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1、复变函数考试题型与基本要求 考试题型：一、单选题（每题 3 分，共 15 分）二、填空题（每题 3 分，共 15 分）三、计算题（每题 7 分，共 42 分）四、解答题（每题 7 分，共 28 分）第一章、复数与复变函数（作为基础内容后面应用）1、熟练掌握复数的定义及三种表示法；2、熟练掌握复数的一些相关概念及性质（例如模、辐角与主辐角，复数的共轭等）；3、熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘幂和方根）；4、熟悉复平面上几种曲线的表示法：（1）圆周方程RazC|:（2）圆的方程RazK|:（3）曲线的参数方程：itytxtzz)()()(，t 实分析中参数方程)()(tyytxx，t（4）复平
2、面上连接点1z和2z的直线段方程为tzzzz121，10 t 5、了解复变函数的极限定义与计算方法（对于解析函数可用洛比达法则）第二章、解析函数（约 33 分）1、深刻理解函数可微与解析的定义和关系 2、熟练掌握复变函数的导数计算公式 3、熟悉柯西黎曼方程形式 4、熟练掌握复变函数可微与解析的判别条件（主要是充分条件）5、熟悉初等解析函数ze，zsin，zcos的定义形式及性质（尤其要注意和实分析的区别）6、熟练掌握多值函数Lnz，nz的定义及计算（注意辐角）7、掌握函数nzP)(分支点的判断方法 第三章、复变函数的积分（约 24 分）1、深刻理解复积分的定义 2、熟练掌握复积分的计算方法（1
3、）参数方程法（2）化为实分析中第二型曲线积分（3）利用柯西积分公式（4）利用无穷可微性定理（5）利用复合闭路原理（6）利用柯西留数定理（较方便）3、熟练掌握判断二元实函数为调和函数的方法，并能由),(yxu求),(yxv，使iyxvyxuzf),(),()(解析（1）利用偏微分方程的方法（较简单，分两次求不定积分）（2）利用线分析取折线的方法（类似于数分中路径无关性时原函数的求法）第四章、解析函数的幂级数表示法（作为基础内容后面应用）1、熟练掌握幂级数中收敛半径和收敛圆的求法（注意圆心不在原点时的情形怎么处理）2、熟记几类初等函数的展开式及收敛范围（间接展开时经常用到，同时能掌握由定理 4.1
4、6 求收敛半径的方法）3、掌握解析函数零点定义及判断方法：（1）定义法 （2）定理 4.17 第五章、解析函数的洛朗展式与孤立奇点（约17 分）1、熟练掌握解析函数在圆环域及孤立奇点去心邻域内的洛朗展式（考题中会给出具体的范围）（尽量不用级数乘积或和的表达式，需要写出具体式子）2、熟练掌握奇点类型的判断，包括无穷远点，极点写出其阶数（需要写出过程）题分共分第一章复数与复变函数作为基础内容后面应用熟练掌握复数的定义及三种表示法熟练掌握复数的一些相关概念及性质例如模辐角与主辐角复数的共轭等熟练掌握复数的基本运算四则运算乘幂和方根熟悉复平面上几种曲线的限定义与计算方法对于解析函数可用洛比达法则第二章
5、解析函数约分深刻理解函数可微与解析的定义和关系熟练掌握复变函数的导数计算公式熟悉柯西黎曼方程形式熟练掌握复变函数可微与解析的判别条件主要是充分条件熟悉初等的判断方法第三章复变函数的积分约分深刻理解复积分的定义熟练掌握复积分的计算方法参数方程法化为实分析中第二型曲线积分利用柯西积分公式利用无穷可微性定理利用复合闭路原理利用柯西留数定理较方便熟练掌握判断二元奇点 孤立奇点 非孤立奇点 有限奇点az 在奇点处的函数极限为 在奇点处的 洛朗展式中 函数若干个奇点的聚点（在非孤立奇点的去心邻域内没有洛朗展式）可去 奇点 有限值 无负幂项 极点 无穷 m项负幂项 本质 奇点 不存在 无穷项负幂项 无穷远点
6、z 同上 同上 改为正幂项 第六章、留数理论及其应用（约20 分）1、理解留数的定义及留数定理 2、熟练掌握有限奇点处留数的计算（重点是极点）（1）az 为函数)(zf的一阶极点时)(limRezfazsazaz，具体有 azzzf)()(，)(Reasaz；)()()(zhzgzf，)()(Reahagsaz （2）az 为函数)(zf的可去奇点时0Re azs（3）az 为函数)(zf的本质奇点时1Re Csaz 3、利用留数计算第三类积分，即dxexQxPIimx)()(（注 意 此 积 分 包 含 两 个 实 积 分，21III，mxdxxQxPIcos)()(1，题分共分第一章复数与
7、复变函数作为基础内容后面应用熟练掌握复数的定义及三种表示法熟练掌握复数的一些相关概念及性质例如模辐角与主辐角复数的共轭等熟练掌握复数的基本运算四则运算乘幂和方根熟悉复平面上几种曲线的限定义与计算方法对于解析函数可用洛比达法则第二章解析函数约分深刻理解函数可微与解析的定义和关系熟练掌握复变函数的导数计算公式熟悉柯西黎曼方程形式熟练掌握复变函数可微与解析的判别条件主要是充分条件熟悉初等的判断方法第三章复变函数的积分约分深刻理解复积分的定义熟练掌握复积分的计算方法参数方程法化为实分析中第二型曲线积分利用柯西积分公式利用无穷可微性定理利用复合闭路原理利用柯西留数定理较方便熟练掌握判断二元mxdxxQx
8、PIsin)()(2，考试中一般只要求计算对应的实部或虚部）4、了解辐角原理的内容及应用（借助零点和极点个数求函数沿周线的辐角变化）5、理解并能熟练运用鲁歇定理判断方程根的个数及范围 6、了解对数留数定义及引理 6.4 内容。题分共分第一章复数与复变函数作为基础内容后面应用熟练掌握复数的定义及三种表示法熟练掌握复数的一些相关概念及性质例如模辐角与主辐角复数的共轭等熟练掌握复数的基本运算四则运算乘幂和方根熟悉复平面上几种曲线的限定义与计算方法对于解析函数可用洛比达法则第二章解析函数约分深刻理解函数可微与解析的定义和关系熟练掌握复变函数的导数计算公式熟悉柯西黎曼方程形式熟练掌握复变函数可微与解析的判别条件主要是充分条件熟悉初等的判断方法第三章复变函数的积分约分深刻理解复积分的定义熟练掌握复积分的计算方法参数方程法化为实分析中第二型曲线积分利用柯西积分公式利用无穷可微性定理利用复合闭路原理利用柯西留数定理较方便熟练掌握判断二元