2017吉林考研数学二真题及答案.docx

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1、2017吉林考研数学二真题及答案一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)(1)若函数在处连续,则( )。 。 。【答案】【解】,因为在处连续,所以,从而,应选。(2)设二阶可导函数满足,且,则( )。 。 。【答案】【解】取,显然,应选。(3)设数列收敛,则 ( )当时,。 当时,。当时,。当时,。【答案】【解】令,由得。(4)微分方程的特解可设为 ( )。 。【答案】【解】特征方程为,特征值为。对方程,特征形式为;对方程,特解形式为,故方程的特解形式为 ,应选。(5)设具有一阶偏导数,且对任意的都有,则 ( )。 。 。【答案】【解】得关于为增函数,从而;由得关于为减函数,从而,由

2、得;由得,故,应选。(6)甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方(单位:)处,图中,实线表示甲的速度曲线(单位:),虚线表示乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为,计时开始后乙追甲的时刻为(单位:),则( )。 。 。【答案】【解】(7)设为3阶矩阵,为可逆矩阵,使得,则( )。 。 。【答案】【解】由得,于是,应选。(8)已知矩阵,则 ( )与相似,与相似。 与相似,与不相似。与不相似,与相似。与不相似,与不相似。【答案】【解】的特征值为,由得,则可相似对角化,从而;由得,则不可相似对角化,从而与不相似,应选。二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分)(9)曲线的斜渐近线为。【答

3、案】。【解】,斜渐近线为。(10)设函数由参数方程确定,则。【答案】。【解】,则。(11)。【答案】。【解】(12)设函数具有一阶连续的偏导数,且,则。【答案】【解】由得,再由得,故。(13)。【答案】【解】。(14)设矩阵的一个特征向量为,则。【答案】。【解】由得,解得。三、解答题(15)(本题满分10分)求。【解】,则。(16)(本题满分10分)设函数具有二阶连续的偏导数,求,。【解】,;,则。(17)(本题满分10分)求。【解】。(18)(本题满分10分)已知函数由方程确定,求的极值。【解】两边对求导得,令得,对应的函数值为,;两边再对求导得 ,由得为极小点,极小值为;由得为极大点,极大

4、值为。(19)(本题满分10分)设函数在上二阶可导且,。证明:()方程在内至少有一个实根;()方程在内至少有两个不同的实根。【证明】()由得,又存在,当时,即当时,于是存在,使得,因为,所以存在,使得。()令,因为,所以由罗尔定理,存在,使得,而,故,即在内至少一个实根。(20)(本题满分11分)已知平面区域,计算二重积分。【解】由对称性得,令(),则。(21)(本题满分11分)设是区间内的可导函数,且。点是曲线上的任意一点,在点处的切线与轴相交于点,法线与轴相交于点,若,求上的点的坐标满足的方程。【解】切线为,由得;法线为,由得。由得,整理得,即,令,则,整理得,分离变量得,积分得,由得,故满足的方程为。(22)(本题满分11分)设3阶矩阵有三个不同的特征值,且。()证明:()若,求方程组的通解。【证明】()设的特征值为,因为有三个不同的特征值,所以可以相似对角化,即存在可逆矩阵,使得 ,因为两两不同,所以,又因为,所以线性相关,从而,于是。()因为,所以基础解系含一个线性无关的解向量,由得的通解为 (为任意常数)。(23)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准型为,求的值及一个正交矩阵。【解】,因为,所以。由得。由得。由得对应的线性无关的特征向量为;由得对应的线性无关的特征向量为;由得对应的线性无关的特征向量为。规范化得,故正交矩阵为。

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