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1、1四类立体几何题型-2024高考数学大题秒杀技巧四类立体几何题型-2024高考数学大题秒杀技巧立体几何问题一般分为四类：立体几何问题一般分为四类：类型1：线面平行问题类型2：线面垂直问题类型3：点面距离问题类型4：线面及面面夹角问题下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.技巧：法向量的求算技巧：法向量的求算待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为n=x,y,z找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=a1,b1,c1，b=a2,b2,c2根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组na=0nb=0 解方程组，取其中的一个解，即得法向量注意：注意：在利用上述步骤求解平
2、面的法向量时，方程组na=0nb=0 有无数多个解，只需给 x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量秒杀：口诀：秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃(求外用外减，求内用内减)向 量 a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2是 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量，则 向 量 n=y1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1是平面的一个法向量.特别注意：特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐标，然后利用距离列三个方程求解.类型1：线面平行问题类型1：线面平行问题方法一：中位线型方法一：中位线型：如图，
3、在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB平面AEC.分析：方法二：构造平行四边形方法二：构造平行四边形如图,平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BECF，求证：AE平面DCF.2分析：过点E作EGAD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AEDG即可。方法三：作辅助面使两个平面是平行方法三：作辅助面使两个平面是平行如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN平面OCD分析：取OB中点E，连接ME,NE，只需证平面MEN平面OCD。方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线
4、平行方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP=DQ(如图)求证：PQ平面CBE如图，已知三棱锥PABC，A、B、C是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求证：AB面ABC；方法五：(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系(或找空间一组基底)及平面的法向量。线面平行问题专项训练线面平行问题专项训练31如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2.(1)求证：DE平面A1BC；(2)求DE与平面
5、BCC1B1夹角的余弦值.2如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GDEF,GFBC，FG平面ADGC,M,N分别是AC,BF的中点，且BC=EF=12CG=12FG(1)求证：MN平面AFG；(2)求直线MN与平面BEF所成角的正弦值43如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，ADBC，BCCD，平面SCD平面ABCD.SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=2，E为BS上一点，且BE=2ES.(1)证明：直线SD平面ACE；(2)求二面角S-AE-C的余弦值.4如图，四边形ABB1A1是圆柱OO1的轴截面，点M是母线CC1的中点，圆柱底面半径R
6、=2,AA1=2.(1)求证：O1C1平面A1BM；(2)当三棱锥A1-ABC的体积最大时，求平面A1BM与平面CBM夹角的余弦值.55在直三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A=AB=BC=CA=2，M、N分别为棱BC和CC1的中点，点P是侧面A1ABB1上的动点.(1)若C1P平面AMN，试求点P的轨迹，并证明；(2)若P是线段AB1的中点，求二面角P-MN-A的余弦值.类型类型2 2：线面垂直问题：线面垂直问题必记结论：必记结论：特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为600，则对角线与边垂直特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直等腰三角形三线合一，三线与底垂直直径所对的圆周角为直
7、角 菱形和正方形：对角线互相垂直特殊的矩形：边长之比1:2或1：2 有明显的直角关系6线面垂直问题专项训练线面垂直问题专项训练6如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2(1)求证：AC平面BDE；(2)求点D到平面ABE的距离7如图，四边形ABCD为菱形，ED平面ABCD，FBED，BD=2ED=2 2FB.(1)证明：平面EAC平面FAC；(2)若BAD=60，求二面角F-AE-C的大小.78如图，ADM是等腰直角三角形，ADDM，四边形ABCM是直角梯形，ABBC，MCBC，且AB=2BC=2CM=2，平面A
8、DM平面ABCM(1)求证：ADBM；(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为218?9如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=12AA1=2，AE=14AA1，D为棱CC1的中点，F为棱BC的中点(1)求证：BE平面AB1C；(2)求三棱锥B-DEF的体积810如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1=B1C1，A1C1B1C1，A1A=12A1B1，M为棱A1B1的中点.(1)求证：AM平面BC1M；(2)若A1C1=2，求三棱锥A-BC1M的体积.类型类型3 3：点面距离问题：点面距离问题结论结论1 1：点线距离 d=
9、PP1 2PP1 aa2 异面直线求距离问题结论结论2 2：点面距离 d=PP1 nn结论3：线面距离 d=PP1 nn结论结论4 4：面面距离 d=PP1 nn结论结论5 5：点点距离 d=x1x22+y1y22+z1z22911如图，在底面是矩形的四棱雉P-ABCD中，PA平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点.(1)求证：平面PCD平面PAD；(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；(3)求B点到平面EAC的距离.12如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，DAB=3，3AD=2CD=2DD1=6，点P，M分别为AB，CD1上靠近A,D1的
10、三等分点(1)求点M到直线PD1的距离；(2)求直线PD与平面PCD1所成角的正弦值.1013如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=1，SC=2 33，三棱锥S-BCD是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点.(1)求二面角E-BF-D的余弦值；(2)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.14四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，DAB=60，对角线AC与BD相交于点O，PO底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60，E是PB的中点(1)求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)证
11、明：OE平面PAD，并求点E到平面PAD的距离1115斜三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，A1AB=60，点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1DAC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离类型类型4 4：线面及面面夹角问题：线面及面面夹角问题结论结论1 1：异面直线所成角cos=aba b 0,2能建空间直角坐标系时，写出相关各点的坐标，然后利用结论求解不能建空间直角坐标系时，取基底的思想，在由公式cos a,b=aba b求出关键是求出ab及 a与 b结论结论2 2：线面角cos=sin
12、=AB nAB n 0，2结论结论3 3：二面角的平面角cos=n1 n2 n1 n2 0，12线面及面面夹角问题专项训练线面及面面夹角问题专项训练16如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2CD,ABBC,ACCD，以AC为折痕将ACD折起，使点D到达点P的位置，且PB=5CD(1)证明：AB平面PBC；(2)若M为PA的中点，求直线PB与平面MBC所成角的正弦值17在四棱锥P-ABCD中，面PAB面ABCD，PA=PC,ADAB,ADBC,AD=2BC=2，AB=3,E是线段AB上的靠近B点的三等分点.(1)求证：CD面PEC；(2)若面BPC和面PEC的夹角为45，求线段BP的长.131
13、8如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，AB=PA=2，且直线PD与底面ABCD所成的角为4(1)求证：平面PBD平面PAC；(2)若3PM=MB，求二面角M-AC-P的余弦值19如图，在ABC中，ACB=90，AB=2BC=12，E是AB的中点，D在AC上，DEAB，以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点A1的位置，且二面角A1-DE-B的大小为60.(1)求证：A1CBE；(2)求直线A1E与平面A1CD所成角的正弦值.1420如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC=CD=DB=3AB=3AD=2,C1B=C1D(1)求证：平面BC1D平面ACC1A
14、1；(2)设E为棱BC的中点，线段AC,DE交于点F,C1F平面ABCD，且C1F=2，求平面ABC1与平面CBC1的夹角的余弦值.1四类立体几何题型四类立体几何题型-高考数学大题秒杀技巧高考数学大题秒杀技巧立体几何问题一般分为四类：立体几何问题一般分为四类：类型1：线面平行问题类型2：线面垂直问题类型3：点面距离问题类型4：线面及面面夹角问题下面给大家对每一个类型进行秒杀处理下面给大家对每一个类型进行秒杀处理.技巧：法向量的求算技巧：法向量的求算待定系数法：步骤如下：设出平面的法向量为n=x,y,z找出(求出)平面内的两个不共线的向量a=a1,b1,c1，b=a2,b2,c2根据法向量的定义
15、建立关于x,y,z的方程组na=0nb=0 解方程组，取其中的一个解，即得法向量注意：注意：在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组na=0nb=0 有无数多个解，只需给 x,y,z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量秒杀：口诀：秒杀：口诀：求谁不看谁，积差很崩溃(求外用外减，求内用内减)向 量 a=x1,y1,z1，b=x2,y2,z2是 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量，则 向 量 n=y1z2y2z1,x2z1x1z2,x1y2x2y1是平面的一个法向量.特别注意：特别注意：空间点不容易表示出来时直接设空间点的坐
16、标，然后利用距离列三个方程求解.类型类型1 1：线面平行问题：线面平行问题方法一：中位线型方法一：中位线型：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB平面AEC.分析：方法二：构造平行四边形方法二：构造平行四边形如图,平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BECF，求证：AE平面DCF.2分析：过点E作EGAD交FC于G，DG就是平面AEGD与平面DCF的交线，那么只要证明AEDG即可。方法三：作辅助面使两个平面是平行方法三：作辅助面使两个平面是平行如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD为菱形，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN平面OC
17、D分析：取OB中点E，连接ME,NE，只需证平面MEN平面OCD。方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。已知公共边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP=DQ(如图)求证：PQ平面CBE如图，已知三棱锥PABC，A、B、C是PBC,PCA,PAB的重心.(1)求证：AB面ABC；方法五：(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系(或找空间一组基底)及平面的法向量。线面平行问题专项训练线面平行问题专项训练31如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A
18、A1平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2.(1)求证：DE平面A1BC；(2)求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)104【详解】(1)证明：点D、E分别为AC、AA1的中点，DE为三角形ACA1的中位线，即DECA1，DE平面A1BC，CA1平面A1BC，DE平面A1BC(2)过点A1作B1C1的垂线，垂足为F，连结CF，因为平面A1B1C1平面BCC1B1，且平面A1B1C1平面BCC1B1=B1C1，A1FB1C1，所以A1F平面BCC1B1，所以CF为CA1在平面BCC1B1的射影，A1CF即为所求角，CF=12+22=5，A1F=
19、3，A1C=22+22=2 2所以cosA1CF=CFA1C=52 2=104.2如图，在多面体ABCDEFG中，已知ADGC是正方形，GDEF,GFBC，FG平面ADGC,M,N分别是AC,BF的中点，且BC=EF=12CG=12FG4(1)求证：MN平面AFG；(2)求直线MN与平面BEF所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)4 8585【详解】(1)如图，设P是CG的中点，连接PM,PNM为AC的中点，PMAG又PM平面AGF,AG平面AGF，PM平面AGF同理可得，PN平面AGFPMPN=P,PM,PN平面PMN，平面PMN平面AGF又MN平面PMN，MN平面AGF(2)FG平面
20、ADGC,CG,DG平面ADGC，FGCG,FGDG以G为坐标原点，GD,GF,GC 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz不妨设BC=1，则G(0,0,0),M(1,0,2)，N 0,32,1,B(0,1,2),E(1,2,0),F(0,2,0)，MN=-1,32,-1,BE=(1,1,-2),BF=(0,1,-2)，设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z)由nBE=0,nBF=0 得x+y-2z=0,y-2z=0.令z=1，得n=(0,2,1)，设MN与平面BEF所成角为，则sin=|cos|=|nMN|n|MN|=21725=4 8585直线MN与平
21、面BEF所成角的正弦值为4 858553如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD为直角梯形，ADBC，BCCD，平面SCD平面ABCD.SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=2，E为BS上一点，且BE=2ES.(1)证明：直线SD平面ACE；(2)求二面角S-AE-C的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)3311【详解】(1)连接BD交AC于点F，连接EF因为ADBC，所以AFD与BCF相似所以BFFD=BCAD=2又BEES=BFFD=2，所以EFSD因为EF平面ACE，SD平面ACE，所以直线SD平面ACE(2)平面SCD平面ABCD，平面SCD平面ABCD=CD，B
22、C平面ABCD，BCCD，所以BC平面SCD以C为坐标原点，CD,CB 所在的方向分别为y轴、z轴的正方向，与CD,CB 均垂直的方向作为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz则C(0，0，0)，S(1，1，0)，A(0，2，2)，E23,23,43，CA=(0，2，2)，AS=1,-1,-2,AE=23,-43,-23,CE=23,23,43设平面SAE的一个法向量为m=(x，y，z)，则mAS=x-y-2z=0mAE=23x-43y-23z=0，令x=1，得m=3,1,1，设平面EAC的一个法向量为n=(x，y，z)，则nCA=2y+2z=0nCE=23x+23y+43z=0
23、，令z=1，得n=(-1，-1，1)设二面角S-AE-C的平面角的大小为，则cos=|mn|m|n|=33 11=33116所以二面角S-AE-C的余弦值为33114如图，四边形ABB1A1是圆柱OO1的轴截面，点M是母线CC1的中点，圆柱底面半径R=2,AA1=2.(1)求证：O1C1平面A1BM；(2)当三棱锥A1-ABC的体积最大时，求平面A1BM与平面CBM夹角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)66【详解】(1)证明：连接OO1，OO1A1B=N，则OO1CC1，且OO1=CC1，MC=MC1，连接MN，A1O,O1B，由圆柱的性质可得A1O1OB,A1O1=OB，所以四边形A1OB
24、O1是平行四边形，O1N=NO，所以N为OO1中点，所以易知O1C1MN，O1C1平面A1BM，MN平面A1BM，所以O1C1平面A1BM；(2)设AC=a,BC=b，则a2+b2=8，VA1-ABC=13SABCAA1=13ab13a2+b22=43，当且仅当AC=BC=2时取等，如图所示，建立空间直角坐标系C-xyz，A12,0,2,B 0,2,0,M 0,0,1，MB=0,2,-1,MA1=2,0,1，设平面A1BM的法向量为n=x,y,z，所以MB n=0MA1 n=0 2y-z=02x+z=0，令z=2，y=1,x=-1，所以n=-1,1,2，取平面CBM的法向量为m=1,0,0，所
25、以平面A1BM与平面CBM夹角的余弦值 cosm,n=mnm n=66，所以平面A1BM与平面CBM夹角的余弦值为66.5在直三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A=AB=BC=CA=2，M、N分别为棱BC和CC1的中点，点P是侧面A1ABB1上的动点.7(1)若C1P平面AMN，试求点P的轨迹，并证明；(2)若P是线段AB1的中点，求二面角P-MN-A的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)105【详解】(1)取A1A的中点为Q，连C1Q，QB，C1B，则点P的轨迹为线段BQ.证明：因为M，N分别为BC和C1C的中点，所以MNBC1又因为BC1平面ANN，MN平面AMN所以BC1平面AMN又因
26、为Q是A1A的中点，所以AQ=12A1A=12C1C=C1N而C1CA1A，所以QAC1C且QA=C1C所以四边形C1NAQ为平行四边形所以C1QAN又因为C1Q平面ANN，AN平面AMN所以C1Q平面AMN因为C1QC1B=C1，所以平面C1BQ平面AMN因为点P在侧面A1ABB1上，且C1P平面AMN所以C1P在平面C1BQ内，所以点P在线段BQ上，所以点P的轨迹为线段BQ.(2)依题设可知直三棱柱A1B1C1-ABC为正三棱柱，AMBC以M为原点，建立空间直角坐标系，如图所示则M 0,0,0，A3,0,0，B 0,1,0，C 0,-1,0，N 0,-1,1，P32,12,1，设平面AMN
27、的法向量为a=x,y,z，则aMA=0aMN=03x=0-y+z=0 x=0y=z .取z=1，得a=0,1,18设平面PMN的法向量为b=x,y,z，则bMP=0bMN=032x+12y+z=0-y+z=0 x=-3zy=z .取z=1，得b=-3,1,1cos a,b=abab=22 5=105所以，二面角P-MN-A的余弦值为105.类型类型2 2：线面垂直问题：线面垂直问题必记结论：必记结论：特殊的平行四边形边长之比1:2，夹角为600，则对角线与边垂直特殊的直角梯形边长之比1:1:2,对角线与腰垂直等腰三角形三线合一，三线与底垂直直径所对的圆周角为直角 菱形和正方形：对角线互相垂直特
28、殊的矩形：边长之比1:2或1：2 有明显的直角关系线面垂直问题专项训练线面垂直问题专项训练6如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面ABC，D，E分别为AC，A1C1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2(1)求证：AC平面BDE；(2)求点D到平面ABE的距离【答案】(1)证明见解析；(2)63【详解】(1)证明：AB=BC，D，E分别为AC，A1C1的中点，ACDB，且DEAA1，又AA1平面ABC，DE平面ABC，又AC平面ABC，ACDE，9又ACDB，且DEDB=D，DE,DB平面BDE，AC平面BDE(2)ACDB，AB=5，AC=2AD=2，BD=AB2-AD2=2，B
29、E=DE2+BD2=2 2，AE=DE2+AD2=5，SABD=1212=1在ABE中，AB=AE=5，BE=2 2，BE边上的高为52-22=3SABE=122 2 3=6设点D到平面ABE的距离为d，根据VD-ABE=VE-ABD，得136 d=1312，解得d=63，所以点D到平面ABE的距离为637如图，四边形ABCD为菱形，ED平面ABCD，FBED，BD=2ED=2 2FB.(1)证明：平面EAC平面FAC；(2)若BAD=60，求二面角F-AE-C的大小.【答案】(1)证明见解析(2)4【详解】(1)设BD交AC于点O，连接EO，FO，因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为
30、ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以ACED.又EDBD=D，ED,BD平面BDEF，所以AC平面BDEF；又EO平面BDEF，所以ACEO.设FB=1，由题意得ED=2，BD=2 2,DO=BO=2.因为FBED，且ED面ABCD，则FB平面ABCD，而OB,OD平面ABCD，故OBFB，ODED，所以OF=OB2+BF2=3，EO=ED2+DO2=6，EF=BD2+ED-BF2=8+1=3.10因为EF2=OE2+OF2，所以EOFO.因为OFAC=O，OF,AC平面ACF，所以EO平面ACF.又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.(2)取EF中点G，连接OG，所以OGED，OG
31、底面ABCD.以O为原点，以OA,OB,OG 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为BAD=60，由(1)中所设知，AB=AD=2 2，所以，OA=OC=6,所以A(6,0,0),F(0,2,1),E(0,-2,2),C(-6,0,0).所以FA=(6,-2,-1)，EA=(6,2,-2)，EC=(-6,2,-2)，设平面FAE的一个法向量为m=(x,y,z)，则mFA=0mEA=0 6x-2y-z=06x+2y-2z=0 x=3yz=2 2y，所以m=(3,1,2 2)；平面AEC的一个法向量为n=(a,b,c)，则nEC=0nEA=0-6a+2b-2c=06a+2b-2c=
32、0 a=0b=2c，所以n=(0,2,1)；所以cos m,n=3 23 3+1+(2 2)2=22，由图形可知二面角F-AE-C的平面角为锐角，所以二面角F-AE-C的大小为4.8如图，ADM是等腰直角三角形，ADDM，四边形ABCM是直角梯形，ABBC，MCBC，且AB=2BC=2CM=2，平面ADM平面ABCM11(1)求证：ADBM；(2)若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥M-ADE的体积为218?【答案】(1)证明见解析(2)E为线段BD上靠近点D的三等分点【详解】(1)四边形ABCM是直角梯形，ABBC，MCBC，AB=2BC=2MC=2，BM=1+1=2,AM=
33、2-12+12=2，则AM2+BM2=AB2，AMMB，平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM=AM，BM平面ABCM，BM平面DAM，又DA平面DAM，ADBM；(2)由(1)可知BM平面ADM，BM=2，设DEBD=，则E到平面ADM的距离为B到平面ADM的距离的倍，即E到平面ADM的距离d=2，ADM是等腰直角三角形，ADDM，AM=2，AD=DM=1，VM-ADE=VE-ADM=13SADMd=218，即1312112=218，=13，E为线段BD上靠近点D的三等分点9如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=12AA1=2，AE=14AA1，D为棱CC
34、1的中点，F为棱BC的中点12(1)求证：BE平面AB1C；(2)求三棱锥B-DEF的体积【答案】(1)证明见解析(2)23【详解】(1)AE=14AA1，AB=AC=12AA1，AA1=BB1，AE=12AB，AB=12BB1，则AEAB=ABBB1ABC-A1B1C1为直三棱柱，故侧面ABB1A1为矩形，A1AB=ABB1=90，综上，AEBBAB1，故BAB1=AEB，又EBA+AEB=90，EBA+BAB1=90，则BEAB1AA1平面ABC，AC平面ABC，AA1AC，又ACAB，AA1AB=A，AA1平面ABB1A1，AB平面ABB1A1，AC平面ABB1A1，又BE平面ABB1A
35、1，则ACBEAB1AC=A，AB1平面AB1C，AC平面AB1C，BE平面AB1C(2)连接AF，AA1BB1，AA1平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，AA1平面BCC1B1，13三棱锥B-DEF的体积VB-DEF=VE-BDF=VA-BDF=VD-ABF=13SABFCDAB=AC=2，BAC=90，F为BC的中点，BC=2 2，AFBC，AF=BF=2，SABF=12BFAF=122 2=1，三棱锥B-DEF的体积VB-DEF=VD-ABF=13SABFCD=1312=2310如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1=B1C1，A1C1B1C1，A1A=12A1B1，M为
36、棱A1B1的中点.(1)求证：AM平面BC1M；(2)若A1C1=2，求三棱锥A-BC1M的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2 23【详解】(1)因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以A1A平面A1B1C1.又C1M平面A1B1C1，所以A1AC1M.因为M为棱A1B1的中点，A1C1=B1C1，所以C1MA1B1.因为A1A平面A1ABB1，A1B1平面A1ABB1，A1AA1B1=A1，所以C1M平面A1ABB1.又AM平面A1ABB1，所以C1MAM.因为M为棱A1B1的中点，所以A1A=12A1B1=A1M.又A1AA1M，所以A1MA=45，同理B1MB=45，所以AMBM.因
37、为C1M平面BC1M，BM平面BC1M，C1MBM=M，所以AM平面BC1M.(2)因为A1C1=B1C1=2，A1C1B1C1，A1A=12A1B1，所以A1B1=2 2，A1A=12A1B1=A1M=C1M=2，所以AM=BM=A1A2+A1M2=2.由(1)知C1M平面A1ABB1，14所以VA-BC1M=VC1-ABM=13SABMC1M=1312AMBMC1M=16222=2 23，即三棱锥A-BC1M的体积为2 23.类型类型3 3：点面距离问题：点面距离问题结论结论1 1：点线距离 d=PP1 2PP1 aa2 异面直线求距离问题结论结论2 2：点面距离 d=PP1 nn结论3：
38、线面距离 d=PP1 nn结论结论4 4：面面距离 d=PP1 nn结论结论5 5：点点距离 d=x1x22+y1y22+z1z2211如图，在底面是矩形的四棱雉P-ABCD中，PA平面ABCD，PA=AB=2，BC=4，E是PD的中点.(1)求证：平面PCD平面PAD；(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；(3)求B点到平面EAC的距离.【答案】(1)证明见解析(2)23(3)43【详解】(1)由题可知，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示15则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2).所以AB=(2,0,
39、0),AD=(0,4,0),AP=(0,0,2),CD=(-2,0,0),AE=(0,2,1),AC=(2,4,0),所以CD AD=-20+04+00=0,即CDAD,所以CD AP=-20+00+02=0,即CDAP,又ADAP=A,AD,AP平面PAD,所以CD平面PAD,又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD.(2)设平面AEC的法向量为n=x,y,z，则n.AE=0n.AC=0，即2y+z=02x+4y=0，令x=2，则x=-1,z=2，所以n=2,-1,2，由题意知，PA平面ABCD，平面ACD的法向量为AP=0,0,2,设平面EAC与平面ACD夹角的，则cos=cos=nAP
40、|n|AP|=432=23，所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为23.(3)由(2)知，平面AEC的法向量为n=2,-1,2，AB=2,0,0设B点到平面EAC的距离为h，则h=nAB n=22+-10+2022+-12+22=43，所以B点到平面EAC的距离为43.12如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，DAB=3，3AD=2CD=2DD1=6，点P，M分别为AB，CD1上靠近A,D1的三等分点16(1)求点M到直线PD1的距离；(2)求直线PD与平面PCD1所成角的正弦值.【答案】(1)52(2)155【详解】(1)由题可得AD=2，CD=DD1=3，又
41、点P为AB上靠近A的三等分点，所以AP=1在ADP中，由余弦定理可得，DP2=AD2+AP3-2ADAPcosDAP=4+1-22112=3，故AD2=4=AP2+DP2，所以ADP为直角三角形，故DPAB因为底面ABCD为平行四边形，所以DPCD由直四棱柱性质可知DD1DP，DD1CD，即DP，CD，DD1两两垂直故以D为坐标原点，分别以DP，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz则D(0,0,0),P(3,0,0),D1(0,0,3),M(0,1,2)因为PD1=-3,0,3，过点M作MEPD1，(点到直线的距离即为通过该点向直线做垂线，点到垂足的距离
42、)令PE=PD1=-3,0,3，所以E3-3,0,3，故ME=3-3,-1,3-2由ME PD1=-3+3+9-6=0，解得=34，所以ME=34,-1,14，故点M到直线PD1的距离为ME=316+1+116=5217(2)因为DP=3,0,0，D1M=0,1,-1，PD1=-3,0,3，设平面PCD1的法向量为n=x,y,z，则nD1M=0,nPD1=0,即y-z=0,-3x+3z=0,令x=3，得y=1，z=1，故n=3,1,1设直线PD与平面PCD1所成角为，则sin=|cosn,DP|=nDP|n|DP|=35 3=155所以直线PD与平面PCD1所成角的正弦值为15513如图，在四
43、棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，AB=1，SC=2 33，三棱锥S-BCD是正三棱锥，E，F分别为SA，SC的中点.(1)求二面角E-BF-D的余弦值；(2)判断直线SA与平面BDF的位置关系.如果平行，求出直线SA与平面BDF的距离；如果不平行，说明理由.【答案】(1)147(2)平行，距离为3 714【详解】(1)连接AC，交BD于点O，连接SO，因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC，BD的中点，且BDAC，因为三棱锥S-BCD是正三棱锥，SB=SD，O为BD的中点，所以BDSO，SO平面SAC,AC平面SAC,又SOAC=O，所以BD平面SAC.作SH平面BCD于H，则H为正
44、三角形BCD的中点，H在线段OC上，且OC=32，OH=13OC=1332=36，CH=23OC=33，SH=SC2-CH2=43-13=1.18如图，以O为坐标原点，分别以OB，OC，HS 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A 0,-32,0，B12,0,0，C.0,32,0，D.-12,0,0，S 0,36,1，E 0,-36,12，F 0,32,12，所以BE=-12,-36,12，BF=-12,33,12，BD=-1,0,0，设n1=x1,y1,z1是平面EBF的法向量，则n1BE=-12x1-36y1+12z1=0n1BF=-12x1+33y1+12z1=0，则n
45、1=1,0,1，设n2=x2,y2,z2是平面DBF的法向量，则n2BD=-x2=0n2BF=-12x2+33y2+12z2=0，取n2=0,3,-2，所以cos n1,n2=n1n2n1n2=-22 7=-147，又因为二面角E-BF-D是锐二面角，所以二面角E-BF-D的余弦值为147.(2)直线SA与平面BDF平行.法1:连接OF，由(1)知O为AC的中点，又F为SC的中点，所以OFSA，又因为SA平面BDF，OF平面BDF，所以直线SA平面BDF.法2:由(1)知n2=0,3,-2是平面BDF的一个法向量，又A 0,-32,0，S 0,36,1，所以SA=0,-2 33,-1，所以SA
46、 n2=00+3 -2 33+-2-1=0，所以SA n2，又因为SA平面BDF，所以直线SA平面BDF.设点A与平面BDF的距离为h，则h即为直线SA与平面BDF的距离，因为OA=0,-32,0，n2=0,3,-2是平面DBF的一个法向量，所以OA n2n2=00+3 -32+0-27=3 714，所以点A与平面BDF的距离为3 714，19所以直线SA与平面BDF的距离为3 714.14四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，DAB=60，对角线AC与BD相交于点O，PO底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60，E是PB的中点(1)求异面直线DE与PA所成角的大小(结果用反三角函数
47、值表示)；(2)证明：OE平面PAD，并求点E到平面PAD的距离【答案】(1)arccos24(2)证明见解析，155【详解】(1)由题意，PO,OC,OB两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，菱形ABCD中，DAB=60，所以BD=2OB=2,在RtAOB中OA=AB2-OB2=3，因为PO底面ABCD，所以PB与底面ABCD所成的角为PBO=60，所以PO=OBtan60=3，则点A、B、D、P的坐标分别是A(0,-3,0),B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3)，E是PB的中点，则E12,0,32，于是D
48、E=32,0,32，AP=(0,3,3).设DE,AP 的夹角为，则有cos=3294+343+3=24，故=arccos24，异面直线DE与PA所成角的大小是arccos24.20(2)连接OE，E,O分别是PB,BD的中点，EOPD，EO平面PAD，PD平面PAD，EO平面PAD.因为AP=(0,3,3)，AD=(-1,3,0),设平面PAD的法向量n=(x,y,z)，则nAD=-x+3y=0nAP=3y+3z=0，令x=3，则y=1,z=-=-1，所以n=(3,1,-1)，又DE=32,0,32，则点E到平面PAD的距离d=|DE n|n|=3 32-323+1+1=35=155.15斜
49、三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，A1AB=60，点A1在下底面ABC的投影为AB的中点O(1)在棱BB1(含端点)上是否存在一点D使A1DAC1？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；(2)求点A1到平面BCC1B1的距离【答案】(1)存在，BD=25(2)2 155【详解】(1)连接OC，因为AC=BC，O为AB的中点，所以OCAB，由题意知A1O平面ABC，又AA1=2，A1AO=60，所以A1O=3，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，则A10,0,3，A 1,0,0，B-1,0,0，C 0,3,0，由AB=A1B1得B1-2,0,3，同理得C1-1,3,3，设BD=t
50、BB1,t 0,1，得D-1-t,0,3t，又AC1=-2,3,3，A1D=-1-t,0,3t-3，21由AC1 A1D=0，得-2-1-t+33t-3=0，得t=15，又BB1=2，BD=25，存在点D且BD=25满足条件；(2)设平面BCC1B1的法向量为n=x,y,z，BC=1,3,0，CC1=-1,0,3，则有nBC=x+3y=0nCC1=-x+3z=0，可取n=3,-1,1，又BA1=1,0,3，点A1到平面BCC1B1的距离为d=BA1 cos BA1,n=BA1 3+0+3BA1 5=2 155，所求距离为2 155.类型类型4 4：线面及面面夹角问题：线面及面面夹角问题结论结论