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1、必修五 第一章 三角函数 一正弦定理：2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）变形：2 sin(sin)22 sin(sin)22 sin(sin)2aaRAARbbRBBRccRCCR 推论：:sin:sin:sina b cABC 二余弦定理：三三角形面积公式：111sinsinsin,222ABCSbcAacBabC 第二章 数列 一等差数列：1.定义：an+1-an=d(常数)2.通项公式：dnaan11或dmnaamn 3.求和公式:dnnnnaaaSnn21211 4.重要性质(1)aaaaqpnmqpnm (2)m,2m,32mmmS SS SS仍成等差数列 二
2、等比数列：1.定义：)0(1qqaann 2.通项公式：qaann11或qaamnmn 3.求和公式:）（1q,1 naSn）（1q11)1(11qqaaqqaSnnn 4.重要性质（1）aaaaqpnmqpnm(2)m,2m,32q1mmmmS SS SS 仍成等比数列或 为奇数 三数列求和方法总结：1.等差等比数列求和可采用求和公式(公式法).2.非等差等比数列可考虑(分组求和法),(错位相减法)等转化为等差或等比数列再求和,若不能转化为等差或等比数列则采用(拆项相消法)求和.注意(1):若数列的通项可分成两项之和（或三项之和）则可用（分组求和法）。(2)若一个等差数列与一个等比数列的对应
3、相乘构成的新数列求和,采用(错位相减法).2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC 222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab 过程:乘公比再两式错位相减(3)若数列的通项可拆成两项之差,通过正负相消后剩有限项再求和的方法为(拆项相消法).常见的拆项公式:111)1(1.1nnnn 四.数列求通项公式方法总结:1.找规律(观察法).2.若为等差等比(公式法)3.已知 Sn,用（Sn 法）即用公式 2111nSSnSannn 4.叠加法 5.叠乘法等 第三章：不等式 一解一元二次不等式三部曲：1.化不等式为标准式 ax2+
4、bx+c0 或 ax2+bx+c0)。22.0axbxc 计算的值，确定方程的根。3.根据图象写出不等式的解集.特别的：若二次项系数 a 为正且有两根时写解集用口决：（不等号）大于 0 取两边，小于 0取中间 二.分式不等式的求解通法：（1）标准化：右边化零，系数化正.（2）转 换：化为一元二次不等式（依据：两数的商与积同号）三.二元一次不等式 Ax+By+C0（A、B 不同时为 0），确定其所表示的平面区域用口诀：同上异下（注意：包含边界直线用实线，否则用虚线）四.线性规划问题求解步骤：画（可行域）移（平行线）求（交点坐标，最优解，最值）答.五.基 本 不 等 式：(0,0)2abab ab
5、（当 且 仅 当 a=b 时，等 号 成 立）（和定积最大）（积定和最小）：变形变形.)2()2(;2)1(2baababba 利用基本不等式求最值应用条件：一正数 二定值 三相等 )11(1)(1.2knnkknn)121121(21)12)(12(1.3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.4nnnnnnn)1(1n1.5nnn()10()()0()()(2)0()()0()0()()()30()()f xf xg xg xf xf xg xg xg xf xf xaag xg x 常用的解分式不等式的同解变形法则为（）且（），再通分数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等
6、差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不等号大于取两边小于取中间二分式不等式的求解通法标准化右边化零系旧知识回顾：120axbxc 求方程的
7、根方法：（1）十字相乘法：左列分解二次项系数 a，右列分解常数项 c，交叉相乘再相加凑成一次项系数 b。21 242bbacxa，（2）求根公式：2.韦达定理：2121212,00),bcxaxbxcxxaa 若x是方程（a的两根，则有xx 3对数类:logaM+logaN=logaMN logaM-logaN=logaNM logaMN=NlogaM（M.0,N0）选修 21 第一章 常用逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果
8、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p，则q”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为
9、“若q，则p”.6、四种命题的真假性：四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 7、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq 当p、q都是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作pq 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p、q两个命题都是假原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真
10、真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假 数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不
11、等号大于取两边小于取中间二分式不等式的求解通法标准化右边化零系命题时，pq是假命题 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p 若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“”表示 含有全称量词的命题称为全称命题 全称命题“对中任意一个x，有 p x成立”，记作“x，p x”短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示 含有存在量词的命题称为特称命题 特称命题“存在中的一个x，使 p x成立”，记作“x，p x”10、全称命题p：x，p x，它的否定p：x，p x全称命题的否定是特称命题
12、第二章 圆锥曲线与方程 11、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹称为椭圆 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距 12、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 222210 xyabab 222210yxabab 范围 axa 且byb bxb 且aya 顶点 1,0a、2,0a 10,b、20,b 10,a、20,a 1,0b、2,0b 轴长 短轴的长2b 长轴的长2a 焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc 焦距 222122F Fc cab 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 离心率 2210
13、1cbeeaa 准线方程 2axc 2ayc 13、设是椭圆上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd 数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标
14、准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不等号大于取两边小于取中间二分式不等式的求解通法标准化右边化零系14、平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F）的点的轨迹称为双曲线这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距 15、双曲线的几何性质：焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 222210,0 xyabab 222210,0yxabab 范围 xa 或xa，yR ya 或ya，xR 顶点 1,0a、2,0a 10,a、20,a 轴长 虚轴的长2b 实轴的长2a 焦点 1,0Fc、2
15、,0Fc 10,Fc、20,Fc 焦距 222122F Fc cab 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 离心率 2211cbeeaa 准线方程 2axc 2ayc 渐近线方程 byxa ayxb 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 17、设是双曲线上任一点，点到1F对应准线的距离为1d，点到2F对应准线的距离为2d，则1212FFedd 18、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即2p 20、焦半径公式：若点00,x
16、y在抛物线220ypx p上，焦点为F，则02pFx；若点00,xy在抛物线220ypx p 上，焦点为F，则02pFx ；若点00,xy在抛物线220 xpy p上，焦点为F，则02pFy；数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不
17、等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不等号大于取两边小于取中间二分式不等式的求解通法标准化右边化零系若点00,xy在抛物线220 xpy p 上，焦点为F，则02pFy 21、抛物线的几何性质：标准方程 22ypx 0p 22ypx 0p 22xpy 0p 22xpy 0p 图形 顶点 0,0 对称轴 x轴 y轴 焦点,02pF,02pF 0,2pF 0,2pF 准线方程 2px 2px 2py 2py 离心率 1e 范围 0 x 0 x 0y 0y 第三章 空间向量与立体几何 22、空间向量的概
18、念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量 2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向 3向量的大小称为向量的模（或长度），记作 4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量 5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作a 6方向相同且模相等的向量称为相等向量 数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个等差数列与一个等比数列
19、的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不等号大于取两边小于取中间二分式不等式的求解通法标准化右边化零系23、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形C，则以起点的对角线C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则 2求两个向量差的运算称为
20、向量的减法，它遵循三角形法则 即：在空间任取一点，作a，b，则ab 24、实数与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a为零向量，记为0a的长度是a的长度的倍 25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律 分配律：abab；结合律：aa 26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线 27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a，0b b，/ab的充要条件是存在实数，使ab 28、平行于同一个平面的向量称为共面向量 29、向量共
21、面定理：空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xy C ；或对空间任一定点，有xy C ；或若四点，C共面，则1xyz C xyz 30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点，作a，b，则称为向量a，b的夹角，记作,a b两个向量夹角的取值范围是：,0,a b 31、对于两个非零向量a和b，若,2a b，则向量a，b互相垂直，记作ab 数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个
22、等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不等号大于取两边小于取中间二分式不等式的求解通法标准化右边化零系32、已知两个非零向量a和b，则cos,a ba b称为a，b的数量积，记作a b即cos,a ba ba b 零向量与任何向量的数量积为0 33、a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos,ba b的乘积 34、若a，b为非零向
23、量，e为单位向量，则有 1cos,e aa eaa e ；20aba b；3a b aba ba b ab与 同向与 反向，2a aa，aa a；4cos,a ba ba b；5a ba b 35、向量数乘积的运算律：1a bb a；2 aba bab ；3 abca cb c 36、若i，j，k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p，存在有序实数组,x y z，使得pxiyjzk，称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的分量 37、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组,x y z，使得pxaybzc 38、若三个向量a，b，c不共面，则所有空间
24、向量组成的集合是,p pxaybzc x y zR这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，,a b c称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底 39、设1e，2e，3e为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e，2e，3e的公共起点为原点，分别以1e，2e，3e的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起 点 与 原 点重 合，得 到 向 量p 存 在 有 序 实 数 组,x y z，使 得123px ey ez e把x，y，z称作向量p在单位正交基底1e，
25、2e，3e下的坐标，记数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不等号大于取两边小于取中间二分式不等
26、式的求解通法标准化右边化零系作,px y z此时，向量p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标,x y z 40、设111,ax y z，222,bxy z，则 1121212,abxxyy zz 2121212,abxxyy zz 3111,axyz 412121 2a bx xy yz z 5若a、b为非零向量，则12121 200aba bx xy yz z 6若0b，则121212/,ababxxyy zz 7222111aa axyz 8121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz 9111,x y z，222,xy z，则 2222
27、12121dxxyyzz 41、在空间中，取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置可以用向量来表示向量称为点的位置向量 42、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个定方向确定点是直线l上一点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点，有ta，这样点和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点 43、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为a，b为平面上任意一点，存在有序实数对,x y，使得xayb，这样点与向量a，b就确定了平面的位置 44、直线l垂直，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面的
28、法向量 45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则/abab abR，0ababa b 46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a，则/aa 0ana n，/aaanan 47、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，b，则/ab ab，0aba b 数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式
29、错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不等号大于取两边小于取中间二分式不等式的求解通法标准化右边化零系48、设异面直线a，b的夹角为，方向向量为a，b，其夹角为，则有 coscosa ba b 49、设直线l的方向向量为l，平面的法向量为n，l与所成的角为，l与n的夹角为，则有sincosl nl n 50、设1n，2n是二面角l的两个面，的法向量，则向量1n，2n的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小若二面
30、角l的平面角为，则1212cosn nn n 51、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算 52、在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为cos,ndnn 53、点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnn 数列定义通项公式常数或求和公式重要性质仍成等差数列二等比数列定义通项公式或求和公式重要性质或为奇数仍成等比数列三数列求和方法总结等差等比数列求和可采用求和公式公式法非等差等比数列可考虑分组求和法错位相减两项之和或三项之和则可用分组求和法若一个等差数列与一个等比数列的对应相乘构成的新数列求和采用错位相减法过程乘公比再两式错位相减若数列的通项可拆成两项之差通过正负相消后剩有限项再求和的方法为拆项相消法常见章不等式一解一元二次不等式三部曲化不等式为标准式或计算的值确定方程的根根据图象写出不等式的解集特别的若二次项系数为正且有两根时写解集用口决不等号大于取两边小于取中间二分式不等式的求解通法标准化右边化零系