(x-2)2+22.故函数的值域为2,+).(2)(图象法)因为x1,5,函数y=x2-4x+6的图象如图所示,结合图象可得函数的值域为2,11.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测可得关于x的方程(y-2)x2+(y-2)x+y-5=0.当y=2时,方程无解;当y2时,由=(y-2)2-4(y-2)(y-5)0,得2y6.故
16、函数的值域为(2,6.答案:(2,6探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测反思感悟求函数值域的常用方法 3.判别式法:将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于一些分式函数、无理函数等.使用此法要特别注意自变量的取值范围.4.换元法:通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数转化为简单的函数,从而求得函数的值域.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测6.反表示法:根据函数解析式反解出x,根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解.一般来说,“分离常数法”的目的是将“分式函数”变为“反比例函数”类,“换元法”的目的是将函数变为“二次函数”类,即将函数变为熟
17、悉的简单函数类型来求值域.除了上述常用的方法,还有图象法等.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中逐渐探索和积累,在求解时应注意选择恰当的解法.总之,求函数的值域的关键是要重视对应关系的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测A.(-,+)B.(-,-1C.(-1,+)D.-1,0)(0,+)答案:D 解析:要使函数有意义,则 解得f(x)的定义域为-1,0)(0,+).故选D.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同一个函数的是()答案:ACD解析:对于选项A,C,函数的
18、定义域不同;对于选项D,两个函数的对应关系不同.探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测3.(1)函数y=2x+1,x(-1,1的值域是.(用区间表示)(2)函数y=x2+x+2,xR的值域是.(用区间表示)4.已知函数f(x)的定义域是-1,4,则函数f(2x+1)的定义域为.解析:已知f(x)的定义域是-1,4,即-1x4.故对于f(2x+1)应有-12x+14,探究一探究二探究三探究四探究五素养形成当堂检测(1)求f(x)的定义域;(2)求f(-1),f(2)的值;(3)当a-1时,求f(a+1)的值.解:(1)要使函数f(x)有意义,必须使x0,故f(x)的定义域是(-,0)(0,+).