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1、学习必备 欢迎下载 课 题 第二章 矩阵及其运算 2.1 矩阵 2.2 矩阵的运算 教学内容 矩阵的概念；矩阵的运算；教学目标 明确矩阵概念的形成；掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法；会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；教学重点 掌握矩阵定义及运算法则 教学难点 矩阵乘法 双语教学内容、安排 矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix 教 学 手段、措施 讲授课（结合多媒体教学）2.1 矩阵 矩阵是线性代数的主
2、要内容之一，是处理许多实际问题的重要数学工具。也是现代科技及经济理论中不可缺少的重要工具。一 授课内容：矩阵的概念（给出矩阵、行矩阵、列矩阵、行向量、列向量、方阵、三角阵、对角阵、单位阵的概念）矩阵运算（相等、加法、数乘、乘法、转置）及运算法则。二 授课过程与说明 1矩阵的概念 引入：某工厂要购进 4 种原料 F1,F2,F3,F4 若知道A1,A2,A3 生产这 4 种原料，到哪买这 4 种原料呢，对价格进行比较 F1 F2 F3 F4 A1 4 5 3 6 A2 5 6 4 5 3 行 4 列表 A3 4 7 5 4 在实际问题中经常遇到由mn个元素构成的数表 定义 1：mn个元素(1,2
3、,;1,2,)ijaim jn排成 m 行 n列矩形数表（对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）组织教学 矩阵与行列式的区学习必备 欢迎下载 =111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 称为一个mn矩阵。一般用大写黑体字母表示：记为 A、B、C。为了表示行和列，也可简记为nmA或ijm na矩阵中数(1,2,;1,2,)ijaij称为矩阵的第i行第j列元素。注意：m=n 时是方阵，此时矩阵称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。n=1 称为列矩阵或列向量 12nbbBb 。m=1 称为行矩阵或行向量 12,nAa aa。定义 2 ：如果两个矩阵有相同的行数，相同的列数，并且对应位置上的
4、元素均相等。则称两个矩阵相等。记为 A=B。把有相同行数，相同列数的两个矩阵称为同型矩阵。例1 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa 其中ija为工厂向第i店发送第j种产品的数量。这四种产品的单价及单价重量也可列成矩阵 1112212231324142b bb bBb bb b 其中1 ib为第i中产品的单价，2ib为第j种产品单价重量。例2 四个航线中的单向航线 别？矩阵是数表，行列式 是 数 值 或 代 数和；矩阵的行与列不等，但行列式的行与列相等。念的形成掌握矩阵的加法数与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法会求矩阵
5、的转置方阵的行列式共轭矩阵教学重点掌握矩阵定义及运算法则教学难点矩阵乘法双语教学内容安排矩阵矩阵运算矩阵的加法数与矩阵相乘转置矩阵教学手段措施经济理论中不可缺少的重要工具一授课内容矩阵的概念给出矩阵行矩阵列矩阵行向量列向量方阵三角阵对角阵单位阵的概念矩阵运算相等加法数乘乘法转置及运算法则二授课过程与说明矩阵的概念引入某工厂要购进种原料若知生产目的讲授方法加以说明组织教学定义个元素排成行列矩形数表矩阵与行列式的区学习必备欢迎下载别称为一个矩阵一般用大写黑体字母表示记为为了表示行和列或矩阵是数表行列式是数值或代数和矩阵的行与列不等但行列式的行与学习必备 欢迎下载 1,0ijijai从 市到 市有一
6、条单向航线，从 市到j 市没有单向航线 则图可用矩阵表示为 01111000()01001010ijAa 2.2 矩阵的运算 矩阵的运算 一、矩阵的加法：定义 1：A+B=（ija）nm+（ijb）nm=（ija+ijb）nm =111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab 两个同行（m 行）、同列（n 列）的矩阵相加等于对应位置上的元素相加（行与列不变）由于矩阵加法归结为对应位置元素相加，故矩阵加法满足如下运算律 1、交换律 A+B=B+A 2、结合律（A+B）+C=A+(B+C)3、有零元 A+0=A 4、有负元 A+(-A)
7、=0 ()ABAB 二、数与矩阵的乘法 定义 2、给定矩阵 A=（ija）nm及数 k,则称（kija）nm为数k 与矩阵 A 的乘积。即 kA=kija=111212122212nnmmmnkakakakakakakakaka 由定义可知 A=(-1)A A B=A+(-B)数乘矩阵满足以下的运算律 可行的条件：是同型矩阵，方法是对应位置上的元素相加。其和与原矩阵同型 用数乘以 矩阵中的每一个元素 念的形成掌握矩阵的加法数与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法会求矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵教学重点掌握矩阵定义及运算法则教学难点矩阵乘法双语教学内容安排矩阵矩阵运算矩阵的加法数与矩阵相乘转置矩阵教学手
8、段措施经济理论中不可缺少的重要工具一授课内容矩阵的概念给出矩阵行矩阵列矩阵行向量列向量方阵三角阵对角阵单位阵的概念矩阵运算相等加法数乘乘法转置及运算法则二授课过程与说明矩阵的概念引入某工厂要购进种原料若知生产目的讲授方法加以说明组织教学定义个元素排成行列矩形数表矩阵与行列式的区学习必备欢迎下载别称为一个矩阵一般用大写黑体字母表示记为为了表示行和列或矩阵是数表行列式是数值或代数和矩阵的行与列不等但行列式的行与学习必备 欢迎下载 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA)2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+B）=kA+kB 例1、设 A=864297510213 B=612379154
9、257 求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A2B）三、矩阵的乘法 定义 3：设 A=（ija）sm B=（ijb）ns则乘积 AB=C=(ijc)nm ijc=sjisjijibababa2211=skkjikba1(i=1,2m;j=1,2n)一般称 AB 为 A 左乘 B 矩阵乘法可行的条件是 A 的列数与矩阵 B 的行数相同。方法：A 中的第行与 B 中的第列对应元素乘积之和 例 2 设 A=（ija）s3，B=（ijb）l4，(ijc)6m且 AB=C，确定 s,m,l 的值 例 3，设 A=422211 B=111011231求 AB 是否可以求 BA 例 4设 A=754
10、3 B=3542求 AB ，BA A=1111 B=2222求 AB 通过以上例题得出以下结论（这是与通常意义下的乘法所不同的）1，AB=0 A,B 不一定为 0 2，AB 不等于 BA 即矩阵乘法不满足交换律（若成立则说可交换 3，AB=AC,B 不等于 C 例如 设 A=3021 B=4001 C=0011 A C=B C 但 数乘矩阵与数乘行列式的区别所在！定义说明，如果矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数，则 A与 B 的乘积 C 中的第 i 行第 j 列的元素，等于矩阵 A 的第i行元素与矩阵B 的第 j 列对应元素乘积的和。并且矩阵 C 的行数等于矩阵 A 的行数，矩阵C 的列数等
11、于矩阵B 的列数 矩阵的乘法总让我们联想是否满足数的乘法的运算律。念的形成掌握矩阵的加法数与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法会求矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵教学重点掌握矩阵定义及运算法则教学难点矩阵乘法双语教学内容安排矩阵矩阵运算矩阵的加法数与矩阵相乘转置矩阵教学手段措施经济理论中不可缺少的重要工具一授课内容矩阵的概念给出矩阵行矩阵列矩阵行向量列向量方阵三角阵对角阵单位阵的概念矩阵运算相等加法数乘乘法转置及运算法则二授课过程与说明矩阵的概念引入某工厂要购进种原料若知生产目的讲授方法加以说明组织教学定义个元素排成行列矩形数表矩阵与行列式的区学习必备欢迎下载别称为一个矩阵一般用大写黑体字母表示记为为了
12、表示行和列或矩阵是数表行列式是数值或代数和矩阵的行与列不等但行列式的行与学习必备 欢迎下载 方阵乘法 矩阵的乘法满足以下运算律 1，结合律：(AB)C=A(BC),(kA)B=k(AB)2，分配律：(A+B)C=AC+BC,A(B+C)=AB+AC 例 5 A=333231232221131211aaaaaaaaa E=100010001 求EA 解EA=A 此时 AE 是否可行？只有当 E 为 3 阶方阵时，只有单位阵可与任何矩阵可交换 矩阵的幂：121111,(),kkklk lklklAA AA AAA AA AAAA 介绍以下特殊阵(共同特点都是方阵)1，对角阵 n 阶方阵 12n 主
13、元之外都是 0 称为对角阵，一般它与任意 n 阶方阵相乘不能交换，但两个对角阵相乘是能交换的，数与对角阵相乘，对角阵相加、乘还是对角阵。再进一步特殊化就是i 2、数量矩阵 对于任意常数，n 阶方阵 =叫数量矩阵。它与任意 n 阶方阵相乘可交换，以数量矩阵乘以一个矩阵 B 相当于数乘以矩阵 B 3,单位阵 当=1 时数量阵就是单位阵，即 怎 样 定 义 矩 阵 的幂？()?kAB 什么时候有：()?kkkABA B 对角阵、数量阵、单位阵的行列式是多少？（上三角阵，下三角阵，自己定念的形成掌握矩阵的加法数与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法会求矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵教学重点掌握矩阵定义及运算法则
14、教学难点矩阵乘法双语教学内容安排矩阵矩阵运算矩阵的加法数与矩阵相乘转置矩阵教学手段措施经济理论中不可缺少的重要工具一授课内容矩阵的概念给出矩阵行矩阵列矩阵行向量列向量方阵三角阵对角阵单位阵的概念矩阵运算相等加法数乘乘法转置及运算法则二授课过程与说明矩阵的概念引入某工厂要购进种原料若知生产目的讲授方法加以说明组织教学定义个元素排成行列矩形数表矩阵与行列式的区学习必备欢迎下载别称为一个矩阵一般用大写黑体字母表示记为为了表示行和列或矩阵是数表行列式是数值或代数和矩阵的行与列不等但行列式的行与学习必备 欢迎下载 111记为 E 显然 E 在矩阵乘法中的作用与数 1 在数的乘法中的是相同的即AE=EA。
15、一般称 n 阶的方阵 E 为单位矩阵。即主元是 1，非主元是零 例 7：利用矩阵乘法，将线性方程组表为矩阵形式。n 个未知量 m 个方程的方程组 系数矩阵、未知量列矩阵、常量列矩阵 n 个未知量 m 个方程的方程组的矩阵形；齐次方程组的矩阵形 AX=B AX=0 方程组可表示为 AX=B.此式为方程组矩阵型。齐次方程组可表为 AX=0 四，转置矩阵 定义 4：将 m n 矩阵 A 的行与列互换所得的 n m 矩阵，称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 AT 转置矩阵有如下性质：1 (AT )T=A 2,(A+B)T=TTBA 3.TTkA)kA(4.TTTAB)AB(五方阵的幂与方阵的行列式 对于幂
16、了解，重点掌握行列式 定义 5：由 n 阶方阵的元素按原相对位置构成的行列式就是detA 或A。定理21设A,B 是同阶方阵则AB=BA此定理可推广到有限 小结：理解矩阵的有关概念，掌握矩阵的乘法及矩阵与行列式的区别。记忆定理 2-1，转置的性质 义）念的形成掌握矩阵的加法数与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法会求矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵教学重点掌握矩阵定义及运算法则教学难点矩阵乘法双语教学内容安排矩阵矩阵运算矩阵的加法数与矩阵相乘转置矩阵教学手段措施经济理论中不可缺少的重要工具一授课内容矩阵的概念给出矩阵行矩阵列矩阵行向量列向量方阵三角阵对角阵单位阵的概念矩阵运算相等加法数乘乘法转置及运算法则二授课过程与说明矩阵的概念引入某工厂要购进种原料若知生产目的讲授方法加以说明组织教学定义个元素排成行列矩形数表矩阵与行列式的区学习必备欢迎下载别称为一个矩阵一般用大写黑体字母表示记为为了表示行和列或矩阵是数表行列式是数值或代数和矩阵的行与列不等但行列式的行与