《空间向量知识点归纳总结1中学教育高考_中学教育-高考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量知识点归纳总结1中学教育高考_中学教育-高考.pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、空间向量与立体几何知识点归纳总结 （4）与a共线的单位向量为 知识要点。1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性 2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）uuin OB uuu uuu r OA AB a 加法交换律：a 运算律：加法结合律：（a b）c 数乘分配律：（a b）v uuu b；b BA uuu OA uuu OB r r uuu a b；OP a(R)(b b c)运算法则：三角形法则、平行四边形法则、3.共线向量
2、。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重平行六面体法则 那么这些向量也叫做共线向量或平行 向量，a 平行于b，记作a/b。（2）共线向量定理：空间任意两个向量（3）三点共线：A、B、C 三点共线AB（b工0），a/b存在实数入，使 a八b。AC OC xOA yOE(其中 y 1)4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同 说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量 a,b不共线,平面的向量叫做共面向量。P与向量a,b共面的条件是存在实数 x,y使 p xa yb。（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面AP xAB yAC OP xOA yOB zOC
3、(其中 x y z 1)C 0 a*的有序实数组x,y,z,使p xa yb zc。rrr r r r 若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设o,代B,C是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 x,y,z，uuu uur uuu umr 使 OP xOA yOB zOC 0 6.空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组(X,y,z),使 上 OA xi yi zk，有序实数组(x,y,z)
4、叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz中的坐标，记作 A(x,y,z)，x叫横坐标，y 叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关 于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设为(0,y,z)rrr(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1,这个基底叫单位正交基底，用 i,j,k 表 aib1 a2b2 a3b3,2/b a1 b!,22 b2,a3 r r b3(R)，1 1 2 b qE 透b a b 0。
5、uum 若 A(x1,y1,z1)，BEyzZ)，则 AB(X2 X1,y2 y1,Z2 z1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若A(xi,yi,zi)，B(x2,y2,Z2)，AP PB，则点P坐标为 X2%y2 i Zi Z2)1 推导：设 P(x,y,z)贝 U 示。空间中任一向量a xi y j zk=(3)空间向量的直角坐标运算律：r r(ai,a2,a3),b(b1,b2,b3)，则 x,y,z 3(ai b2,a3 b3),3 a 2 a (x如y y1,z乙)(x2 X,y2 y,z2 Z),显然，当 P 为 AB
6、 中点时,X1 x2%y2 乙 Z2 2,2 ABC中，A（x,y1,z1）,B（X2,y2Z）,C（X3,3卫），三角形重心 P坐标为 P(X X2 3 X3 出 y2 y3 乙 Z2 Z3、2,2 厶 ABC 的五心:心 p：切圆的圆心，角平分线的交点。外心 p：外接圆的圆心，中垂线的交点 AP P.(AB AC)（单位向量）垂心 P：高的交点：PA PB PA PC PB 重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP PC 1 (AB AC)3（移项，积为0,则垂直）中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若 a 1883）,b（E，b2，d）,则|a|a a a1 2 2 2
7、r rr a2 a3,|b|一b b（5）夹角公式：coSa b a b aE|a|b|a、d2 b22 b32 a?b2 33匕3 2 2 2 2 2 2 2 a2 a3b2 b3 ABC 中AB?AC 0A 为锐角AB?AC 0 A 为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若 A（Xi,yi,zJ,B（X22,Z2）,uuu 则|AB|或 dA,B,(X2 Xi)2(y2 yi)2 亿 乙)2 7.空间向量的数量积（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点 o,r r r 则 AOB叫做向量 a 与b的夹角，记作 a,b；且规定0 r r r r r r r a,b b
8、,a；若 a,b,则称 a 与b互相垂直，记作：a b。2 uuu r uuu r（2）向量的模：设OA a，则有向线段OA的长度叫做向量 a 的长度或模 r r r r r（3）向量的数量积：已知向量 a,b，则|a|b|cos a,b 叫做a,r r uuw r a,OB b,显然有，记作：|a|r r b的数量积，记作a b,r r r r 即a b|a|b|cos a,b(4)空间向量数量积的性质:不满足乘法结合率：（a b）c a（b c）二.空间向量与立体几何 i线线平行 两线的方向向量平行 i-i线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直 1-2 面面平行 两面的法向量平行 2 线线
9、垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直 2-1 线面垂直 线与面的法向量平行 2-2 面面垂直 两面的法向量垂直 3 线线夹角（共面与异面）0,90 两线的方向向量 ni,n2的夹角或夹角的补角，cos cos n1,n2 3-1 线面夹角0,90:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.Sin c0S AP,n I I 3-2 面面夹角（二面角）0,180:若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量 ni,n2的 夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.cos COS n1,n2 uuu 4.点面距离 h:求点 P X0
10、,y。到平面 的距离：在平面 上去一点 Q x,y，得向量PQ.；计算 J u PQ?n 平面 的法向量n;.h _ n 4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离 4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离 2 0。|a|a a（交换律）。ra ra ra,2.ra,2.re ra re ra c（分配律）:ra 二 律 算 ro)卑b 积ra 量(量 ra ra rc ra 5 AP与面的法向量n的夹角，若为【典型例题】1.基本运算与基本知识（）例U.“已知平行六面体 ABCD-A BCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量 uu Uu uuu uuur uuir AB BC；(2
11、)AB AD AA；uuu uuu i uuur 1 uuu iuu uuir AB AD CC；一(AB AD AA)。2 3 0 0 0 0 0 例 3 已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。uuu uuur 求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积 S;r uuu uuur r L r 若向量 a 分别与向量AB,AC垂直，且|a|=.3，求向量 a 的坐标 2 基底法(如何找，转化为基底运算)3坐标法(如何建立空间直角坐标系，找坐标)4 几何法 编号 03 晚自习测试；17,18 题 例 4.如图，在空间四边形 OABC 中，OA 8,AB 6,
12、AC 4,BC 5,OAC 45o,OAB 60o,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值 例 2.对空间任一点 uur uuu uuu OP xOA yOB O 和不共线的三点 uuur zOC(其中x y A,B,C，冋满足向量式：z 1)的四点P,A,B,C是否共面?【模拟试题】1.已知空间四边形 ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标 mui UH un 出化简结果向量：(1)AB BC CD；uuu 1 uur uuu uuir 1 uuu uuur(2)AB-(BD BC)；(3)AG-(AB AC)。2.已知平行四边形 ABCD 从平面 AC
13、 外一点 0 引向量 uui uur uur uuu uur uur uur uur OE kOAOF kOB,OG kOC,OH kOD。（1）求证：四点E,F,G,H共面；(2)平面 AC/平面 EG。说明：由图形知向量的夹角易出错，如 例 5.长方体ABCD ABGD,中，AB 又 AF BE，求长方体的高 BB,。uuu uuir uu mu OA,AC 135o 易错写成 OA,AC 45，切记！BC 4，E 为A6与B1D1的交点，F 为BC1与B1C的交点,O A 5.已知平行六面体 ABCD ABCD 中，AB 4,AD 3,AA 5,BAD 900,BAA DAA 600，求 AC 的长。3.如图正方体 ABCD ABiCiDi中,求BEi与DFi所成角的余弦。