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1、第十七章 反比例函数 一、基础知识 1.定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky 还可以写成kxy 1 2.反比例函数解析式的特征：等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为 1.比例系数0k 自变量x的取值为一切非零实数。函数y的取值是一切非零实数。3.反比例函数的图像 图像的画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）反比例函数的图像是双曲线，xky（k为常数，0k）中自变量0 x，函数值0y，所以双曲线是不经过原
2、点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是xy 或xy）。反比例函数xky（0k）中比例系数k的几何意义是：过双曲线xky （0k）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。4反比例函数性质如下表：k的取值 图像所在象限 函数的增减性 ok 一、三象限 在每个象限内，y值随x的增大而减小 ok 二、四象限 在每个象限内，y值随x的增大而增大 5.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）6“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky 中的两个
3、变量必成反比例关系。7.反比例函数的应用 二、例题【例 1】如果函数222kkkxy的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xky，（0k）即kxy 1（0k）又在第二，四象限内，则0k可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：01222kkk解得0211kkk或 1k 1k时函数222kkkxy为xy1【例 2】在反比例函数xy1的图像上有三点1x，1y，2x，2y，3x，3y。若3210 xxx则下列各式正确的是（）A213yyy B 123yyy C 321yyy D 231yyy 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法
4、，还可取特殊值法。解法一：由题意得111xy，221xy，331xy 3210 xxx，213yyy所以选 A 解法二：用图像法，在直角坐标系中作出xy1的图像 描出三个点，满足3210 xxx观察图像直接得到213yyy选 A 解法三：用特殊值法 213321321321,1,1,211,1,2,0yyyyyyxxxxxx令【例 3】如果一次函数的图像与反比例函数xmnymnmxy30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】12132212213nmmnnmxxmnynmxy解得，相交于与双曲线直线 221111121,122211yxyxxyxyxyxy得解方程组
5、双曲线为直线为 11，另一个点为【例 4】如图，在AOBRt中，点A是直线mxy与双曲线xmy 在第一象限的交点，且2 AOBS，则m的值是_.图 征等号左边是函数等号右边是一个分式分子是不为零的常数也叫做比例系数分母中含有自变量且指数为比例系数自变量的取值为一切非零实数函数的取值是一切非零实数反比例函数的图像图像的画法描点法列表应以为中心沿的两边中自变量函数值所以双曲线是不经过原点断开的两个分支延伸部分逐渐靠近坐标轴但是永远不与坐标轴相交反比例函数的图像是是轴对称图形对称轴是或反比例函数中比例系数的几何意义是过双曲线上任意引轴轴的垂线所得形面积内值随的增大而增大二四象限反比例函数解析式的确定
6、利用待定系数法只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出反比例关系与反比例函数成反比例的关系式不一定是反比例函数但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系反o y x y x o y x o y x o A B C D 解:因为直线mxy与双曲线xmy 过点A,设A点的坐标为AAyx,.则有AAAAxmymxy,.所以AAyxm.又点A在第一象限,所以AAAAyyABxxOB,.所以myxABOBSAAAOB212121.而已知2 AOBS.所以4m.三、练习题 1.反比例函数xy2的图像位于（）A第一、二象限 B 第一、三象限 C 第二、三象限 D 第二、四象限 2.若y与x成反比例，x与z成
7、正比例，则y是z的（）A、正比例函数 B、反比例函数 C、一次函数 D、不能确定 3.如果矩形的面积为 6cm2，那么它的长ycm与宽xcm之间的函数图象大致为（）4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P(kPa)是气体体积 V(m3)的反比例函数，其图象如图所示当气球内气压大于 120 kPa 时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（）A、不小于54m3 B、小于54m3 C、不小于45m3 D、小于45m3 5如图，A、C是函数xy1的图象上的任意两点，过 A作x轴的垂线，垂足为 B，过 C作 y 轴的垂线，垂足为 D，记 RtAOB的面积为 S1，RtCOD
8、的面积为 S2则（）A S1 S2 B S1 S2 C S1=S2 D S1与 S2的大小关系不能确定 6关于 x 的一次函数 y=-2x+m和反比例函数 y=1nx的图象都经过点 A（-2，1）.求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点 B的坐标；（3）AOB的面积 OyxABCD征等号左边是函数等号右边是一个分式分子是不为零的常数也叫做比例系数分母中含有自变量且指数为比例系数自变量的取值为一切非零实数函数的取值是一切非零实数反比例函数的图像图像的画法描点法列表应以为中心沿的两边中自变量函数值所以双曲线是不经过原点断开的两个分支延伸部分逐渐靠近坐标轴但是永远不与坐
9、标轴相交反比例函数的图像是是轴对称图形对称轴是或反比例函数中比例系数的几何意义是过双曲线上任意引轴轴的垂线所得形面积内值随的增大而增大二四象限反比例函数解析式的确定利用待定系数法只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出反比例关系与反比例函数成反比例的关系式不一定是反比例函数但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系反7.如图所示，一次函数yaxb的图象与反比例函数ykx的图象交于 A、B两点，与x轴交于点 C已知点 A的坐标为（2，1），点 B的坐标为（12，m）（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围 OCAB 8 某蓄水池的排水
10、管每小时排水 8m3，6 小时可将满池水全部排空（1）蓄水池的容积是多少？（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到 Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？（3）写出t与 Q的关系式（4）如果准备在 5 小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？（5）已知排水管的最大排水量为每小时 12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？9.某商场出售一批名牌衬衣，衬衣进价为 60 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量 y（件）是日销售价 x元的反比例函数，且当售价定为 100 元/件时，每日可售出 30 件.（1）请写出 y 关于 x 的函数关系式；（2）该商场计划经营此种
11、衬衣的日销售利润为 1800 元，则其售价应为多少元？10如图，在直角坐标系 xOy 中，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数myx的图象交于 A(-2，1)、B(1，n)两点。(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；(2)求AOB的面积。四、课后作业 1对与反比例函数xy2，下列说法不正确的是（）A点（1,2）在它的图像上 B它的图像在第一、三象限 C当0 x时，的增大而增大随xy D当0 x时，的增大而减小随xy 征等号左边是函数等号右边是一个分式分子是不为零的常数也叫做比例系数分母中含有自变量且指数为比例系数自变量的取值为一切非零实数函数的取值是一切非零实数反比例函数的图像图像的画法
12、描点法列表应以为中心沿的两边中自变量函数值所以双曲线是不经过原点断开的两个分支延伸部分逐渐靠近坐标轴但是永远不与坐标轴相交反比例函数的图像是是轴对称图形对称轴是或反比例函数中比例系数的几何意义是过双曲线上任意引轴轴的垂线所得形面积内值随的增大而增大二四象限反比例函数解析式的确定利用待定系数法只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出反比例关系与反比例函数成反比例的关系式不一定是反比例函数但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系反2.已知反比例函数0kykx的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（）A、（2，1）B、（2，-1）C、（2，4）D、（-1，-2）3 在同一直角坐标平面内
13、，如果直线xky1与双曲线xky2没有交点，那么1k和2k的关系一定是（）A.1k+2k=0 B.1k2k0 D.1k=2k 4.反比例函数ykx的图象过点 P（1.5，2），则k_ 5.点 P（2m3，1）在反比例函数y1x的图象上，则m_ 6.已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（2，3）则m的值为_ 7.已知反比例函数xmy21的图象上两点2211,yxByxA，当210 xx时，有21yy，则m的取值范围是？8.已知 y 与 x-1 成反比例，并且 x-2 时 y7，求：(1)求 y 和 x 之间的函数关系式；(2)当 x=8 时，求 y 的值；(3)y-2 时，x 的值。9.已知3
14、b,且反比例函数xby1的图象在每个象限内，y随x的增大而增大,如果点3,a在双曲线上xby1，求 a 是多少？征等号左边是函数等号右边是一个分式分子是不为零的常数也叫做比例系数分母中含有自变量且指数为比例系数自变量的取值为一切非零实数函数的取值是一切非零实数反比例函数的图像图像的画法描点法列表应以为中心沿的两边中自变量函数值所以双曲线是不经过原点断开的两个分支延伸部分逐渐靠近坐标轴但是永远不与坐标轴相交反比例函数的图像是是轴对称图形对称轴是或反比例函数中比例系数的几何意义是过双曲线上任意引轴轴的垂线所得形面积内值随的增大而增大二四象限反比例函数解析式的确定利用待定系数法只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出反比例关系与反比例函数成反比例的关系式不一定是反比例函数但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系反