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1、名师精编 优秀教案 1.5.1曲边梯形的面积 一、教学目标 1、理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法“分割近似代替求和取极限”；2、经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化 与化归思想；3、通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。二、学情分析 学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生学习过通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积；二是学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过这个结论；三是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。学生在本节课学
2、习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的 曲边梯形上具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使 细分的过程程序化且便于操作和计算。二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积 的精确值。三、本节课的重点是：探究求曲边梯形面积的方法。本节课的难点是：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方 法。四、教学过程 为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教 学过程设计为“问题引入
3、，明确主题；类比探究，形成方法；特例应用，细化操作；一般推广，提炼 本质”四个阶段（一）问题引入，明确主题。这一阶段的教学任务是：1、让学生了解什么样的图形叫做曲边梯形？曲边梯形和直边图形的区别是什么？2.让学生明确本节课的主题和研究方向：如何求曲边梯形的面积？能不能把曲边梯形面积问题转化成 我们熟悉的直边图形面积问题？（二）类比探究，形成方法 这一阶段的主要问题是如何获得解决曲边梯形面积问题的思想以及把思想转化为可操作的方法。为了 使学生不偏离本节课主要任务，这一阶段采取“启发式”的教学方法，分三个步骤进行教学。1、温故知新，铺垫思想 问题 1：我们在以前的学习经历中有没有用直边图形的面积计
4、算曲边图形面 积这样的例子？问题 2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么要逐次 加倍正多边形的边数？【设计意图】：通过问题 1 引导学生回忆割圆术的作法，通过问题 2并结合 计算机模拟割圆术，引导学生思考割圆术中的思想方法“以直代曲”和“无限逼近”2、类比迁移，分组探究 问题 3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边图形的面积问题？进 而尽可能有规律地减小误差，使得直边图形的面积越来越接近曲边梯形的面积？学生活动：学生四人一组分组讨论。【设计意图】：通过问题 3 让学生有的放矢，明确解决问题的方向。通过分组探究发挥学生的主观能 动性。由于在一般的曲边
5、梯形中不能构造出正多边形这么规则的图形，所以不能简单地模仿割圆术的 作法，需要在理解割圆术思想的前提下灵活地迁移和应用。3.汇报比较，形成方法 学生活动：同学代表汇报讨论结果。问题 4：请比较不同方案的区别，哪种方案既实现了“以直代曲”和“逐步逼近”，又更便于实际操 作？【设计意图】：学生通过讨论、汇报等方式认识到各种不同方案在实际操作中的差别，引导学生选择 便于操作的方案，培养学生化繁为简的意识。（三）特例应用，细化操作 这一阶段的主要任务是具体地应用前面讨论和比较得出的解决曲边梯形面积的可行方案，把思想转化 成具体可操作的步骤，在具体操作中体会思想的重要性。首先给出具体问题：如何求由直线，
6、和曲线所围成的曲边梯形的面积。针对这个具体问题，设计了以 下几个问题：问题 1：为了逐步减小误差，需要对曲边 梯形进行分割，具体怎样分割？极限经历求曲边梯形面积的过程体验以直代曲和无限逼近的思想方法感受数学中的转化与化归思想通过曲边梯形的面积这一实例了解定积分的几何背景借助几何直观体会定积分的基本思想二学情分析学生在本节课之前已经具备的认的基本知识学生也在课后思考中见过这个结论三是学生虽然未学习过极限的有知识但通过导数的学习对极限有了初步的认识学生在本节课学习中将会面临两个难点一是如何以直代曲即学生如何将割圆术中以直代曲近似代替的思想灵过程程序化且便于操作和计算二是对极限和无限逼近的理解即理解
7、为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值三本节课的重点是探究求曲边梯形面积的方法本节课的难点是把以直代曲的思想方法转化为具体可操作问题 2：对每个小曲边梯形如何以直代曲？【设计意图】：分割和近似代替的方案在前面一个阶段已经解决，问题 13 主要是引导学生在具体 问题中对方案进行细化操作，初步经历分割、近似代替及求和的过程。问题 4：直边图形的面积和怎样才能越来越接近曲边梯形面积的准确值？能否得到准确值？1.图形方式 用几何画板动态演示矩形不足近似和矩形过剩近似的逼近过程，让学生从图形上直观地感知：当越来 越大，分割越来越细时，两种方案面积的近似值越来越接近准确值。2.数表方式 借
8、助计算机计算两种方案的近似值，观察两个近似值在越来越大时的变化趋势，发现两个近似值都越 来越接近于一个常数。问题 5：从图形直观上和数值的变化趋势上，我们发现：当无限增大时，近似值会无限接近于一个常 数，这个常数就是曲边梯形面积的精确值 那我们能不能直接从近似值的代数表达式中直接得到这一 结论呢？3.取极限的方式 4.学生比较容易接受 的，所以引导学生对两个近似值的代数式进行适当的变形：极限经历求曲边梯形面积的过程体验以直代曲和无限逼近的思想方法感受数学中的转化与化归思想通过曲边梯形的面积这一实例了解定积分的几何背景借助几何直观体会定积分的基本思想二学情分析学生在本节课之前已经具备的认的基本知
9、识学生也在课后思考中见过这个结论三是学生虽然未学习过极限的有知识但通过导数的学习对极限有了初步的认识学生在本节课学习中将会面临两个难点一是如何以直代曲即学生如何将割圆术中以直代曲近似代替的思想灵过程程序化且便于操作和计算二是对极限和无限逼近的理解即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值三本节课的重点是探究求曲边梯形面积的方法本节课的难点是把以直代曲的思想方法转化为具体可操作 进而发现两个近似值会无限接近这个常数。【设计意图】：这是本节课的难点之一，教学中先分别用图形、数表两种方式呈现逐渐细分和无限逼 近的过程，再在此基础上引出取极限的方法，使学生经历从直观到抽象的过程，实现
10、从感性到理性的 过渡。问题 6：我们用每一个小区间的 左、右端点 的函数值和作为近似值计算面积，如果取任意处的函 数值 来计算小曲边梯形面积的近似值，情况又怎样？【设计意图】：借助几何直观，引导学生发现曲边梯形的面积与近似代替在每个小区间上选取的点无 关。问题 7：回顾求曲边梯形面积的整个过程，你能概括出求这个曲边梯形面积的方法吗？【设计意图】：引导学生回顾求曲边梯形面积的过程，并概括求曲边梯形面积的方法、步骤以及其中 蕴含的数学思想，初步形成解决曲边梯形面积问题的一般方法。（四）一般推广，提炼本质 这一阶段的主要任务是让学生将求特殊曲边梯形面积的方法和步骤推广到求一般的曲边梯形面积上，发现这
11、一类问题的共性，所以这一阶段分两个环节进行教学 1.一般推广，强化方法 问题：对于一般的由直线，和曲线所围成的曲边梯形的面积应该如何来求？【设计意图】：引导学生发现一般的曲边梯形和由直线，和曲线所围成的特殊的曲边梯形相比，只是 区间和函数不同，解决问题的方法和步骤是完全相同的 通过由特殊到一般的推广，让学生再一次强 化求曲边梯形面积的方法步骤；通过由具体到抽象的提升，让学生再一次加深对求曲边梯形面积方法 及其中蕴含的思想的理解，进而发现一类问题的共性 2.归纳共性，提炼本质 回顾本节课，我们发现对一般的曲边梯形面积问题都可以应用“以直代曲，无限逼近”的思想，通过“分割近似代替求和取极限”四个步
12、骤来解决 我们还发现，这一类问题最终都归结为 一个特殊结构的和式的极限，即，在数学上我们将其定义为一种新的数学运算定积分极限经历求曲边梯形面积的过程体验以直代曲和无限逼近的思想方法感受数学中的转化与化归思想通过曲边梯形的面积这一实例了解定积分的几何背景借助几何直观体会定积分的基本思想二学情分析学生在本节课之前已经具备的认的基本知识学生也在课后思考中见过这个结论三是学生虽然未学习过极限的有知识但通过导数的学习对极限有了初步的认识学生在本节课学习中将会面临两个难点一是如何以直代曲即学生如何将割圆术中以直代曲近似代替的思想灵过程程序化且便于操作和计算二是对极限和无限逼近的理解即理解为什么将直边图形面
13、积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值三本节课的重点是探究求曲边梯形面积的方法本节课的难点是把以直代曲的思想方法转化为具体可操作名师精编 优秀教案 通过这个环节的教学，让学生体会数学概念的发生和发展过程，同时激起对定积分学习的期待 五、小结。极限经历求曲边梯形面积的过程体验以直代曲和无限逼近的思想方法感受数学中的转化与化归思想通过曲边梯形的面积这一实例了解定积分的几何背景借助几何直观体会定积分的基本思想二学情分析学生在本节课之前已经具备的认的基本知识学生也在课后思考中见过这个结论三是学生虽然未学习过极限的有知识但通过导数的学习对极限有了初步的认识学生在本节课学习中将会面临两个难点一是如何以直代曲即学生如何将割圆术中以直代曲近似代替的思想灵过程程序化且便于操作和计算二是对极限和无限逼近的理解即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值三本节课的重点是探究求曲边梯形面积的方法本节课的难点是把以直代曲的思想方法转化为具体可操作