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1、立体几何证明-垂直 一.复习引入 1.空间两条直线的位置关系有：_,_,_ 三种。2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相_.3.直线与平面的位置关系有_,_,_ 三种。4.直线与平面平行判定定理:如果_的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这 个平面相交，那么_.6.两个平面的位置关系:_,_.7.判定定理 1：如果一个平面内有_直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行.8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面_.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的_平行
2、.10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都_于另一个平面.二知识点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 定义 判定 语言描述 如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.图形 条件 b 为平面内的任一直线，而 l 对这一直线总有l lm，ln，mnB，m，n 结论 l l 要点诠释：定义中“平面 内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质 性质 语言描述 一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂
3、直于这个平面内的所有直线 垂直于同一个平面的两条直线平行.图形 E D A 条件 结论 知识点三、二面角.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角AB.（简记PABQ）二面角的平面角的三个特征:.点在棱上 .线在面内 .与棱垂直.二面角的平面角：在二面角l 的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：000180.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定 定义 判定 文字描述
4、两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形 结果=l-l-=90o （垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“随意”“无数”等字眼）三常用证明垂直的方法 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质。（3）利用勾股定理。（4）利用直径所对的圆周角是直角 (1)通过“平移”,根据若则a/b,且b平面,a平面 1在四棱锥 P-ABCD 中，PBC为正三角形，AB 平面 PBC，AB CD，AB=21DC，中点为PD
5、E.求证：AE 平面PDC.OACBPD.的位置关系有三种直线与平面平行判定定理如果的一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直线和这个平面平行直线与平面平行性质定理如果一条直线和一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那么两个平面的位置线的两个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的平行如果两个平面平行那么其中一个平面内的所有直线都于另一个平面二知识点梳理知识点一直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线和平面内的任意一该平面垂直图形条件结论为平面内的任一直线而对这一直线总有要点诠释定义中平面内的任意一条直线就是指平面内的所有直线这与无数条直线不同线线垂直线面垂直知识点二
6、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一 2如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形，PA底面 ABCD，PDA=45，点 E 为棱 AB 的中点求证：平面 PCE平面 PCD；（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 3、在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（3）利用勾股定理 4.如图，四棱锥PABCD的底面是边长为 1 的正方形，,1,2.PACD PAPD 求证:PA 平面ABCD；（4）利用直径所对的圆周角是直角 5、如图，AB是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA平面 ABC.（1）求证：平面 PAC平面 PBC；_ D _
7、C _ B_ A_ PEFBACDP（第 2 题A C B P 的位置关系有三种直线与平面平行判定定理如果的一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直线和这个平面平行直线与平面平行性质定理如果一条直线和一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那么两个平面的位置线的两个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的平行如果两个平面平行那么其中一个平面内的所有直线都于另一个平面二知识点梳理知识点一直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线和平面内的任意一该平面垂直图形条件结论为平面内的任一直线而对这一直线总有要点诠释定义中平面内的任意一条直线就是指平面内的所有直线这与无数条直线不同线
8、线垂直线面垂直知识点二直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一 课堂及课后练习题：1.判断下列命题是否正确，对的打“”，错误的打“”。（1）垂直于同一直线的两个平面互相平行 （）（2）垂直于同一平面的两条直线互相平行 （）（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线垂直（）2.已 知 直 线a,b和 平 面，且,ab a则b与的 位 置 关 系 是_.3.如图所示，在四棱锥PABCD中，ABPAD平面,/ABCD,PDAD,E是PB的中点，F是CD上的点，且12DFAB,PH为PAD中AD边上的高。（1）证明：PHABCD平面；4.如图所示,四棱锥 PABCD底面是直
9、角梯形,2,BAADC DADC DABP A底面 ABCD,E 为 PC 的中点,PAAD。证明:BEPDC平面;5.如图，在三棱锥PABC中，PAB是等边三角形，PAC=PBC=90 证明：ABPC 的位置关系有三种直线与平面平行判定定理如果的一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直线和这个平面平行直线与平面平行性质定理如果一条直线和一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那么两个平面的位置线的两个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的平行如果两个平面平行那么其中一个平面内的所有直线都于另一个平面二知识点梳理知识点一直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线和平面内
10、的任意一该平面垂直图形条件结论为平面内的任一直线而对这一直线总有要点诠释定义中平面内的任意一条直线就是指平面内的所有直线这与无数条直线不同线线垂直线面垂直知识点二直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一CADBOE 6.如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CACBCDBDABAD （1）求证：AO 平面 BCD；（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；7.如图，四棱锥SABCD中，BCAB,BCCD，侧面SAB为等边三角形，2,1ABBCCDSD证明：SDSAB平面;8.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，O 的直径2AB,C 是狐 AB 的中
11、点，D为AC的中点证明：平面POD平面PAC;课堂及课后练习题答案：1（1）（2）（3）2.b/b或者 3.证明：因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD，又因为ABPAD平面，所以ABPH，=ABAD A，所以PHABCD平面 的位置关系有三种直线与平面平行判定定理如果的一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直线和这个平面平行直线与平面平行性质定理如果一条直线和一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那么两个平面的位置线的两个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的平行如果两个平面平行那么其中一个平面内的所有直线都于另一个平面二知识点梳理知识点一直线和平面垂直的定义与判
12、定定义语言描述如果直线和平面内的任意一该平面垂直图形条件结论为平面内的任一直线而对这一直线总有要点诠释定义中平面内的任意一条直线就是指平面内的所有直线这与无数条直线不同线线垂直线面垂直知识点二直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一4.分析：取 PD 的中点 F，易证 AF/BE,易证 AF平面 PDC，从而BEPDC平面.5.证明：因为PAB是等边三角形，90PACPBC ,所以Rt PBCRt PAC,可得ACBC。如图，取AB中点D，连结PD,CD,则PDAB,CDAB,所以AB 平面PDC,所以ABPC。6.（1）证明：连结 OC ,.BODO ABADAOBD ,.BODO
13、BCCDCOBD 在AOC中，由已知可得1,3.AOCO 而2,AC 222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC ,BDOCO AO平面BCD 7.（I）取 AB 中点 E，连结 DE，则四边形 BCDE 为 矩形，DE=CB=2，连结 SE，则,3.SEAB SE 又 SD=1，故222EDSESD，所以DSE为直角。由,ABDE ABSE DESEE，得AB 平面 SDE，所以ABSD。SD 与两条相交直线 AB、SE 都垂直。所以SD 平面 SAB。的位置关系有三种直线与平面平行判定定理如果的一条直线和这个平面内的一条直线平行那么这条直线和这个平面平行直线与平面平行性质定理如果一条直线和一个平面平行经过这条直线的平面和这个平面相交那么两个平面的位置线的两个平面如果两个平行平面同时和第三个平面相交那么它们的平行如果两个平面平行那么其中一个平面内的所有直线都于另一个平面二知识点梳理知识点一直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线和平面内的任意一该平面垂直图形条件结论为平面内的任一直线而对这一直线总有要点诠释定义中平面内的任意一条直线就是指平面内的所有直线这与无数条直线不同线线垂直线面垂直知识点二直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一