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1、2017湖南考研数学二真题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数在处连续，则（ ）。 。 。【答案】【解】，因为在处连续，所以，从而，应选。（2）设二阶可导函数满足，且，则（ ）。 。 。【答案】【解】取，显然，应选。（3）设数列收敛，则 （ ）当时，。 当时，。当时，。当时，。【答案】【解】令，由得。（4）微分方程的特解可设为 （ ）。 。【答案】【解】特征方程为，特征值为。对方程，特征形式为；对方程，特解形式为，故方程的特解形式为 ，应选。（5）设具有一阶偏导数，且对任意的都有，则 （ ）。 。 。【答案】【解】得关于为增函数，从而；由得关于为减函数，从而，由
2、得；由得，故，应选。（6）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方（单位：）处，图中，实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为，计时开始后乙追甲的时刻为（单位：），则（ ）。 。 。【答案】【解】（7）设为3阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ）。 。 。【答案】【解】由得，于是，应选。（8）已知矩阵，则 （ ）与相似，与相似。 与相似，与不相似。与不相似，与相似。与不相似，与不相似。【答案】【解】的特征值为，由得，则可相似对角化，从而；由得，则不可相似对角化，从而与不相似，应选。二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）（9）曲线的斜渐近线为。【答
3、案】。【解】，斜渐近线为。（10）设函数由参数方程确定，则。【答案】。【解】，则。（11）。【答案】。【解】（12）设函数具有一阶连续的偏导数，且，则。【答案】【解】由得，再由得，故。（13）。【答案】【解】。（14）设矩阵的一个特征向量为，则。【答案】。【解】由得，解得。三、解答题（15）（本题满分10分）求。【解】，则。（16）（本题满分10分）设函数具有二阶连续的偏导数，求，。【解】，；，则。（17）（本题满分10分）求。【解】。（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值。【解】两边对求导得，令得，对应的函数值为，；两边再对求导得 ，由得为极小点，极小值为；由得为极大点，极大
4、值为。（19）（本题满分10分）设函数在上二阶可导且，。证明：（）方程在内至少有一个实根；（）方程在内至少有两个不同的实根。【证明】（）由得，又存在，当时，即当时，于是存在，使得，因为，所以存在，使得。（）令，因为，所以由罗尔定理，存在，使得，而，故，即在内至少一个实根。（20）（本题满分11分）已知平面区域，计算二重积分。【解】由对称性得，令（），则。（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且。点是曲线上的任意一点，在点处的切线与轴相交于点，法线与轴相交于点，若，求上的点的坐标满足的方程。【解】切线为，由得；法线为，由得。由得，整理得，即，令，则，整理得，分离变量得，积分得，由得，故满足的方程为。（22）（本题满分11分）设3阶矩阵有三个不同的特征值，且。（）证明：（）若，求方程组的通解。【证明】（）设的特征值为，因为有三个不同的特征值，所以可以相似对角化，即存在可逆矩阵，使得 ，因为两两不同，所以，又因为，所以线性相关，从而，于是。（）因为，所以基础解系含一个线性无关的解向量，由得的通解为 （为任意常数）。（23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型为，求的值及一个正交矩阵。【解】，因为，所以。由得。由得。由得对应的线性无关的特征向量为；由得对应的线性无关的特征向量为；由得对应的线性无关的特征向量为。规范化得，故正交矩阵为。