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1、学习必备 欢迎下载 高一数学第八讲 函数应用题 应用题是高考考查的重点，也是考生得分的难题，近年来该类试题的特点日趋鲜明：1.应用题的信息来源真实可靠；2.应用题的个数明显在增加；3.注重考查学生动脑、动手能力及应用的能力。从高考应用题来看，所涉及的数学知识无外乎函数、方程、不等式、数列、立体几何等高中数学中最基本、最重要的内容，其中尤其以函数应用性问题最多。解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用 一、基础知识 1.解应用题的一般思路可表示如下 2.解应用题的一般程序（1）读：即读懂
2、题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。“整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象；“局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义；“分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系；“领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型。（2）建：即建立数学模型。是将实际问题抽象为数学问题，其直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。（3）解：即求解数学模型。根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的
3、限制及其他约束条件。（4）答：即将数学结论还原给实际问题的结果.既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题作出合乎实际意义的回答。3.注意语言表达的完整性 数学应用题的求解不同于一般的数学运算题，有人比喻它是数学中的小作文，因此解数学应用题要做到“有头有尾”，把问题中的普通语言转化为数学语言，引入变量与字母，通过寻找关键词和关键量之间的数量关系或列表分析或画出图形，将数学建模的过程详细地写出来，建立数学模型后，要准确地求解，并注意计量单位的一致，最后对于所得数据不仅要思考或检验是否与实际吻合，而且要给出完整的答案。二、典型例题（一）二次函数的应用问题
4、 例 1 图所示是喷灌设备图，水管 AB高出地面 1.5 米，B处是自转的喷水头，喷出 例 2、因仪器和观察的误差，n 次测量分别得到 n 个数据规定最佳近似值 a 与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，求 a 值(用 a1，a2，an表示)学习必备 欢迎下载 例 3、将进货单价为 40 元的仿古瓷瓶，按 50 元一个销售时能卖出 500 个如果这类瓷瓶每个涨价 1 元时，销售量就减少 10 个为了获取最大利润，售价应定为多少元 例 4、要用 6 米长的木料做一个如图所示的窗框若上、下框的高为 12，则长、宽各为多少米时，窗框的光照面积 S 最大(中间木档所占面积可忽略不计)例 5、
5、快艇和轮船分别从 A地、C地同时驶出，沿箭头所示方向航行，如图所示，快艇和轮船的速度各为 40 千米时和 20 千米时，知 AC=150千米，求经过多少小时后快艇与轮船间的距离最近？例 6 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员a2人（140a2420，且a为偶数），每人每年可创利b万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1 人，则留岗职员每人每年多创利b01.0万元，但公司需付下岗职员每人每年b4.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？（二）其它代数函数 例 7 某企业生产电脑，每台成本 50
6、0 元，以利润为 20%标定售价。四年后企业决定把售价降为原来的 80%，但仍有 50%的利润，这说明企业在四年内的生产成本大幅度的降低，求这四年内平均每年降低成本的百分数。例 8 某工厂今年 1 月、2 月、3 月分别生产某产品 1 万件、1.2 万件、1.3 万件。为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 y 与月份数 x 的关系。模拟函数可选用函数 y=abx+c(其中 a，b，c 为常数)或二次函数。已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好。并说明理由。例 9.（水塔供水问题）某工厂有容量为 300 吨的
7、水塔一个，每天从早上 6 时起到晚上 10 时止供应该厂生活和生产用水。已知该厂生活用水为每小时 10 吨，工业用水量 W（吨）与时间t（单位：小时，定义早上 6 时t=0）的函数关系点日趋鲜明应用题的信息来源真实可靠应用题的个数明显在增加注重考查学生动脑动手能力及应用的能力从高考应用题来看所涉及的数学知识无外乎函数方程不等式数列立体几何等高中数学中最基本最重要的内容其中尤其以函数应的难点一般有两个一是解析式的建立二是数学知识的灵活应用一基础知识解应用题的一般思路可表示如下解应用题的一般程序读即读题目应包括对题意的整体理解和局部理解以及分析关系领悟实质整体理解就是弄清题目所述的事件关系领悟实质
8、是指抓住题目中的主要问题正确识别其类型建即建立数学模型是将实际问题抽象为数学问题其直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系将此关系用有关的量及数字符号表示出来即可得到解决问学习必备 欢迎下载 式为Wt 100，水塔的进水量有 10 级，第一级每小时进水 10 吨，以后每提高一级，每小时的进水量增加 10 吨，若某天水塔原有水 100 吨，在供水同时打开进水管。（1）设进水量选用第n级，写出在t时刻水的存有量；（2）问进水量选择第几级，既能保证该厂用水（水塔中水不空）又不会使水溢出。例 10 某公司为帮助尚有 26.8 万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出 20 万元将该商店
9、改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)已知该种消费品的进价为每件 40 元；该店每月销售量 q（百件）与销售价 p（元件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为 600 元，该店应交付的其它费用为每月 13200 元 （）若当销售价 p 为 52 元件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（）若该店只安排 40 名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？例 11某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率 P 与日产量 x（件
10、）之间大体满足关系：1 1,96 962 ,3xc xNxPxc xN 其中c为小于的正常数 注：次品率P 次品数生产量，如0.1P 表示每生产 10 件产品，约有 1 件为次品其余为合格品 已知每生产一件合格的仪器可以盈利 A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量（）试将生产这种仪器每天的盈利额 T（元）表示为日产量 x（件）的函数；（）当日产量为多少时，可获得最大利润？例 12 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入 一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表.已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过 108的时
11、候小白鼠将死亡但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的 98%（已知：lg2=0.3010）（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）三、巩固训练 1、一种新型电子产品投产，计划两年后使成本降低 36%，那么平均每年应降低成本（）A、18%B、20%C、24%D、36%2、某渔场养的鱼第一年鱼的重量增长率为 200%，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的一半，天数 t 病毒细胞总数 N 1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 8 16 32 64 124584060qp81点日趋
12、鲜明应用题的信息来源真实可靠应用题的个数明显在增加注重考查学生动脑动手能力及应用的能力从高考应用题来看所涉及的数学知识无外乎函数方程不等式数列立体几何等高中数学中最基本最重要的内容其中尤其以函数应的难点一般有两个一是解析式的建立二是数学知识的灵活应用一基础知识解应用题的一般思路可表示如下解应用题的一般程序读即读题目应包括对题意的整体理解和局部理解以及分析关系领悟实质整体理解就是弄清题目所述的事件关系领悟实质是指抓住题目中的主要问题正确识别其类型建即建立数学模型是将实际问题抽象为数学问题其直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系将此关系用有关的量及数字符号表示出来即可得到解决问
13、学习必备 欢迎下载 当饲养 4 年后，鱼的重量是原来的_倍。3、某商店进一批货物，进价为按原价扣去 25%，商店要对这批货物定一个新价，以便按新价让利 20%销售后可获得售价 25%的纯利，试写出该商店经营这种货物的件数 x 与按新价让利总额 y 间的函数关系。4、某商店购进一批单价为 50 元的商品，若按每件 60 元销售，一个月能卖出 600 件，为获得更大利润，商店准备提高价格，若每件销售价提高 1 元，销售量将减少 30 件。问如何提高销售价能获得最大利润？一个月最大利润为多少？5、某种商品，生产 x 吨需用2x101x51000元，而卖出 x 吨的价格是每吨 p 元，其中bxap(a
14、，b 是常数)。如果生产的产品全部卖掉，当生产量是 150 吨时利润最大，这时每吨价格为 40 元，求 a，b 值。6、根据市场调查，某商品在最近的 40 天内的价格 f(t)与时间 t 满足关系：).Nt,40t20(41t),Nt,20t0(11t21)t(f 销售量 g(t)与时间 t 满足关系)Nt,40t0(343t31)t(g，求这种商品销售额的最大值。7、有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g(t)表示某一时刻t每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t时的湖水污染质量分数，
15、已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g(t)=rp+g(0)-rp etvr(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始质量分数.（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；（2）求证：当g(0)rp时，湖泊的污染程度将越来越严重；（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 5%？点日趋鲜明应用题的信息来源真实可靠应用题的个数明显在增加注重考查学生动脑动手能力及应用的能力从高考应用题来看所涉及的数学知识无外乎函数方程不等式数列立体几何等高中数学中最基本最重要的内容其中尤其以函数应的难点一般有两个一是解析式的建立二是数学知识的灵活应用一基础知识解应用题的一般思路可表示如下解应用题的一般程序读即读题目应包括对题意的整体理解和局部理解以及分析关系领悟实质整体理解就是弄清题目所述的事件关系领悟实质是指抓住题目中的主要问题正确识别其类型建即建立数学模型是将实际问题抽象为数学问题其直接准备就是审题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系将此关系用有关的量及数字符号表示出来即可得到解决问