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1、精品资料 欢迎下载 莱特 1+1思维教育辅导讲义 课 题 平均数问题 授课时间：授课教师：知 识 点 梳 理 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使他们完全相等，求得的相等数就是平均数，通常把这样的问题叫做平均数问题。解答平均数问题的关键在于确定“总数量”以及与总数量相对应的“总份数”。灵活运用有关数量关系式来解题：总数量总份数=平均数 平均数总份数=总数量 总数量平均数=总份数 教学内容 例 1 五（4）班有学生 41 人，在一次英语测试中有 3 名同学因病缺考，平均成绩是 80 分。后来这三位同学补考，成绩分别为 100 分，96 分，85 分。这时全班的平均成绩是多少？分
2、析 解答本题必须抓住：1、要求全班的平均成绩，就要知道全班的总分和总人数；2、全班的总分由两部分组成：一部分是先考的 413=38（人），总分为 8038=3040 分，另一部分是补考的 3 人，总分为 1009685=281 分，再把两部分的总分合起来才是全班的总分；3、用全班总分总人数=全班平均分。小结 解答本题的关键在于全班的总分分成了先考的和补考的两个部分，要求求出全班的总分，才能求出全班的平均分。例 2 甲乙两城相距 120 千米。一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶 60 千米，返回时平均速度是每小时 40 千米。求这辆汽车往返的平均速度。分析 按照求平均数问题的数量关系，求“往”“返
3、”的平均速度，应该用“往”与“返”的总路程除以“往”与“返”的总时间。例 3 把五个数按照从小到大的顺序排列，其平均数是 30，前三个数的平均数是 28，后三个数的平均数是 35，中间的那个数是多少？分析 根据题中已知五个数的平均数，可以求出五个数的总和：305=150；已知前三个数的平均数，可以求出前三个数的总和：283=84；已知后三个数的平均数，可以求出后三个数的总和：353=105；前三个数的总和加上后三个数的总和，中间的那个数算了两次，这样就比五个数的总和多，多出的部分就是所求的中间的那个数。精品资料 欢迎下载 例 4 小明前 5 次数学测试的平均分是 92 分，第六次数学测试的成绩
4、比六次测试的平均分高 5 分，他第六次测试的成绩是多少？分析 他第六次数学测试的成绩比六次测试的平均分高5 分，把这 5 分平均分给前 5 次，就可先求出六次测试的平均成绩：9255=93 分，再用六次测试的平均分加上第六次测试多出的 5 分，就可得出第六次的测试成绩。例 5 一次考试中，小花语文得了 86 分，英语得了 90 分，现在还要考数学，他想争取三科平均成绩至少为 90 分，那么他的数学至少要得多少分？练习：1、五（1）班有学生 40 人，期中数学测试，有 2 名同学因病缺考，这时班级平均成绩是 89 分。缺考的同学补考各得 99 分，这个班期中测试平均分是多少？2、在一次登山活动中
5、，山路长 120 米，张三上山时每分钟走 40 米，下山时按原路返回，每分钟走 60 米，求张三上山和下山平均每分钟走多少米？3、甲、乙、丙三人的平均年龄为 22 岁，如果甲、乙的平均年龄是 18 岁，乙、丙的平均年龄是 25 岁，那么乙的年龄是多少岁？4、某小组加工一批零件，7 天中平均每天加工 32 个。已知他们前 4 天平均每天加工 34 个，后 4 天平均每天加工31 个。求：第 4 天加工零件多少个？5、十名参赛者的平均得分是 82 分，前 6 人的平均分是 83 分，后 6 人的平均分是 80 分，那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分？6、一个技术工带 5 个普通工人完成了一
6、项任务，每个普通工人各得 120 元，这位技工的收入比他们 6 人的平均收入还多 20 元，问这位技术工得多少元？莱特 1+1思维教育辅导讲义 不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例
7、甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 课 题 加法乘法原理 授课时间：授课教师：知识点梳理 我们已经学会了用列举法解答一些简单的计数问题。但是如果需要列举的对象较多时，就必须先进行分析，然后找出一定的规律，采用计算的方法解决问题。加法原理和乘法原理就是列举时采用的两个基本计数原理。掌握这两个原理，可以解决许多计数问题，而且为学习排列组合做好准备。这节我们从基本例子入手，说明加法原理和乘法原理的实际运用。解题方法：分步用乘法；分类用加法。教学内容 例1 书架上有15
8、本故事书，20本科普读物书。（1）、小明任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？（2）、如果从书架上取一本故事书和一本科普书，共有多少种不同的取法?分析：（1）小明从书架上取一本故事书或一本科普书都是一种不同的取法。因此取故事书有15中取法，取科普书有20种取法。所以一共有15+20=35（种）不同的取法。（2）如果把取故事书当作第一步骤，取科普书为第二步骤。小明取了第一本故事书后，再取科普书，可以取20本中的任意一本，所以有20种不同的取法。取出故事书15本中的任意一本，都可以取20本中的任意一本组成一种不同的取法，因此，一共有1520=300(种)不同的取法。例2 用数字0、3、2、6、
9、8、9可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？分析：组成一个三位数要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位数上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三步确定个位上的数字，也有6种选法，再根据乘法原理计算。例3 从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路，从丁地到丙地也有3条路。问：从甲地到丙地共有多少种不同的走法？不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成
10、绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 例4 有 A、B、C三个方格（如图）。现在有红、蓝、黄、绿四种颜料给图中方格染色，使相邻方格颜色不同，问有多少种不同的染色方法？A B C 分析：首先将染色的过程分为依次给 A、B、C染色三步。
11、先给 A染色，因为有四种颜色，故有四种不同的染色方法；第 2 步给 B染色，因不能与 A同色，还剩下 3 种颜色可选择，故有三种不同的染色方法；第 3 步给 C染色，因为不能与 A、B同色，故有 2 种不同的染色方法。根据乘法原理计算。练习：1、商店里有6件不同的上衣，5件不同的裙子。（1）妈妈为女儿买上衣一件或裙子一条，有多少种不同的选法？（2）妈妈为女儿买上衣一件和裙子一条，有多少种不同的选法？2、第一小队有9位女同学和8位男同学。（1）老师在第一小队里选一位同学担任旗手，有多少种不同的选法？（2）老师在第一小队里选一位男同学和一位女同学担任旗手，有多少种不同的选法？3、有五顶不同的帽子，
12、两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同装束？4、“TMO”是国际数学奥林匹克缩写，把这 3 个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？5、用数字 5、6、7、9 可以排成多少个没有重复数字的（1）两位数？(2)三位数？（3）四位数？6、用 2、4、5、8、0 五个数字，组成没有重复数字的四位数，共可以组成多少个？7、从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丁地有 3 条路，从丁地到丙地有 2 条路，从丙地到甲地有 1 条路.问：从甲地到丁地有多少种不同的走法？8、如图：A、B、C、D、E
13、五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？莱特 1+1思维教育辅导讲义 课 题 还原问题 授课时间：授课教师：不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求
14、出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 知识点梳理 还原问题：一个数量经过若干次变化成了另一个结果从结果出发根据每一次变化情况，一步步地倒着想，把结果还原成开始状态的问题 对于简单的还原问题：可直接列式一步步倒着推算 对于变化复杂的问题：可借助列表和画图来帮忙解决问题 教学内容 例题1.小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁，小刚的奶奶今年多少岁？分析：这属于简单的还原问题，所以可以直接列式一
15、步步倒着推算。例题2.某商场出售洗衣机，上午出售总数的一半多10台，下午出售剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？例题3、小明.小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？分析：无论三个人怎么借，书的总数是不变的，这样就可以开始倒推运算了。例题4、甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克，问两桶油原来各有多少千克？分析：从后往前倒推，即：如果后来乙桶不倒出和甲桶一样的油放入甲桶，可得出甲
16、桶内应有油多少克。例题5、两只猴子拿了26个桃子，甲猴眼疾手快，抢先得到，乙猴看到甲猴拿到太多，就去抢一半，甲猴不服，又不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车
17、从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 从乙猴那儿抢走了一半，乙猴不肯，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多2个，问甲猴最初准备拿几个？分析：要根据已知条件先求出两只猴子现在各拿了多少个桃，问题就会迎刃而解。练习：1、在 里填上适当的数 2081626 2、一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘以2，结果是60，就这个数。3、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9，除以4，减去2，再乘上3，恰好是30岁，”问王老师今年多少岁？4、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，
18、第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原来有大米多少吨？5、甲乙丙三个小朋友共有贺年卡90张，如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年卡张数刚好相同。问甲乙丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？6、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片给李强，李强再拿出同样多的画片给王良，这是两个人都有24张，问王亮和李强原来各有画片多少张？7、有甲.乙.丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数。最后从丙数拿出12加到甲数，这是三个数都是180.问甲乙丙三个数原来各是多少？莱特 1+1思维教育辅导讲义 课 题 分类数图形 授课时间：授课教师：不变的条件下通
19、过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料
20、 欢迎下载 知识点梳理 1.做该类型题时，遵循不重复.不遗漏的原则，就能使数出的结果准确 2.2.分类数图形的方法能够帮助我们找到数图形的规则，从而有秩序.有条理并且正确地数出图形的个数 教学内容 例 1 下面图形中有多少个正方形？分析：图中的正方形的个数可以分类数 例2 下图中共有多少个三角？分析：为了保证不漏数而又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加 例3 数出下图中所有三角的个数 分析：同位置的三角形一起数，例如：AFG.BGM.CIM.DIJ.JEF是同类 例4 如下图，平面上有12个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？分析：把相邻
21、的两点连接起来，即可得到图形 不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平
22、均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 例5 数一数，下图中共有多少个三角形 分析：分类数三角法？练习：1.下图共有多少个正方形 2.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？3.下面图中共有多少个三角 4.数一数，图中共有多少个三角 5、数出下面图中分别有多少个三角 不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总
23、人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 6.图中共有（）个三角 7.图中共有（）个三角形 莱特 1+1思维教育辅导讲义 课 题 长方形、正方形的周长 授课时间：授课教师：不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关
24、数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 知识点梳理 公式：长方形的周长=（长+宽）2 正方形的周长=边长4 教学内容 例题1.一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘
25、米，截掉的总面积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？例题2.求下图的周长 （单位：厘米）分析：可将图补充完整，再计算 例题3、如图的正方形分成甲.乙两部分，下面哪几句话正确的？A 甲的周长比乙大 B 甲乙周长相等 C 甲的面积比乙大 D 甲乙面积相等 分析：可以从图中直接得出甲乙两图的大小关系 例题4、如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米。求最大的长方形的周长 不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三
26、位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 分析：根据题意，可分析出最大长方形的宽就是正方形的边长 练习：1、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形，求这个正方形的周长
27、 2、有两个相同的长方形（图1），长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？（图1）（图2）（图3）3、求下列图形的周长（图2）（单位：厘米）4、一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图长方形（图3），求所拼长方形的周长。5、有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长 6、下图是边长为4厘米的正方形（图4），求正方形种阴影部分的周长（图4）（图5）7、在一个长方形硬纸板的一角任意剪去一个正方形，剩下的图形的周长发生了怎样的变化？8、有2个相同的长方体（图5），长7厘米，宽3厘米
28、，如下图重叠着，求重叠图形的周长 莱特 1+1思维教育辅导讲义 课 题 等差数列（一）授课时间：授课教师：不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时
29、每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 知识点梳理 若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中的个数称为项数。从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。通项公式：第 n 项=首项+（项数1）公差；项数公式：项数=（末项首项）公差1；求和公式：总和=（首项末项）项数2 教学内容 例 1 等差数列 13、15、17、中，第 100 项是多少？第 145 项呢？分析：此题中已知等差数列中的首项是 13，公差是 2，求第
30、100 项、第 145 项，直接代入通项公式就可求得。小结：在已知首项和公差的情况下，根据通项公式可以求出这一数列中的任一项。例 2、等差数列 3、5、7、9、中，301 是第几项？分析：在此题中已知等差数列首项是 3，公差是 2，第 n 项是 301，我们只要把这些条件代入通项公式第 n 项等于第 n-1项乘于公差再加上第一项，就可以求出 301 是第 150 项了。例 3、在 10 与 60 之间插入 4 个数，使这样 6 个数成等差数列。这四个数是多少？分析：要使这 6 个数成等差数列，插入的 4 个数必须与 10、60 形成的数列有一个公差，所以解这题的关键是找出这个公差，再根据公差写
31、出每个数。这样这个等差数列的第一项是 10，第六项是 60。因此，根据求项数公式就可以找出公差。小结：解这类题时，关键是根据第一项和最后一项，用求项数公式找出公差，再写出要插入的数。例 4、已知等差数列的首项是 12，第六项是 27，求公差？不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的
32、人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 例 5、消防梯的最高一级宽是 32 厘米，最低一级宽是 110 厘米，中间还有 9 级，各级的宽度成等差数列。请计算出中间一级的宽？分析：从题意中，我们可以发现要求出当中一级的宽，就必须根据通项公式求出这个等差数列的公差：110 等于11 减去 1 乘于公差，再加上第一项 32，求出公差是 7.8 厘米；再根据公差求出第 6 项（
33、当中一级）的宽：第 6 项等于 6 减去 1 乘于公差，再加上第一项 32，得出第 6 项等于 71 厘米。练习：1、求等差数列 3、7、11、15、的第 6、9、34 项各是多少？2、求等差数列 2、9、16、的第 20 项是多少？3、等差数列中，第一项是 3，公差是 4，那么 259 是它的第几项？4、等差数列 5、9、13、17、中，501 是第几项？5、在 543、723 中间插入一个数，使三个数成等差数列，求这个数？6、在 8 和 40 之间插入 7 个数，使它们同这两个数成等差数列，这个等差数列的公差是多少？7、在 19 与 91 之间插入 5 个数，使这 7 个数构成一个等差数列
34、，写出这 5 个数分别是多少？安装的五个轮滑的直径成等差数列，已知最小的和最大的轮滑直径分别是120毫米和216毫米，求中间的三个滑轮的直径。莱特 1+1思维教育辅导讲义 课 题 巧妙求和（二）授课时间：授课教师：不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人
35、总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 知识点梳理 某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可以用等差数列求和公式计算。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可以考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。项数公式：项数=（末项首项）公差1 求和公式：总和=（首项末项）项数2（注意：求和之
36、前要先求出项数）教学内容 例1 求等差数列2、4、648、50的和。例 2 小林读一本长篇小说，他第一天读 30 页，从第二天起他每天读的页数都比前一天多 3 页，第 11 天读了 60页，正好读完，这本书共有多少页？分析 根据“他每天读的页数都比前一天多 3 页”可以知道他每天的读的页数是按照一定的规律排列的数，即 30、33、3657、60。要求这本书共有多少页就是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项是30，末项是 60，项数是 11，因此可以根据等差数列的公式求解总和。例 3一些同样粗细的圆木，像如图所示均匀的堆放在一起，已知最下面一层有 70 根，那么一共有多少根圆木？分析 根据
37、图可以发现这是一个公差是 1 的等差数列，首项是 1，末项是 70，要求一共有多少根圆木，其实就是求这个等差数列的和。可以根据通项公式求解计算。例 4 30 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？分析 开第一把锁时如果不凑巧，试了 29 把钥匙都还不行，那么剩下的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要 29 次，同样的，开第二把锁至多需要试 28 次，开第三把锁至多需要试 27 次等打开第 29 把锁时，剩下的一把就不用试了，一定能打开。所以，至多需要 2928271 次，从而将实际问题转化成了等差数列的求和问题。例5 某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人
38、握一次手，那么共握了多少次手？分析 假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个人依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次，依此类推，第50个人和剩下的人握了一次手，这样他们握手的次数如下：50、49、48、2、1。不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成
39、一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 例6 求199个连续自然数的所有数字之和。分析 注意首先要求的是99个连续自然数的数字之和，而不是求着99个数的和。为了能方便求解，我们不妨把0算进来（它不影响我们求数字之和），计算099这100个数字之和，这100个数头尾两两配对后每两个数字之和都相等，都是99=18，一共有1002=50对，所以199个连续自然数
40、的所有数字之和是1850=900。练习：1、求和：（1）678975；（2）17192139；（3）求等差数列：9、11、13、205、207 的和。2、刘师傅做一批零件，第一天做了 20 个，以后每天都比前一天多做 2 个，第 15 天做了 48 个，正好做完，这批零件共有多少个？3、莉莉学英语单词，第一天学会了 6 个，以后每天都比前一天多学了 1 个，最后一天学会了 16 个，莉莉在这些天中学会了多少个单词？4、用相同的小立方体摆成如右图所示的图形，那么第 10 层有多少个小立方体？5、有 80 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？6、有一些锁的钥匙搞乱了，已
41、知至多要试 28 次就能使每把锁有配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？7、学校进行乒乓球比赛，每个参赛选手都要和其他所有的参赛选手个赛一场，如果有 21 人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？8、一次同学聚会中，参加的有 43 位同学和 4 位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握手一次手。那么一共握了多少次？9、求 1199 的 199 个连续自然数的所有数字之和。10、求 1999 的 999 个连续自然数的所有数字之和。莱特 1+1思维教育辅导讲义 课 题 行程问题 授课时间：授课教师：不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平
42、均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 知识点梳理 基本概念：把研究路程.速度.时间这三者之间关系的问题成为行
43、程问题 基本思路：路程=速度*时间 关键问题：要理清楚路程.时间和速度之间的关系 注意事项：1、紧扣基本数量关系 2、对具体问题要做仔细的分析，弄清楚出发点.时间和运动结果 教学内容 例 1 甲乙两人分别从相距 20 千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走 6 千米，乙每小时走 4 千米。两人几小时后相遇？分析：出发时甲乙两人相距 20 千米，以后两人的距离在每小时缩短，这也是两人的速度和。例2 王欣和陆亮两人同时从相距的2000 米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米，如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即会偷向王欣跑去，遇到王欣再向陆亮跑去。这
44、样不断的来回，直到王欣和陆亮相遇为止，狗共行了多少米？分析：求狗行的路程，已知狗的速度，关键算出狗行的时间 例3 甲乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时从同地向背而行，乙跑4分钟后两人第一次相遇，甲跑一周要6分钟，乙跑一周要多少分钟？分析：解题关键要思考甲乙两人时间关系 例4 甲.乙两人骑车同时从东西两地相向而行，8小时相遇。如果甲每小时少行1千米，乙每小时多行3千米，这样过了7小时就可以相遇。东.西两地相距多少米？分析：从已知条件中发掘甲.乙现在的速度和原来速度的关系 不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关
45、键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 例5 甲.乙两车同时从 A.B 两地相向而行，在距 A 地60千米处第一次相遇。各
46、自到达对方出发地后立即返回，途中又在距 A 地40千米处相遇。A.B 两地相距多少千米？分析：首先计算甲所走的路程，即可得全程 练习：1.甲乙两艘轮船分别从 A.B 两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18千米，乙船每小时行驶15千米，经过6小时两艘轮船途中相遇。两地间的水路长多少千米？2.甲乙辆车分别从相距480千米的 A.B 两城同时出发，相向而行，已知甲车从 A 城到 B 城需6小时，乙车从 B 城到 A 城需12消失，辆车出发后多少小时相遇？3.甲乙两队学生从相隔18千米的两地同时出发，相向而行。一个同学骑自行车以每小时15千米的速度在两队不停地往返联络。甲队每小时行5千米，乙队每小时
47、行4千米，两队相遇时，骑自行车的同学共行了多少千米？4.A.B 两地相距400千米，甲乙两车同时从两地出发相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车后折回向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才能相遇?5.小冬和小刚两人在环形跑道上以各自不同的不变的速度跑步，如果两人同时从同地向背而行，小刚跑6分钟后两人第一次相遇，小冬跑一周要8分钟，小刚跑一周要几分钟？6.甲乙辆车同时从 A.B 两地相对开出，6小时相遇。甲车从 A 地到 B 地要9消失，乙车从 A 地到 B 地要几小时？7.
48、小明和小军分别从甲.乙两地同时出发，相向而行。如果按原速度前进，则4小时相遇，如两人各自比原定速度每小时多走1千米，则3小时相遇。甲乙两地相距多少千米？8.客车从甲地开往乙地，货车从乙地开往甲地，同时开出，到达对方出发地后立即返回。第一次相遇距乙地80千米，第二次相遇距甲地50千米。甲乙两地相距多少千米？莱特 1+1思维教育辅导讲义 课 题 消去法解题 授课时间：授课教师：不变的条件下通过移多补少使他们完全相等求得的相等数就是平均数通常把这样的问题叫做平均数问题解答平均数问题的关键在于确定总数量以及与总数量相对应的总份数灵活运用有关数量关系式来解题总数量总份数平均数平均数来这三位同学补考成绩分
49、别为分分分这时全班的平均成绩是多少分析解答本题必须抓住要求全班的平均成绩就要知道全班的总分和总人数全班的总分由两部分组成一部分是先考的人总分为分另一部分是补考的人总分为分再把两部分考的两个部分要求求出全班的总分才能求出全班的平均分例甲乙两城相距千米一辆汽车从甲城去乙城时每小时行驶千米返回时平均速度是每小时千米求这辆汽车往返的平均速度分析按照求平均数问题的数量关系求往返的平均速度应精品资料 欢迎下载 知识点梳理 消去法：在一些比较复杂的应用题中，有的是由两个或多个量的某种关系构成的，解题时我们可以先把每组的数量用等式表示，然后进行比较，讲其中的一个量先消去，从而把一道数量关系复杂的应用题转化成比
50、较简单的应用题来解答，我们把这样的思考方法叫作消去法。消去法的实质：根据等式的两边加上、减去、乘以或除以相同的数，等式仍然成立的道理来求未知量。教学内容 例题 1、某宾馆第一次买了 5 个热水瓶和 20 个茶杯，一共用去 165 元；第二次又买了同样的 5 个热水瓶和 16 个茶杯，一共用去 149 元。算一算，热水瓶和茶杯的单价分别是多少？分析：我们可以利用数量关系式来比较对应的未知量的情况。第一次：5 个热水瓶的价钱+20 个茶杯的价钱=165 元 第二次：5 个热水瓶的价钱+16 个茶杯的价钱=149 元 比较这两个等式可以知道：因为两次买热水瓶的个数相等，可以先把 5 个热水瓶的价钱消