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1、学习必备 欢迎下载 年 级 初二 学 科 数学 版 本 北师大版 内容标题 初二数学北师大版下学期期末复习 编稿老师 巩建兵 【本讲教育信息】一教学内容：初二数学北师大版期末复习 二教学目标：1掌握相似多边形和位似图形的性质 2了解频数分布直方图的意义和作用，会计算极差、方差、标准差，并根据计算结果对实际问题作出评判 3初步掌握用综合法证明的格式 三知识要点分析：1相似多边形和位似图形（1）相似多边形的性质 相似多边形的周长比等于相似比 相似多边形的面积比等于相似比的平方（2）位似图形的判别 位似图形是特殊的相似形，因此判断两个图形是不是位似图形，应先判断它们是否相似，若不相似，则一定不是位似
2、图形 若两图形已相似，再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点，若这一条件成立，则两图形是位似图形，否则这两个图形就不是位似图形 2数据的收集与处理知识结构：实际问题数据收集数据表示数据处理解决实际问题 作出决策直接收集调查（普查、抽样调查）间接收集平均水平（平均数、中位数、众数）离散程度（极差、方差、标准差）3证明（一）知识结构：定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理内角和定理的推论 【典型例题】知识点 1：相似多边形和位似图形 学习必备 欢迎下载 例 1如图所示，在ABC 中，DEBC，AD3BD，SABC48，求 SADE ABCDE 题意分析：由 DEBC 可知ADEABC，AED
3、ACB，从而得出ADEABC，由 AD3BD 可得 ADAB34 思路分析：要求ADE 的面积，用常规的面积公式不可求因为已知ABC 的面积，所以用相似三角形的面积比等于相似比的平方来解 解：DEBC，ADEB，AEDC，ADEABC，SADESABCAD2AB2AD2（ADBD）2（34）2 SADE（34）2SABC（34）24827 解题后的思考：在利用相似三角形、相似多边形的性质解决周长和面积问题时，注意对应关系，如本题中ADE 和ABC 的相似比是ADAB34，SADESABC（34）2，不要弄错顺序 例 2按如下方法将ABC 的三边缩小为原来的12；如图所示，任取一点 O，连接 A
4、O、BO、CO，并取它们的中点 D、E、F，得DEF，则下列说法中正确的个数是（）ABC 与DEF 是位似图形；ABC 与DEF 是相似图形；ABC 与DEF 的周长比为 21；ABC 与DEF 的面积比为 41 A1 B2 C3 D4 OABCDEF 题意分析：根据题意将ABC 的三边缩小为原来的12得DEF，那么DEF 和ABC相似且相似比为12，这两个三角形对应点的连线交于同一点 O，所以它们又是位似图形 思路分析：根据相似三角形的性质，ABC 和DEF 的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方所以本题、均正确 解：D 解题后的思考：相似图形和位似图形的不同点在于：位似图形是一种特殊的
5、相似图形，对应点的连线交于同一点，而相似图形未必都能构成位似关系 小结：相似图形的形状相同，大小不同，因此相似图形的性质可总结为：对应角相等，对应边成比例进一步得出周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 讲教育信息一教学内容初二数学北师大版期末复习二教学目标掌握相似多边形和位似图形的性质了解频数分布直方图的意义和作用会计算极差方差标准差并根据计算结果对实际问题作出评判初步掌握用综合法证明的格式三知识要点平方位似图形的判别位似图形是特殊的相似形因此判断两个图形是不是位似图形应先判断它们是否相似若不相似则一定不是位似图形若两图形已相似再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点若这一条件成立则两图形
6、是位似图形决策直接收集调查普查抽样调查间接收集平均水平平均数中位数众数离散程度极差方差标准差证明一知识结构定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理内角和定理的推论典型例题知识点相似多边形和位似图形学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 知识点 2：数据的收集与处理 例 3某股民就 A、B 两种股票的价格作了近 10 天的记录：A 股票 76.5 90.5 84.5 86.5 81.5 87.5 86.5 82.5 85.5 83.5 B 股票 82.5 84.5 89.5 79.5 80.5 91.5 89.5 79.5 85.5 74.5（1）用折线图分别表示这两种股票价格的升降情况（2）分别计
7、算它们的方差，并说明这两种股票在价格上所反映的特点是什么？题意分析：本题第（1）问是用折线图表示这两种股票的趋势，第（2）问是用方差对这两种股票的价格作出评判 思路分析：折线图以时间为横轴、价格为纵轴，先描点，再连线求方差时应先求平均数 解：（1）如图所示：（2）先计算平均数：xA110（76.5+90.5+84.5+86.5+81.5+87.5+86.5+82.5+85.5+83.5）84.5 xB110（82.5+84.5+89.5+79.5+80.5+91.5+89.5+79.5+85.5+74.5）83.7 再计算方差：2As110(84.576.5)2(84.590.5)2(84.5
8、83.5)213.2；2Bs110(83.782.5)2(83.784.5)2(83.774.5)226.36 由于 A 股票价格方差 13.2B 股票价格方差 26.36，所以从这 10 天的股票价格来看，A股票波动较小，B 股票波动较大 解题后的思考：计算方差时，由于数据较复杂，可借助计算器或计算机 例 4为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有 900 名学生参加了这次竞赛 为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）进行统计，请你根据下面尚未完成并有局部污损的频数分布表和频数分布直方图，解答下列问题：（1）
9、填充频数分布表中的空格；（2）补全频数分布直方图；（3）在该问题中样本容量是多少？（4）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（5）若成绩在 90 分以上（不含 90 分）为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？讲教育信息一教学内容初二数学北师大版期末复习二教学目标掌握相似多边形和位似图形的性质了解频数分布直方图的意义和作用会计算极差方差标准差并根据计算结果对实际问题作出评判初步掌握用综合法证明的格式三知识要点平方位似图形的判别位似图形是特殊的相似形因此判断两个图形是不是位似图形应先判断它们是否相似若不相似则一定不是位似图形若两图形已相似再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点若这一条
10、件成立则两图形是位似图形决策直接收集调查普查抽样调查间接收集平均水平平均数中位数众数离散程度极差方差标准差证明一知识结构定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理内角和定理的推论典型例题知识点相似多边形和位似图形学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 题意分析：本题要求补全频数分布直方图和频数分布表，再根据图表回答其他问题 思路分析：补全频数分布表时方法很多，关键是正确理解频数与频率的含义方法一：先确定频数总和 40.0850，再填写其他表格方法二：先根据频率和为 1 确定第 5 组的频率，再求其他表格 解：（1）1（0.080.160.20.32）0.24 则 90.5100 的频率为 0.24，
11、设其频数为 x，则160.32x0.24，x160.240.3212 合计：频数为 4810161250，频率1（2）如图所示：（3）样本容量为 50（4）落在 80.590.5 分范围内的人数最多（5）1250900216（人）解题后的思考：解决频数分布直方图问题时，常用的两个数量关系是：各小组频率之和为 1；频数分布直方图中条形块的高度与其频数（或频率）成正比 小结：关于数据的收集与处理重点体会普查和抽样调查的优缺点，数据表示的有关概念以及刻画数据离散程度的几个量度极差、方差和标准差，学会用频数分布直方图处理数据 知识点 3：证明（一）例 5 如图，在ABC 中，A ABC 与ACD 的平
12、分线交于点 A1，得A1；A1BC与A1CD 的平分线相交于点 A2，得A2；A2008BC 与A2008CD 的平分线相交于点 A2009，得A2009则A2009_ 讲教育信息一教学内容初二数学北师大版期末复习二教学目标掌握相似多边形和位似图形的性质了解频数分布直方图的意义和作用会计算极差方差标准差并根据计算结果对实际问题作出评判初步掌握用综合法证明的格式三知识要点平方位似图形的判别位似图形是特殊的相似形因此判断两个图形是不是位似图形应先判断它们是否相似若不相似则一定不是位似图形若两图形已相似再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点若这一条件成立则两图形是位似图形决策直接收集调查普查抽样调
13、查间接收集平均水平平均数中位数众数离散程度极差方差标准差证明一知识结构定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理内角和定理的推论典型例题知识点相似多边形和位似图形学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 ABCDA1A2 题意分析：已知A，根据题意可知所求的A2009一定与A 有关系 思路分析：如图，ACDAABC，有12ACD12A12ABCA1B 平分ABC，A1C 平分ACD，A1CD12ACD，A1BC12ABCA1CD12AA1BCA1A1CDA1BC12A同理A212A114A，A318A，A2009122009A22009 解：22009 解题后的思考：本题是一道综合创新型的问题，既考查
14、三角形内角与外角的关系，又考查探究规律，归纳推理的能力 例 6如图所示，已知 CE 为ABC 外角ACD 的平分线，CE 交 BA 的延长线于点 E，求证：BACB ABCDE12 题意分析：由 CE 平分ACD 得12，所求证的BAC 和B 不是同一三角形的内角和外角 思路分析：BAC 是ACE 的一个外角，2 是BCE 的一个外角，所以BAC1，2B，而12，所以BACB 证明：CE 平分ACD（已知），12（角平分线定义）BAC1（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），BAC2（等量代换）2B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角），BACB（不等式的基本性质）解题后的
15、思考：本题不能直接利用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”，必须要找一个中间量进行代换 小结：这部分内容的许多结论都是大家非常熟悉的，重点体验证明的基本方法和过程，体会公理化方法在数学中的作用 四.本讲小结：本讲内容主要有：一、概念，包括相似多边形、位似图形、普查、抽样调查、总体、个体、样本、频数分布直方图、极差、方差、定义、定理、公理、推论等；二、一个重要的数讲教育信息一教学内容初二数学北师大版期末复习二教学目标掌握相似多边形和位似图形的性质了解频数分布直方图的意义和作用会计算极差方差标准差并根据计算结果对实际问题作出评判初步掌握用综合法证明的格式三知识要点平方位似图形的判别位似
16、图形是特殊的相似形因此判断两个图形是不是位似图形应先判断它们是否相似若不相似则一定不是位似图形若两图形已相似再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点若这一条件成立则两图形是位似图形决策直接收集调查普查抽样调查间接收集平均水平平均数中位数众数离散程度极差方差标准差证明一知识结构定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理内角和定理的推论典型例题知识点相似多边形和位似图形学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 学思想：用样本估计总体的思想；三、一个重要的数学方法：综合法证明 【模拟试题】（答题时间：50 分钟）一选择题 1下列调查适合普查的是（）A调查 20XX 年 6 月份市场上某品牌饮料的质量 B了解
17、中央电视台直播北京奥运会开幕式的全国收视率情况 C环保部门调查 5 月份黄河某段水域的水的质量情况 D了解全班同学本周末参加社区活动的时间 2若分式2x1有意义，则 x 的取值范围是（）Ax1 Bx1 Cx1 Dx1 3要了解一批电视机的使用寿命，从中任意抽取 30 台电视机进行试验，在这个问题中，30 是（）A个体 B总体 C样本容量 D总体的一个样本 4如图，直线 l1l2，则为（）A150 B140 C130 D120 l1l213070 5不等式组x213x18 的解集在数轴上可表示为（）01234012340123401234ACBD 6把 x32x2yxy2分解因式，结果正确的是（
18、）Ax（xy）（xy）Bx（x22xyy2）Cx（xy）2 Dx（xy）2 7如图，下列推理不正确的是（）AABCD，ABCC180 B12，ADBC CADBC，34 DAADC180，ABCD ABCD2314*8解分式方程1xx2212x，可知方程（）讲教育信息一教学内容初二数学北师大版期末复习二教学目标掌握相似多边形和位似图形的性质了解频数分布直方图的意义和作用会计算极差方差标准差并根据计算结果对实际问题作出评判初步掌握用综合法证明的格式三知识要点平方位似图形的判别位似图形是特殊的相似形因此判断两个图形是不是位似图形应先判断它们是否相似若不相似则一定不是位似图形若两图形已相似再看其对应
19、点所在直线是否都是经过同一个点若这一条件成立则两图形是位似图形决策直接收集调查普查抽样调查间接收集平均水平平均数中位数众数离散程度极差方差标准差证明一知识结构定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理内角和定理的推论典型例题知识点相似多边形和位似图形学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 A解为 x2 B解为 x4 C解为 x3 D无解 二填空题 1因式分解：a2b22b1_ 2如图，AB/CD，CE 平分ACD，若125，那么2 的度数是_ ABCDE12 3如图所示，在ABC 中，DEBC，若 AD1、DE2、BD3，则 BC_ ABCDE 4为了了解一个养鸡场里鸡的生长情况，从中抽取了 5 只
20、，称得它们的重量如下（单位：kg）：3.0、3.4、3.1、3.3、3.2，在这个问题中，方差 s2_*5 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 延长线上一点，AE 交 DC 于 F，若 BCCE31，则 SADFSECF_ ABCDEF*6 某射击爱好者在一次练习时共射击 10 次，前 6 次射击共中 53 环（环数均为整数）如果他想取得不低于 89 环的成绩，则第 7 次射击不能少于_环 三解答题 1解不等式：3xx2，并在数轴上表示解集 2先化简，再求值：（3aa1aa1）a21a，其中 a2 3在“汶川地震”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行了统计：甲班捐款人数比
21、乙班捐款人数多 3 人，甲班共捐款 2400 元，乙班共捐款 1800 元，乙班平均每人捐款的钱数是甲班平均每人捐款钱数的45倍求甲、乙两班各有多少人捐款？4 为了了解我校九年级 400 名学生的数学毕业考试成绩，从中抽取了 50 名学生的数学成绩进行分析，如图是根据 50 名学生的数学成绩画出的频数分布直方图 讲教育信息一教学内容初二数学北师大版期末复习二教学目标掌握相似多边形和位似图形的性质了解频数分布直方图的意义和作用会计算极差方差标准差并根据计算结果对实际问题作出评判初步掌握用综合法证明的格式三知识要点平方位似图形的判别位似图形是特殊的相似形因此判断两个图形是不是位似图形应先判断它们是
22、否相似若不相似则一定不是位似图形若两图形已相似再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点若这一条件成立则两图形是位似图形决策直接收集调查普查抽样调查间接收集平均水平平均数中位数众数离散程度极差方差标准差证明一知识结构定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理内角和定理的推论典型例题知识点相似多边形和位似图形学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载 （1）根据题中给出的条件将频数分布直方图补充完整；（2）7781 分这一小组的频率为_；（3）在这次毕业考试中，该校九年级学生的数学成绩在 8796 分范围内的有多少人 *5如图所示，ABC 和DEF 均为正三角形，D 和 E 分别在 AB 和 BC 上，请找
23、出一个与DBE 相似的三角形并说明理由 ABCDEFGH 讲教育信息一教学内容初二数学北师大版期末复习二教学目标掌握相似多边形和位似图形的性质了解频数分布直方图的意义和作用会计算极差方差标准差并根据计算结果对实际问题作出评判初步掌握用综合法证明的格式三知识要点平方位似图形的判别位似图形是特殊的相似形因此判断两个图形是不是位似图形应先判断它们是否相似若不相似则一定不是位似图形若两图形已相似再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点若这一条件成立则两图形是位似图形决策直接收集调查普查抽样调查间接收集平均水平平均数中位数众数离散程度极差方差标准差证明一知识结构定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理
24、内角和定理的推论典型例题知识点相似多边形和位似图形学习必备欢迎下学习必备 欢迎下载【试题答案】一选择题 1D 2A 3C 4D 5D 6D 7C 8D【去分母得：1x2（x2）1，整理得：x2，检验：当 x2 时，x20，x2 是增根，舍去所以原方程无解】二填空题 1（ab1）（ab1）25038 40.02 591【由题意可知EBAECF，所以BECEAEFE，根据比例的性质BCCEAFFE31，因为ADFECF，所以 SADFSECF（AFFE）291】66【设第 7 次射击不能少于 x 环，第 8、9、10 次均射中 10 环，则 53x10389，解得 x6，所以第 7 次射击不能少于
25、 6 环】三解答题 1x1，在数轴上表示，如图所示：43210-2-156-3 2原式2a48 3设乙班有 x 人捐款，则甲班有（x3）人捐款根据题意得：2400 x3451800 x，解这个方程得 x45经检验 x45 是所列方程的根x348（人）答：甲班有 48 人捐款，乙班有 45 人捐款 4（1）如图所示：02468101214167276 7781 8286 8791 9296人数成绩（2）16%（3）8796 分占图中两个分数段，其频率和为12105044%，估计该校九年级学生的数学成绩在这一范围内的有 40044%176 人 5 DBE 和ECH 相似 ABC 为正三角形，DEF
26、 为正三角形，BC60，DEF60BBDEBED180，BEDDEFCEH180，BDEBED120，BEDCEH120，BDECEH，DBEECH【提示：ADG、BED、CHE 和FHG 都相似，可任选两个加以说明】讲教育信息一教学内容初二数学北师大版期末复习二教学目标掌握相似多边形和位似图形的性质了解频数分布直方图的意义和作用会计算极差方差标准差并根据计算结果对实际问题作出评判初步掌握用综合法证明的格式三知识要点平方位似图形的判别位似图形是特殊的相似形因此判断两个图形是不是位似图形应先判断它们是否相似若不相似则一定不是位似图形若两图形已相似再看其对应点所在直线是否都是经过同一个点若这一条件成立则两图形是位似图形决策直接收集调查普查抽样调查间接收集平均水平平均数中位数众数离散程度极差方差标准差证明一知识结构定义命题证明平行线三角形判定性质内角和定理内角和定理的推论典型例题知识点相似多边形和位似图形学习必备欢迎下