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1、高考数学解答题专题攻略-立体几何 一、08高考真题精典回顾：1、（08重庆卷）（本小题满分 13 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分.）如题（19）图，在ABC中，B=90o,AC=152,D、E两点分别在 AB、AC上.使2ADAEDBEC,DE=3.现将ABC沿 DE折成直二角角，求：（）异面直线 AD与 BC的距离；（）二面角 A-EC-B 的大小（用反三角函数表示）.解法一：（）在答（19）图 1 中，因ADAEDBCE，故 BEBC.又因 B90，从而 AD DE.在第（19）图 2 中，因 A-DE-B 是直二面角，AD DE,故 AD 底面 DBCE，从而 AD DB.而 D
2、B BC,故 DB为异面直线 AD与 BC的公垂线.下求 DB之长.在答（19）图 1 中，由2ADAECBBC，得2.3DEADBCAB 又已知 DE=3,从而39.22BCDE 22221596.22ABACBC 因1,2.3DBDBAB故（）在第（19）图 2 中，过 D作 DF CE,交 CE的延长线于 F，连接 AF.由（1）知，AD 底面 DBCE,由三垂线定理知 AF FC,故AFD为二面角 A-BC-B 的平面 角 在底面 DBCE 中，DEF=BCE,1 1552,3 22DBECg 因此4sin.5DBBCEEC 从而在 RtDFE中，DE=3,412sinsin3.55D
3、FDEDEFDEBCEg 在5Rt,4,tan.3ADAFDADAFDDF中 因此所求二面角 A-EC-B 的大小为 arctan5.3 解法二：（）同解法一.（）如答（19）图 3.由（）知，以 D点为坐标原点，DB DE DAuuu r uuu r uuu r、的方向为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 D（0，0，0），A（0，0，4），9202C，E（0，3，0）.302ADADuuu ruuu r-2，-，（0，0，-4）.过 D作 DF CE,交 CE的延长线 于 F，连接 AF.设00(,0),F xy从而00(,0),DFxyuuu r 00(,3,0).EFxyD
4、FCEuuu r由，有 0030,20.2DF CExyuuu r uuu rg即 又由003,.322xyCE EFuuu r uuu rg得 联立、，解得00364836 4836 48,.,0,4.252525 2525 25xyFAF uuu r即，得 因为36483(2)025252AF CE uuu r uuu rggg,故AFCE,又因DFCE,所以DFA为所求的二面角 A-EC-B 的平面角.因36 48,0,25 25DF uuu r 有22364812,4,25255DFAD uuu ruuu r所以5tan.3ADAFDDFuuu ruuu r 因此所求二面角 A-EC-
5、B 的大小为5arctan.3 2、（08福建卷）（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD 底面 ABCD，侧棱PA=PD 2，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC AD,AB AD,AD=2AB=2BC=2,O 为 AD中点.（）求证：PO 平面 ABCD；（）求异面直线 PD与 CD所成角的大小；（）线段 AD上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为32？若存在，求出AQQD 的值；若不存在，请说明理由.本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分.上使现将沿折成
6、直二角角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示解法一在答图中因故又因从而在第图中因是直二面角故底面从而而故为异面直线与的公垂线下求之长在答图中由又已知从而得因故在第图中过作交的延长二同解法一如答图由知以点为坐标原点的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系则过作交的延长线于连接设从而得又由即由有联立解得即得因为故又因所以为所求的二面角的平面角因有所以因此所求二面角的大小为福建卷本小题满在点使得它到平面的距离为若存在求出的值若不存在请说明理由本小题主要考查直线与平面的位置关系异面直线所成角点到平面的距离等基本知识考查空间想象能力逻思维能力和运算能力满分分解法一证明在中为中点所以又侧面底解法一：
7、（）证明：在PAD中 PA=PD,O为 AD中点，所以 PO AD,又侧面 PAD 底面 ABCD,平面PAD 平面 ABCD=AD,PO 平面PAD，所以 PO 平面 ABCD.（）连结 BO，在直角梯形 ABCD 中、BC AD，AD=2AB=2BC,有 OD BC且 OD=BC,所以四边形 OBCD 是平行四边形，所以 OB DC.由（）知，PO OB,PBO为锐角，所以PBO是异面直线 PB与 CD所成的角.因为 AD=2AB=2BC=2,在 RtAOB中，AB=1,AO=1,所以 OB 2，在 RtPOA中，因为 AP 2，AO 1，所以 OP 1，在 RtPBO中，tan PBO
8、122,arctan.222PGPBOBC 所以异面直线 PB与 CD所成的角是2arctan2.（）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为32.设 QD x，则12DQCSx，由（）得 CD=OB=2，在 RtPOC中，222,PCOCOP 所以 PC=CD=DP,233(2),42PCDSg 由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点 Q满足题意，此时13AQQD.解法二：()同解法一.()以 O为坐标原点，OC OD OPuuu r uuu r uuu r、的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易得 A(0,-1,0),B(1
9、,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以110111CDPB uuu ruuu r（，），（，）.上使现将沿折成直二角角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示解法一在答图中因故又因从而在第图中因是直二面角故底面从而而故为异面直线与的公垂线下求之长在答图中由又已知从而得因故在第图中过作交的延长二同解法一如答图由知以点为坐标原点的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系则过作交的延长线于连接设从而得又由即由有联立解得即得因为故又因所以为所求的二面角的平面角因有所以因此所求二面角的大小为福建卷本小题满在点使得它到平面的距离为若存在求出的值若不存在请说明理由本小题主要
10、考查直线与平面的位置关系异面直线所成角点到平面的距离等基本知识考查空间想象能力逻思维能力和运算能力满分分解法一证明在中为中点所以又侧面底所以异面直线 PB与 CD所成的角是 arccos63，()假设存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为32，由()知(1,0,1),(1,1,0).CPCDuuu ruuu r 设平面 PCD的法向量为 n=(x0,y0,z0).则0,0,n CPn CDuuu rguuu rg所以00000,0,xzxy 即000 xyz，取 x0=1,得平面 PCD的一个法向量为 n=(1,1,1).设(0,0)(11),(1,0),QyyCQy uuu r由32CQ
11、nnuuuuurg，得13,23y解 y=-12或y=52(舍去)，此时13,22AQQD，所以存在点 Q满足题意，此时13AQQD.3、（08辽宁卷）（本小题满分 12 分）如图，在棱长为 1 的正方体ABCDAB C D中，AP=BQ=b（0b1），截面 PQEFAD，截面 PQGHAD（）证明：平面 PQEF和平面 PQGH 互相垂直；（）证明：截面 PQEF和截面 PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；（）若D E与平面 PQEF所成的角为45o，求D E与平 面 PQGH 所成角的正弦值 本小题主要考查空间中的线面关系，面面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与逻辑思维能力。
12、满分 12 分 解法一：（）证明：在正方体中，ADAD，ADAB，又由已知可得 PFAD，PHAD，PQAB，所以PHPF，PHPQ，所以PH 平面PQEF 所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直 4 分（）证明：由（）知 22PFAPPHPA，又截面 PQEF和截面 PQGH 都是矩形，且 PQ=1，所以截面 PQEFA B C D E F P Q H A B C D G A B C D E F P Q H A B C D G N M 上使现将沿折成直二角角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示解法一在答图中因故又因从而在第图中因是直二面角故底面从而而故为异面直线与的公垂线下求之长在
13、答图中由又已知从而得因故在第图中过作交的延长二同解法一如答图由知以点为坐标原点的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系则过作交的延长线于连接设从而得又由即由有联立解得即得因为故又因所以为所求的二面角的平面角因有所以因此所求二面角的大小为福建卷本小题满在点使得它到平面的距离为若存在求出的值若不存在请说明理由本小题主要考查直线与平面的位置关系异面直线所成角点到平面的距离等基本知识考查空间想象能力逻思维能力和运算能力满分分解法一证明在中为中点所以又侧面底和截面 PQGH 面积之和是(22)2APPAPQ，是定值 8 分（III）解：连结 BC 交 EQ于点 M 因为PHAD，PQAB，所以平面ABC D
14、和平面 PQGH互相平行，因此D E与平面 PQGH所成角与D E与平面ABC D所成角相等 与（）同理可证 EQ 平面 PQGH，可知 EM 平面ABC D，因此 EM与D E的比值就是所求的正弦值 设AD交 PF于点 N，连结 EN，由1FDb 知 222(1)2(1)22D EbNDb，因为AD平面 PQEF，又已知D E与平面 PQEF成45o角，所以2D END，即2222(1)(1)222bb，解得12b，可知 E为 BC中点 所以 EM=24，又23(1)22D Eb，故D E与平面 PQCH 所成角的正弦值为26EMD E 12 分 解法二：以 D为原点，射线 DA，DC，DD
15、 分别为 x，y，z 轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系 Dxyz 由已知得1DFb，故(1 0 0)A，(1 01)A，(0 0 0)D，(0 01)D，(1 0)Pb，(11)Qb，(110)Eb，(10 0)Fb，(11)G b，(01)H b，（）证明：在所建立的坐标系中，可得(0 10)(0)PQPFbbuuu ruuu r，(101)PHbbuuur，(101)(101)ADADuuuu ruuuu r，因为00AD PQAD PFuuuu r uuu ruuuu r uuu rgg，所以ADuuuu r是平面 PQEF的法向量 A B C D E F P Q H A B C D
16、y x z G 上使现将沿折成直二角角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示解法一在答图中因故又因从而在第图中因是直二面角故底面从而而故为异面直线与的公垂线下求之长在答图中由又已知从而得因故在第图中过作交的延长二同解法一如答图由知以点为坐标原点的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系则过作交的延长线于连接设从而得又由即由有联立解得即得因为故又因所以为所求的二面角的平面角因有所以因此所求二面角的大小为福建卷本小题满在点使得它到平面的距离为若存在求出的值若不存在请说明理由本小题主要考查直线与平面的位置关系异面直线所成角点到平面的距离等基本知识考查空间想象能力逻思维能力和运算能力满分分解法一证明
17、在中为中点所以又侧面底因为00AD PQAD PHuuuu r uuu ruuuu r uuurgg，所以ADuuuu r是平面 PQGH 的法向量 因为0AD AD uuuu r uuuu rg，所以ADADuuuu ruuuu r，所以平面 PQEF和平面 PQGH 互相垂直 4 分（）证明：因为(010)EF uuu r，所以EFPQ EFPQuuuu ruuuu ruuu ruuu r，又PFPQuuu ruuu r，所以 PQEF为矩形，同理 PQGH 为矩形 在所建立的坐标系中可求得2(1)PHbuuuu r，2PFbuuuu r，所以2PHPFuuuu ruuuu r，又1PQ
18、uuuu r，所以截面 PQEF和截面 PQGH 面积之和为2，是定值 8 分（）解：由已知得D Euuuu r与ADuuuu r成45o角，又(111)(101)D EbAD uuuu ruuuu r，可得 22222(1)2D E ADbD E ADbuuuu r uuuu rguuuuu ruuuuu r，即221(1)2bb，解得12b 所以1112D Euuuu r，又(101)AD uuuu r，所以D E与平面 PQGH 所成角的正弦值为 1122|cos|3622D E AD uuuu r uuuu r，12 分 上使现将沿折成直二角角求异面直线与的距离二面角的大小用反三角函数表示解法一在答图中因故又因从而在第图中因是直二面角故底面从而而故为异面直线与的公垂线下求之长在答图中由又已知从而得因故在第图中过作交的延长二同解法一如答图由知以点为坐标原点的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系则过作交的延长线于连接设从而得又由即由有联立解得即得因为故又因所以为所求的二面角的平面角因有所以因此所求二面角的大小为福建卷本小题满在点使得它到平面的距离为若存在求出的值若不存在请说明理由本小题主要考查直线与平面的位置关系异面直线所成角点到平面的距离等基本知识考查空间想象能力逻思维能力和运算能力满分分解法一证明在中为中点所以又侧面底