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1、高一年级 数学平面向量加、减运算的坐标表示问题提出 问题提出问题提出问题一 已知向量 思考：你能得出 的坐标吗？问题提出问题提出思考：你能得出 的坐标吗？问题一 已知向量 xayba+b 问题提出问题提出思考：你能得出 的坐标吗？问题一 已知向量 a-bxayba+b 问题问题提出提出思考：你能得出 的坐标吗？问题一 已知向量 的坐标是怎么得到的？问题问题提出提出思考：你能得出 的坐标吗？问题一 已知向量 x xi ij ja ay y 问题问题提出提出思考：你能得出 的坐标吗？问题一 已知向量 x xi ij ja ay y 问题问题提出提出思考：你能得出 的坐标吗？问题一 已知向量 x x
2、i ij ja ay y 问题问题提出提出 问题问题提出提出 如何进行化简？问题问题提出提出 问题问题提出提出向量的加法运算满足交换律：问题问题提出提出向量的加法运算满足交换律：问题提出问题提出向量的数乘运算满足分配律：问题提出问题提出向量的数乘运算满足分配律：问题提出问题提出向量的数乘运算满足分配律：问题提出问题提出即即 问题提出问题提出 问题提出问题提出 问题问题提出提出 问题提出问题提出即即 结论结论已知 结论结论已知 这就是说，两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.方法提炼向量运算方法提炼符号运算图形运算向量运算方法提炼符号运算图形运算向量运算坐标运算方法提炼符号
3、运算图形运算向量运算坐标运算联系方法提炼正交分解符号运算图形运算向量运算坐标运算联系典型例题例 已知 求 的坐标.解：例 已知 求 的坐标.解：例 已知 求 的坐标.解：例 已知 求 的坐标.例 已知 求 的坐标.解：例 已知 求 的坐标.解：例 已知 求 的坐标.解：例 已知 求 的坐标.解：例 已知 求 的坐标.解：例 已知 求 的坐标.解：求 的坐标.练习 已知 若 解：设求 的坐标.练习 已知 若 解：设求 的坐标.练习 已知 若 因为因为解：设求 的坐标.练习 已知 若 解：设求 的坐标.练习 已知 若 因为解：设求 的坐标.练习 已知 若 因为所以解：设求 的坐标.练习 已知 若
4、因为解得所以解：设求 的坐标.练习 已知 若 因为即所以解：设求 的坐标.练习 已知 若 因为解得方法提炼任意向量坐标，与表示此向量的有向线段的起点坐标，终点坐标，三者“知二求一”，在求解过程中往往用到设未知量的方法，应用方程思想求解.问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？y yx xy yx x问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？y yx xy yx x问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？y yx x问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？y yx x问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？作向量 则，y yx x问题
5、二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？作向量 则，y yx x问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？作向量 则，y yx x问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？作向量 则，y yx x问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？作向量 则，因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.问题二 如图所示，已知 你能得出 的坐标吗？方法提炼向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与向量所在的位置无关；当一个向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变；在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去
6、起点坐标即可得到该向量的坐标.简记为“任意向量坐标=终点坐标-起点坐标”巩固练习练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.；起点终点练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.；解：起点终点练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.；起点终点练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：；起点终点练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：；起点终点练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：；起点终点练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：；起点终点练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：；起点终点练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：；练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：练习 已知 两点坐标，分别
7、求 的坐标.练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：相反向量满足：练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：相反向量满足：练习 已知 两点坐标，分别求 的坐标.解：例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.yx xABCD例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.猜想:与 是平行的.yx xABCDyx xABCD例 若 则 与 有
8、什么位置关系？证明你的猜想.猜想:与 是平行的.例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.转化猜想:与 是平行的.yx xABCD例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.yx xABCD证明：例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.yx xABCD证明：例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.yx xABCD证明：所以例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.yx xABCD证明：所以yx xABCD例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.平行向量平行向量和和平行直线有平行直线有什么不同之处？什么不同之处？证明：所以例 若 则 与 有什么位置关系？证明你的猜想.
9、证明：所以所以yx xABCD方法提炼此题的求解过程中，我们用代数方法刻画几何对象，进而用代数方法论证几何关系，其中的桥梁就是向量的坐标运算！应用向量法探究直线的位置关系并不是只能通过向量的相等来判断，在后面的学习中我们还会学到更为简洁的用向量坐标刻画平行问题的方法.例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD已知量有哪些？能否用它们来表示点 的坐标?例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为
10、 求顶点 的坐标.yxABCD例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCDyxABCD例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径1例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径1例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径1例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yx
11、ABCD路径1例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径1所以顶点 的坐标为例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径1例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径2例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径2例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径2例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径2例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为
12、求顶点 的坐标.yxABCD路径2例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径2例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.所以顶点 的坐标为yxABCD路径2例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径3例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径3例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径3例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径3例 如图所示，已知平行四边形 的
13、三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径3所以顶点 的坐标为例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD路径3yxABCD方法小结向量的加法运算yxABCD方法小结向量的加法运算将 放到不同的三角形中yxABCD方法小结向量的加法运算将 放到不同的三角形中yxABCD方法小结三角形法则向量的加法运算将 放到不同的三角形中yxABCD方法小结三角形法则向量的加法运算将 放到不同的三角形中yxABCD三角形法则向量的加法运算将 放到不同的三角形中方法小结例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.路径4 连接yxABCD例 如
14、图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.设 相交于点路径4 连接yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.既是 中点，又是 中点.设 相交于点路径4 连接yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点
15、，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.是 中点，路径4yx
16、ABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.所以路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.所以路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.即所以路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.即所以路径4yxABCDP例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.所以点 的坐标为即所以路径4yxABCDPyxABCD方法小结三角形法则向量的加法运算将 放到不同的三角形中例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐
17、标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD分析：设点例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD分析：设点求解未知数例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD分析：设点求解未知数建立方程组例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD分析：设点求解未知数建立方程组图形中的关系例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD分析：设点求解未知数建立方程组图形中的关系数量关系位置关系例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.分析：yxAB
18、CD设点求解未知数建立方程组图形中的关系数量关系位置关系例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD对边平行且相等例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD对边平行且相等例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD对边平行且相等例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD 与 坐标等对边平行且相等 与 坐标等例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.已知 未知yxABCD对边平行且相等例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点
19、坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD解法2：因为例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD解法2：因为例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD解法2：因为又例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD解法2：因为又所以例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.yxABCD解法2：因为又所以解得所以顶点 的坐标为例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.解法2：yxABCD因为又所以解得yxABCD方法小结相等向量坐标相等设未知
20、量求解寻找与 有关的相等向量yxABCD方法小结相等向量坐标相等设未知量求解寻找与 有关的相等向量例 如图所示，已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 求顶点 的坐标.解法1 向量的加法运算 解法2 设未知量求解 yxABCD方法类比解法1 利用平面向量加法的三角形法则，通过求解向量 的坐标，进而得到点 的坐标，解题过程中应用了数形结合的思想方法.解法2 找寻题目中的等量关系，直接设未知量求解，解题过程中应用了方程思想.但两种方法的解题核心是不变的，都是通过找寻一组相等的向量，其中一个向量已知，另一个未知，利用坐标的相等，建立方程组求解.方法提炼向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，也是“图
21、形的运算”，挖掘题目中已知图形的特征，利用图形中元素的基本关系列出向量等式，结合向量的坐标运算，使计算与图形融为一体，这是体现向量法解决几何问题的关键！小结与展望已知若 则本本节课节课小结小结1 1本本节课节课小结小结2 2数学运算本本节课节课小结小结3 3数学运算运算对象理解理解本本节课节课小结小结3 3运算法则数学运算运算对象理解理解掌握掌握本本节课节课小结小结3 3运算法则数学运算运算对象理解理解掌握掌握探究探究本本节课节课小结小结3 3运算方向运算法则数学运算运算对象理解理解掌握掌握探究探究本本节课节课小结小结3 3运算方向运算结果求得求得运算法则数学运算运算对象向量理解理解掌握掌握探
22、究探究本本节课节课小结小结3 3运算方向运算结果求得求得运算法则数学运算运算对象向量减法向量加法向量理解理解掌握掌握探究探究本本节课节课小结小结3 3运算方向运算结果求得求得明确运算明确运算步骤和顺序步骤和顺序运算法则数学运算运算对象向量减法向量加法向量运算的符号表示向量理解理解掌握掌握探究探究本本节课节课小结小结3 3运算方向运算结果求得求得探究探究向量运算的几何表示向量运算的坐标表示明确运算明确运算步骤和顺序步骤和顺序本本节课节课小结小结4 4向量运算的坐标表示本本节课节课小结小结4 4向量运算的坐标表示图形中的图形中的数量，位置关系数量，位置关系如相等，平行等情况如相等，平行等情况本本节
23、课节课小结小结4 4向量运算的坐标表示设未知量图形中的图形中的数量，位置关系数量，位置关系如相等，平行等情况如相等，平行等情况本本节课节课小结小结4 4向量运算的坐标表示设未知量找寻等量关系找寻等量关系建立方程组求解图形中的图形中的数量，位置关系数量，位置关系如相等，平行等情况如相等，平行等情况本本节课节课小结小结4 4向量运算的坐标表示设未知量找寻等量关系找寻等量关系建立方程组求解几何几何直观化直观化代数代数抽象化抽象化图形中的图形中的数量，位置关系数量，位置关系如相等，平行等情况如相等，平行等情况转化转化作业已知作用在坐标原点的三个力分别为 求作用在原点的合力 的坐标.谢谢观看谢谢观看祝同学们居家生活学习愉快！祝同学们居家生活学习愉快！