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1、20XX 年高考数学最后压轴大题系列-函数与导数 1.已知函数|1yx，222yxxt，11()2tyxx(0)x 的最小值恰好是方程320 xaxbxc 的三个根，其中01t （1）求证：223ab；（2）设1(,)x M，2(,)xN是函数32()f xxaxbxc的两个极值点 若122|3xx，求函数()f x的解析式.解：（1）三个函数的最小值依次为1，1t，1 t，2 分 由(1)0f，得1cab 3232()(1)f xxaxbxcxaxbxab 2(1)(1)(1)xxaxab ，故方程2(1)(1)0 xaxab 的两根是1 t，1t 故11(1)tta ，111ttab 5
2、分 22(11)(1)tta，即222(1)(1)aba 223ab 7 分（2）依题意12,x x是方程2()320fxxaxb 的根，故有1223axx，123bx x，且2(2)120ab，得3b 由22121212232 3|()433abbxxxxx x10 分 2 33b 23；得，2b，2237ab 由（1）知11(1)0tta ，故1a ，7a，(1)73cab 32()7273f xxxx14 分 2.设函数),10(3231)(223Rbabxaaxxxf.（）求函数 f（x）的单调区间和极值；（）若对任意的,2,1aax不等式|f（x）|a 恒成立，求 a 的取值范围.解
3、：（）2234)(aaxxxf（1 分）令,0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a）令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（，a）和（3a，+）（4 分）当 x=a 时，)(xf极小值=;433ba 当 x=3a 时，)(xf极小值=b.（6 分）（）由|)(xf|a，得ax2+4ax3a2a.（7 分）0a2a.2,134)(22aaaaxxxf在上是减函数.（9 分）.44)2()(.12)1()(minmaxaafxfaafxf 于是，对任意 2,1aax，不等式恒成立，等价于.154.12,44aaaaa解得 又,10a.154a（12 分）3.已知函数3()2f xxax与
4、2()g xbxcx的图象都过点 P(2，0)，且在点 P 处有公共切线(1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程；(2)设()()ln(1)8mg xF xxx，其中0m，求 F(x)的单调区间 解：(1)3()2f xxax过点(2,0),Pa=-83()28f xxx,2 分 若求函数的解析式解三个函数的最小值依次为分由得故方程的两根是故分即分依题意是方程的根故有且得由分得由知故分设函数求函数的单调区间和极值若对任意的不等式恒成立求的取值范围解分令得的单调递增区间为令得的单调数与的图象都过点且在点处有公共切线求和的表达式及在点处的公切线方程设其中求的单调区间解过点分
5、切线的斜率分的图像过点解得分分切线方程为即分分当时时分又当当时的单调减区间是的单调增区间是分即时的单调递增区间得由得由得分即在上单调递增在上单调递减时取得极大值分的定义域为由在定义域内单调递减知在内恒成立分令则由得当时为增函数当时为减函数分当时取最大值故只需恒成立又当时只有一点使得不影响其单调性分已知函数求在上2()68fxxx 切线的斜率(2)16kf 3 分 2()g xbxcx的图像过点(2,0),P4b+2c=0,()2,(2)(2)416g xbxc fgbc,解得：b=8,c=-164 分 2()816g xxx5 分 切线方程为16y（x-2）即 16x-y-32=0 6 分(2
6、)()(2)ln(1)(1)F xm xxx 11()(1)11mxmF xmxxx 8 分 当 m0 时，1(1)()1m xmF xx m1 当1(1,1)xm时()0F x 当1(1,)xm 时()0F x F(x)的单调减区间是1(1,)m F(x)的单调增区间是(1，11m)11 分 即 m1 时，f(x)=-3x2+x+10，则-3 x20+x0+10=002xy，即(-3x20+x0+10)x0=-x30+21x20+10(x0-1)+c-2，得-2 x30+21x20+12=c(*)构造函数 g(x)=-2x3+21x2+12，g(x)=-6x2+x=-6(x-121)2+24
7、1，(x1)g(x)1 时单调递减，因此 g(x)g(1)=221，c221，此时方程(*)有唯一解 当 x1 时，f(x)=-3x2+x-10，则-3 x20+x0-10=002xy，即(-3x20+x0+10)x0=-x30+21x20+10(x0-1)+c-2，得-2 x30+21x20+12=c(*)构造函数 h(x)=-2x3+21x2-8，h(x)=-6x2+x=-6(x-121)2+241,(x1)若 x0，则 h(x)0，此时 h(x)单调递减 若 x(61，1)，则 h(x)0，此时 h(x)单调递减 经计算 h(0)=-8，h(1)=-219，h(61)=-8+216172
8、72161 当 x-219 若求函数的解析式解三个函数的最小值依次为分由得故方程的两根是故分即分依题意是方程的根故有且得由分得由知故分设函数求函数的单调区间和极值若对任意的不等式恒成立求的取值范围解分令得的单调递增区间为令得的单调数与的图象都过点且在点处有公共切线求和的表达式及在点处的公切线方程设其中求的单调区间解过点分切线的斜率分的图像过点解得分分切线方程为即分分当时时分又当当时的单调减区间是的单调增区间是分即时的单调递增区间得由得由得分即在上单调递增在上单调递减时取得极大值分的定义域为由在定义域内单调递减知在内恒成立分令则由得当时为增函数当时为减函数分当时取最大值故只需恒成立又当时只有一点
9、使得不影响其单调性分已知函数求在上若 c(-219,-8)，方程(*)有一解；若 c=-8，方程(*)有两解；若 c(-8，2161727)，方程(*)有三解；若 c=-2161727，方程(*)有两解；若 c(-2161727,+)，方程(*)有一解；c-219,方程(*)至少有一解；7.设函数)1ln(2)1()(2xxxf （I）若存在 1,00 x使不等式0)(0 mxf能成立，求实数 m 的最小值；（II）关于x的方程 2,0)(2在axxxf上恰有两个相实根，求实数 a 的取值范围.解：（I）依题意得mxfmin)(为增函数故时当的定义域为得令)(,0)(1,0,1|)(0,20)
10、(,12)1(2)(xfxfxxxxfyxxfxxxf 1,1,1)(min的最小值为即mmxf6 分 （II）依题意得，2,0)1ln(2)1(在axx上恰有两个相异实根，令11)()1ln(2)1()(xxxgxxxg得 ,0)(,11,0)(,1xgxxgx时当时当 故)(xg在0，1上是减函数，在 2,1(上是增函数，)2()1(),2()0(gaggg 9ln,4(ln,3ln232ln2232eeaa即12 分 8设21,xx是函数)0(23)(223axaxbxaxf的两个极值点，且2|21 xx （）求 a 的取值范围；若求函数的解析式解三个函数的最小值依次为分由得故方程的两根
11、是故分即分依题意是方程的根故有且得由分得由知故分设函数求函数的单调区间和极值若对任意的不等式恒成立求的取值范围解分令得的单调递增区间为令得的单调数与的图象都过点且在点处有公共切线求和的表达式及在点处的公切线方程设其中求的单调区间解过点分切线的斜率分的图像过点解得分分切线方程为即分分当时时分又当当时的单调减区间是的单调增区间是分即时的单调递增区间得由得由得分即在上单调递增在上单调递减时取得极大值分的定义域为由在定义域内单调递减知在内恒成立分令则由得当时为增函数当时为减函数分当时取最大值故只需恒成立又当时只有一点使得不影响其单调性分已知函数求在上 （）求证：934|b.解证：（I）易得22)(ab
12、xaxxf1 分)(,21xfxx是的两个极值点 0)(,21xfxx是的两个实根，又 a0 abxxaxx2121,03 分 aabxxxx4|222121 2|21 xx)1(44444232222aaaabaab，即 1002ab7 分（）设,44)(322aaagb则)32(4128)(2aaaaag 由1320)(,320,0)(aagaag得由得)132()320()(，在单调递增，在，在ag上单调递增10 分 2716)32()(maxgag 934b12 分 9已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，向量OA，OB，OC满足：OAy2f/(1)OBln(x1)OC0.（1）求函
13、数 yf(x)的表达式；若求函数的解析式解三个函数的最小值依次为分由得故方程的两根是故分即分依题意是方程的根故有且得由分得由知故分设函数求函数的单调区间和极值若对任意的不等式恒成立求的取值范围解分令得的单调递增区间为令得的单调数与的图象都过点且在点处有公共切线求和的表达式及在点处的公切线方程设其中求的单调区间解过点分切线的斜率分的图像过点解得分分切线方程为即分分当时时分又当当时的单调减区间是的单调增区间是分即时的单调递增区间得由得由得分即在上单调递增在上单调递减时取得极大值分的定义域为由在定义域内单调递减知在内恒成立分令则由得当时为增函数当时为减函数分当时取最大值故只需恒成立又当时只有一点使得
14、不影响其单调性分已知函数求在上（2）若 x0，证明：f(x)2xx2；（3）若不等式12x2f(x2)m22bm3 时，x1，1及 b1，1都恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)OAy2f/(1)OBln(x1)OC0，OAy2f/(1)OBln(x1)OC 由于 A、B、C 三点共线 即y2f/(1)ln(x1)12 分 yf(x)ln(x1)12f/(1)f/(x)1x1，得 f/(1)12，故 f(x)ln(x1)4 分（2）令 g(x)f(x)2xx2，由 g/(x)1x12(x2)2x(x2)2x2(x1)(x2)2 x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函数6 分 故
15、g(x)g(0)0 即 f(x)2xx28 分 （3）原不等式等价于12x2f(x2)m22bm3 令 h(x)12x2f(x2)12x2ln(1x2)，由 h/(x)x2x1x2x3x1x210 分 当 x1，1时，h(x)max0，m22bm30 令 Q(b)m22bm3，则Q(1)m22m30Q(1)m22m30 得 m3 或 m312 分 .10已知函数xxxf)1ln()(1)求函数)(xf的单调递减区间；(2)若1x，求证：111x)1ln(xx(1)解：函数 f(x)的定义域为(1，+)1111)(xxxxf 2 分 由0)(xf 得：101xxx，x0 f(x)的单调递减区间为
16、(0，+)4 分(2)证明：由(1)得 x(1，0)时，0)(xf，当 x(0，+)时，0)(xf，且(0)0f x1 时，f(x)f(0)，xx)1ln(0，)1ln(xx 8 分 若求函数的解析式解三个函数的最小值依次为分由得故方程的两根是故分即分依题意是方程的根故有且得由分得由知故分设函数求函数的单调区间和极值若对任意的不等式恒成立求的取值范围解分令得的单调递增区间为令得的单调数与的图象都过点且在点处有公共切线求和的表达式及在点处的公切线方程设其中求的单调区间解过点分切线的斜率分的图像过点解得分分切线方程为即分分当时时分又当当时的单调减区间是的单调增区间是分即时的单调递增区间得由得由得分
17、即在上单调递增在上单调递减时取得极大值分的定义域为由在定义域内单调递减知在内恒成立分令则由得当时为增函数当时为减函数分当时取最大值故只需恒成立又当时只有一点使得不影响其单调性分已知函数求在上 令111)1ln()(xxxg，则22)1()1(111)(xxxxxg 10 分 1x0 时，0)(xg，x0 时，0)(xg，且0)0(g x1 时，g(x)g(0)，即111)1ln(xx0 12 分 )1ln(x111x，x1 时，111x)1ln(xx 13 分 11已知ln()()ln(),0),(),xf xaxx xeg xx 其中e是自然常数，.aR（1）讨论1a 时,()f x的单调性
18、、极值;（2）求证：在（1）的条件下，1|()|().2f xg x（3）是否存在实数a，使()f x的最小值是 3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。解（1）xxxfln xxxxf111 当1xe时，0 xf，此时 xf为单调递减 当01x时，0 xf，此时 xf为单调递增 xf的极小值为11 f （4 分）（2）xf的极小值，即 xf在0,e的最小值为 1 1minxf 令 21ln21xxxgxh 又 21lnxxxh 当0 xe时 0 xh xh在0,e上单调递减 minmax12121211xfeehxh （8 分）当0,ex时，21xgxf（3）假设存在实数a，使 xa
19、xxfln有最小值 3，0,ex xaxf1 当ea1时，由于0,ex，则 01xaxf 函数 xaxxfln是0,e上的增函数 31minaeefxf 解得eea14（舍去）（10 分）当ea1时，则当axe1时，01xaxf 此时 xaxxfln是减函数 若求函数的解析式解三个函数的最小值依次为分由得故方程的两根是故分即分依题意是方程的根故有且得由分得由知故分设函数求函数的单调区间和极值若对任意的不等式恒成立求的取值范围解分令得的单调递增区间为令得的单调数与的图象都过点且在点处有公共切线求和的表达式及在点处的公切线方程设其中求的单调区间解过点分切线的斜率分的图像过点解得分分切线方程为即分分
20、当时时分又当当时的单调减区间是的单调增区间是分即时的单调递增区间得由得由得分即在上单调递增在上单调递减时取得极大值分的定义域为由在定义域内单调递减知在内恒成立分令则由得当时为增函数当时为减函数分当时取最大值故只需恒成立又当时只有一点使得不影响其单调性分已知函数求在上当01xa时，01xaxf，此时 xaxxfln是增函数 31ln11minaafxf 解得2ea （13 分）由、知，存在实数2ea，使得当0,ex时 xf有最小值3（14 分）12设 f(x)=pxqx 2 ln x，且 f(e)=qepe 2（e 为自然对数的底数）(I)求 p 与 q 的关系；(II)若 f(x)在其定义域内
21、为单调函数，求 p 的取值范围；(III)设 g(x)=2ex，若在 1,e 上至少存在一点 x0，使得 f(x0)g(x0)成立,求实数 p 的取值范围.解：(I)由题意得 f(e)=peqe 2ln e=qepe 2 1 分 (pq)(e+1e)=0 2 分 而 e+1e 0 p=q 3 分(II)由(I)知 f(x)=pxpx 2ln x f(x)=p+px 2 2x=px 22x+px 2 4 分 令 h(x)=px 22x+p，要使 f(x)在其定义域(0,+)内为单调函数，只需 h(x)在(0,+)内满足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立.5 分 当 p=0 时，h(x)=2x，
22、x 0，h(x)0，f(x)=2xx 2 0 时，h(x)=px 22x+p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x=1p(0,+)，h(x)min=p1p 只需 p1p 1，即 p1 时 h(x)0，f(x)0 f(x)在(0,+)内为单调递增，故 p1 适合题意.7 分 当 p 0 时，h(x)=px 22x+p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x=1p (0,+)只需 h(0)0，即 p0 时 h(x)0 在(0,+)恒成立.故 p 0 2x+1x 22x 1x=1，且 x=1 时等号成立，故(2x+1x)max=1 p1 7 分 由 f(x)0 p(1+1x 2)2x 0 p 2x
23、x 2+1 p(2xx 2+1)min，x 0 而 2xx 2+1 0 且 x 0 时，2xx 2+1 0，故 p0 8 分 综上可得，p1 或 p0 9 分(III)g(x)=2ex 在 1,e 上是减函数 x=e 时，g(x)min=2，x=1 时，g(x)max=2e 即 g(x)2,2e 10 分 p0 时，由(II)知 f(x)在 1,e 递减 f(x)max=f(1)=0 2，不合题意。11分 0 p 1 时，由 x 1,e x1x 0 f(x)=p(x1x)2ln xx1x 2ln x 右边为 f(x)当 p=1 时的表达式，故在 1,e 递增 f(x)x1x 2ln xe1e
24、2ln e=e1e 2 2，不合题意。12 分 p1 时，由(II)知 f(x)在 1,e 连续递增，f(1)=0 g(x)min=2，x 1,e f(x)max=f(e)=p(e1e)2ln e 2 p 4ee 21 13 分 综上，p 的取值范围是(4ee 21,+)14 分 若求函数的解析式解三个函数的最小值依次为分由得故方程的两根是故分即分依题意是方程的根故有且得由分得由知故分设函数求函数的单调区间和极值若对任意的不等式恒成立求的取值范围解分令得的单调递增区间为令得的单调数与的图象都过点且在点处有公共切线求和的表达式及在点处的公切线方程设其中求的单调区间解过点分切线的斜率分的图像过点解得分分切线方程为即分分当时时分又当当时的单调减区间是的单调增区间是分即时的单调递增区间得由得由得分即在上单调递增在上单调递减时取得极大值分的定义域为由在定义域内单调递减知在内恒成立分令则由得当时为增函数当时为减函数分当时取最大值故只需恒成立又当时只有一点使得不影响其单调性分已知函数求在上