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1、 立体几何探究性试题的求解策略 探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立；在近几年的高考试卷中较 多地出现了立体几何方面的条件开放的探究性试题，内容涉及异面直线所成的角，直线与平 面所成的角，二面角，平行与垂直等方面；下面就各类问题来探讨一下求解的策略。一、探究两条异面直线所成的角 例 1（2004 浙江）如图 1 已知正方行 ABCD 和矩行 ACEF 所在平面互相垂直，AB AF 1,试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60，并加以 证明。分析：设AP x（0 x 2），利用PF与BC所成的角是60来构建 以x为元的方程，再解 x就确定了点P的位置。解法 1：如
2、图 2，：ABCD 是边长为x2的正方形，AC 2设AP 作PQ AB交AB与Q，则PQ II BC，相交直线PF 与 PQ所成的角是异面直线 PF与BC 所成的角。平面 ABCD 平面 ACEF,ACEF 矩行，AF PQ，:AB AF A，PQ PF 7AP2 AF2 Jx2 1,，J2x Mx2 1,x 1,所以当 P 点是线段 AC 的中 点时PF 与 BC所成的角为60。解法 2:如图 3一正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AF AC,AF 平面 ABCD，又 AB 2,AF 1,AC 2,设 AP x(0 x 2)要使PF 与 BC所成角是60：，只需使 FP
3、Q 60：，只需使 PF 2PQ 11 I PQ 只需使PF 2x，又在RtAPF中 E 以A为坐标原点，直线 AB,AD,AF分别为x,y,z轴，的正方向，建立空间直 角坐标系，则 A(0,0,0),B 2,0,0),C(,2,2,0),2x.2 2 F(0A1),计 辽x,1），要使 2 Y D PF 与 BC所成角是60 1 丄，x 1,所以当P点是线段AC的 2 匚 A 只需使 中点时PF 与 BC所成的角为60。二、探究直线与平面所成的角 例 2：（2006 年江西）如图 4，在三棱锥 A BCD中，侧面ABD,ACD是全等的直角三角 形，AD是公共的斜边，且AD、3,BD CD 1
4、,另一个侧面是正三角形，在线段AC上 是否存在一点 E，使ED 与面 BCD成30；角，若存在，确定 E的位置，若不存在，请说明 理由。分析：如图 5 把在三棱锥 A BCD补成以BD为棱的 正方体 HCDB-AMNG,使我们对题意及图形有透彻理解 找到ED与面BCD所成的角。在 AC上任取一点E,E点的位置，若x 0,-.2则说明满足条件的 E点不存在。作EF CH 于 F，平面 AHC 平面BCD，EF 平面 BCD,EDF就是使 CE x(0 x.2)，禾U用 的值，若x 0.2就确定了 解法 1：如图 6,在三棱锥A 是全等的直角三角形，AD是公共的斜边,AD.3,BD CD 1,AB
5、C是正三角形,则AB BC CA 取BC 的中点O BC 平面 AOD,面BCD 平面AOD 在 RtACO 中，AO BC AO,BC DO，*AO DO O，cos ADO AD2 OD2 AO2 2AD?OD sin ADO 吕，在 RtADH 中 AH ADsin ADO 1，设 CE x(0 x D ED 与面 BCD所成的角为 连结AO,DO则 平面 BCD 平面 AOD作AH 2 HD,则AH 平面 BCD，在 Rt-AC 2 G BCD中，侧面ABD 与 ACD DO,交DO的延长线于H，则平 D 上6，在Rt AOD中,2 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的
6、拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播 EF CE J2 ED 与面 BCD所成的角
7、。由丽处，EF才（，），在RCDE中，DE JCE2 CD2 Jx2 1，要使ED 与面 BCD成30角，只需使=:当CE 1时ED 与面 BCD成30：角 解法 2 在解法 1 中接（探）以D为坐标原点，以直线 DB,DC分别为x轴,以过D 与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示 则 D(0,0,0),EC-Xhx),DE 2 2 2 H 又平面BCD的一个法向量为n（0,0,1），要使ED 与面 BCD成30角，H 当CE 1时ED 与面 BCD成30：角 三、探究二面角 Jx 2xJ，2 2 例 3（2005 年浙江）如图在长方体 ABCD A1B1C1D1中，AD
8、 AA1 1,AB 2,点E在 棱AD上移动，当 AE等于何值时，二面角 D1 EC D的大小为一。4 分析：设AE x（0 x 2），利用二面角 D1 EC D的平面角的大小 为一来构建以x为元的方程，求解x，就确定AE的值了。4 解法 1：由于ABCD AB C D是长方体，则 D D 平面 ABCD，作 结D1H,DE则DH 是 D1H在平面 ABCD上的射影，由三垂线定理得，D1H EC,故 D1HD是二面角D1 EC D的平面角。设 AE x(0 x 2)，在 RtADE中，DE=AE AD2、X2 1 RtBCE 中，CE.BE2 BC2(2 x)2 1 丄 CE?DH 由 2 C
9、D?BC 2 只需使DE 与 n成60，只需使.2 x cos60，即=2 y轴的正方向，/E D B、C F y 1,点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要
10、是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播则 D(0,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),E(1,x,0),CE(1,X 2,0),CD1 设平面D1EC的一个法向量为n（a,b,c），a b(x 2)2b c 0 AE 2 3时，二面角D1 EC D大小为一。4 四、探究线面垂直 ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且“CD C1CB C1CD BCD 60，当 的值为多少时能使 AC 平面 C1BD?请给出 CC1 证明。分析：执果索因，从结论 AC 平面 GBD出发，进行逆向思维，
11、逐层探究使它成立的充 分条件，联想平行六面体是由长方体压扁得到，从而 CD CD 猜想 1，再从 1入手就容易证明了。CC1 CC1 DH CD?BC,CE J(x 2)2 1 需使DH DQ 1，1，解得 x 2 3,x,(x 2)2 1、一3（舍去）所以当 AE 2 时，二面角 D1 EC D的大小为。4 解法 2：,ABCD AB1C1D1是长方体,AD AA 1,AB 2，以D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DD1,为x轴，y 轴,z 轴正方向,建立空间直角坐标系；如图所示。设 AE x(0(0,2,1)由n?n?令b 1,则 c 2a 2 x n(2 x,1,2），又平面的一个法向
12、量为 DD1（0,0,1），要使 面角D1 EC D的大小为一，4 只需使 DE?DE?cos,4 1,(x 2)2 5 2 x 2,3,x 2.3(舍去)，所以当 例 4（2000 全国）如图已知平行六面体 C1 血Z y 2)点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置
13、做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播解法 1:如图设AC BD O，连结 AC,OC1；”ABCD是菱形，AC BD,BC CD，+1 C1CB C1CD CC1 BC DC,|C1CB 1 又+60,CC1 C1CD,C1B C|D，i*t CD 1时，平行六 GO BD(AC GO O BD 平面 AAC1C,AC BD ，当 or CG 面体ABCD B1C1D1的六个面是全等的菱形，将BC
14、C1B作为下底面时同理可得 AC 1 BC1，*BD BC1 B,AC 平面 C1BD,所以当 1时，cc 使 AC 平面 C1 BD 0 分析 2:执果索因，从结论 AC 平面 GBD出发，利用空间向量的几何运算法则，则“柳 暗花明又一村”了。解法 2:因为平行 六面 体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形，且 使NE 平面 PAC。分析 1：把四棱锥P ABCD补成长方体 ABCD PQHF,设AEGDi是它的一个中截面，不难看到当 EM AC1LT 6 TCD,Jnja 4 4b L7C 1-C r 4,b L4a CC Ufa Jrc A平面 GBD,只 使 需 只 o
15、O Jib u?/4 ajra rt 2 2 2 r rt 0 2 2 3r2 rt 2t2 0,(r t)(3t 2t)0，CD r t所以当 1时，AC 平面 CiBD。CCi（2005 湖北）如图在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱 PA 底面 ABCD,AB.3,BC 1,PA 2，E为PD的中点,在侧面PAB内，找一点N B C Tcc D C?JIC c o o 2 A B C 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警
16、察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播延长EM交AiBi于N则N为所求。解法 1 如图设F,G,H分别是棱PA,PB,PC的中点，连结EF,FG,GH,HE,FH,E*1 1 是棱 PD 的中点，ABCD是矩形，GH/EF/
17、AD,GH EF AD-，2 2 1 EH/FG/AB,EH FG AB，EFGH R ABCD，而 EFGH/面 ABCD，EFG 90；，四边形 EFGH 是矩形，;PA 平面 ABCD,PA AB,PA AD,平面EFGH/平面 ABCD，PA 平面 EFGH,在面EFGH内作EM FH,延长EM 交FG于N，门PA EN,PA EH F EN 平面 PAC，在矩形EFGH中，I FEN GFH 30：，在 RtEFN 中，FN EF?tan30，所以当 N 点在 PAB PA 底面 ABCD,AB.3,BC 1,PA 2，以A为坐标原点分别以直线 x轴，y 轴,z 轴；正方向建立空间直
18、角坐标系，设 N(x,0,Z)，其中0 x 则 A(0,0,0),CC、3,1,0),P(0,0,2)，E(0,1)，,2 AC 3,1,0),AP(0,0,2),NE(x,1 2 T?要使NE 平面 PAC,只需吕？A EN?A 第6页(共19)的中位线FG上，且FN 3时，NE 6 平面 PAC。分析 2：以A点为坐标原点，分别以直线 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴;正方向建立空间 直角坐标系，设 N(x,0,z)，其中0 x EN?AC 0，且 EN?AP 0，再求出、3,0 z 2，由EN 平面 PAC,转化为 x,z的值，从而确定平面 PAB内点N de 位置。解法 2
19、：如图在四棱锥 P ABCD中底面 ABCD为矩形,乜 x 丄 2 2(1 z)0 总结:6，所以在侧面PAB内，当点 1 N(兰,0,1)时，NE 6 用向量方法探讨线面垂直，就是利用这条直线 EN与平面 平面 PAC。PAC内的两条相交直线垂 AB,AD,AP为(0,0,2),NE(0,3,0 z 2 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是
20、春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播 五、探究线面平行 例六（2004 年湖南）如图在底面是菱形的四棱锥 P ABCD中，ABC 60；,PA PB PD、2a,点E在PD上，且PE:ED 2:1在棱PC上是否存在一点 BF/平面 AEC?证明你的结论。分析 1：因为不易找到平面 AEC内直线与BF平行，所以先找 BF
21、所在的一个平面与平面 AEC平行，注意到 PE:ED 2:1，容易 想到取PC的中点F,PE的中点M，先证平面BMF/平面 AEC 从而就证明了 BF/平面 AEC。证法 1：取棱PC的中点F，线段PE的中点M，连 9BD,AC,设BD AC O连结 BF,MF,BM,OE，因为 PE:ED 2:1 F 为 PC 中点，E 是 MD 的中点,MF/EC,BM/OE，(MF 平面 AEC,CE 平面 AEC，I MF BM M,平面 BMF/平面 AEC，又 BF 平面 BMF,BF/平面 AEC 分析 2：要证平面BMF/平面 AEC，先证存在是实数 x,y使BF xAE yAC BF BC
22、CF AD-CP AD-(CD DP),2 2-(AE AD-AE-AC 2 2 2 解法 3：*ABCD 是菱形，ABC 60,PA PA AB,PA AD,AB AD A，PA 原点，直线 AD,AP分别为y,z轴的正方向，过 直线为x轴，建立空间直角坐标系，则 A（0,0,0）,B（0a,丄a,0）,C（上 a,a,0），2 2 2 2 EN?A 直，即 EN?A 0然后求出点的坐标。0 BM 平面 AEC,OM 平面 AEC,MF/平面 AEC,BM/平面 AEC AC a 证法 2：如图当F是棱PC的中点时，AD-CD-DE AD-（AD AC）2 2 2 F,使 D 所以 2 共面
23、，I AE,AC确定了平面 D 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听
24、到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播AEC，BF 平面 AEC,BF/平面 AEC。总结：利用向量知识探讨线面平形，作为基向量来线性表示。即 BF 就是利用这条直线上的向量可以用平面内两条相交直线 xAE yAC，然后再求x,y，再说明这条直线不在已知 平面上。六、探索角、距离的定值与最值 AC交MN于点P，现沿MN将正方形ABCD折成直二面角。求证无论MN怎样平行移动（保持 MN/AB），APC的大小不变;当MN在怎样的位置时，M点到面ACD的距离最大？解法一：设 AM x,则 CN=a-x，PA.2x,PC.2(a x)，AC2 AD2 CD2 AM 2 DM 2 CD2 2a2 2x2
25、 2axP(0,0,a),2 1 E(o,3a，3a)，AE(0,2 1 3 1 a,-a),AC(a一a，0),(0,0,a)PC(仝aa,a),BP 2 2 4,a),2 2 t F是棱PC上的点,PF PC(0 I)则 PF a 2 2 BF BP PF(Y3 1 ra,2a,a)(fa 3 1(于(1)，-a(1),a(1 1)，令 BF 1AC 2AE,123a,1-a,0)2 2 2 1 2(0,sa,3a),3 1(牙a 1,a 1 2 1 a 2,a 2)，所以 3 3 ra(a 2 2a(1)-a(1 )1a 所以当 1时,2 3a 2，11 I AE,AC确定了平面 例 7
26、：在边长为a的正方形 ABCD中,M,N分别为DA,BC上的点，且 MN/AB，连结 1)1 2 語3AE 2 a 2，所以 共面,H P C N B 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在
27、演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播 “PA2 PC2 AC2 cos APC 2PA?PC 2x2 2(a x)2(2 a2 2x2 2ax)2、2x?、2(a x)APC为定值120.过M作MH DA于H，则MH的长度为点M到面ACD的距 MH x?(a x)-x2(a x)2 而 x(a x)x(a x)2 2 即当 4 2 a a 取最大值，2 4、x2(a x)2 i2(x|)2 2 a t 当x 2 时,解法 2:向量法 设AM e则CN a e,以 M为原点建
28、立如图所示空间坐标系，则 A(e,0,0),P(0,e,0),C(0,a,a PA(e,e)，D(0,0,a e)所以cos 设MH APC a e)e2 ae e,0),PC(0,a e,a e),APC 为定值120：C A+zV2 MH max a I 4 D._ H 平面 ACD于H，且=x(e,0,0)y(0,a,a e)z(0,0,a e)=(xe,ya,(y z)(a e)且 x y z 1 MH?AD 由 MH 2 xe 2 ya(y 0 z)(a e)2 0 MH MH(a e)2 e2(a e)2 0 2 e e2(a e)2(e(a e)2(2 e(a e)2,0,2/e
29、(a 2 e(a 为，2 2 e(a e)2 e(a e)2 e(a e)2 2 e(a e)e)e(a e)2.e2(a e)2,2(e a)2 max I时,取最小值宁，e 1时,如图，正方形 ABCD、ABEF的边长都是 1，而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬
30、天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播 在AC上移动，点N在BF上移动，若CM BN a（0 a.2）。（i）求MN的长；（n）当a为何值时，MN的长最小；（川）当MN长最小时，求面 MNA与面MNB所成的二面角 的大小。解法(I)作 MP/AB 交 BC 于点 P,NQ/AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可 得MP/NQ，且 MP NQ,即 MNQP 是平行
31、四边形。MN PQ由已知 CM BN a,CB AB BE 1 AC BF 2、2,CP BQ a 2 MN PQ.(1一CP)2BQ2（1 2(丁 1,(a 2)2(0(ii）由（|）MN(a 2 2 1 牙）乙所以，当a MN 别为 AC、BF的中点时,MN的长最小，最小值为(III）取MN的中点G,连结 AN,BM AG MN,BG MN，即 由余弦定理有cos C，即当M、N分 2 BN,G为MN的中点 AGB即为二面角的平面角 又AG BG/，所以,4(今)2 4 6.6 2 4 4 1 1 故所求二面角为 3 1 arccos-3 解法二向量法：建立如图所示空间直角坐标系 F(1,
32、0,0),B(0,1,0),C(0,1,1),O xyz(1(0,1,1),点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下
33、列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播 cos 总结：弦定理等知识综合运用，相互转化就可达到解决的目的；点间距离用向量的模长公式计算。对于立体几何的探索性问题一般都是条件开放性的探究问题，采用的方法一般是执果索因 的方法，假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用方程的思想或向量的 方法转化为代数的问题解决。如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符 合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在。对于立体几何的探索性问题最适合用空 间向量的方法，只需通过坐标运算进形判断，在解题过程中把“是否存在的问题”转化为“点 的坐标”是否
34、有解、“是否有规定范围内”有解的问题，使问题简单、有效地解决。请同学 们善于运用向量法。专题突破：1、(湖北卷 18)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1、B1、C1、D1中，点 E 是棱 BC 的 中点，点 F 是棱 CD 上的动点。(I)试确定点 F 的位置，使得 D1E 丄平面 AB 1F;(n)当 D1E 丄平面 AB1F 时，求二面角 C1 EF A 的大小(结果用反三角函数值表示)。2、如图，矩形 ABCD 中，AB 1,BC a,PA 平面ABCD,PA 1BN a BF,AN(1 a 1 _ 迈(a“a,0)MN AM；(a,0,a,2)1(0 a.2)2 由MN(a；
35、)2 2 得a min I MNA与 2*I(3)a 1,1),MB 1(0,1,1)所以可求得平面 MNB 的法向量分别为口(1,1,1),n2(1,1,1),所以 1 arccos-3 对于角的定值和距离的最值问题解决常运用向量的知识与二次函数，均值不等式，余 求角度通常用向量的数量积，求两 所以 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天
36、柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播(1)BC边上是否存在点 Q，使得PQ QD，请说明理由;(2)若BC边上存在唯一的点 Q,使得PQ QD,指出Q点的位置，并求出此时 AD与平 面PDQ所成角的正弦值；(3)在(2)的条件下，求二面角 Q PD A的正弦值。在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,3、(20
37、06 年湖北卷)如图,4、(2006 年江西卷)如图，在三棱锥 A BCD 中，侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边，且 AD=3,BD=CD=1，另一个侧面是正三角形(1)求证：AD BC(2)求二面角 B AC D 的大小(3)在直线 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30 角？若存 在，确定 E 的位置；若不存在，说明理由。5、(2006 年山东文科)如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等 腰梯形，AB/DC,AC 丄 BD,AC 与 BD 相交于点 O,且顶点 P 在底面 上的射影恰为 O 点，又 BO=2,PO=.2,PB
38、丄 PD.(I)求异面直接 PD 与 BC 所成角的余弦值；(n)求二面角 P AB-C 的大小；(川)设点 M 在棱 PC 上，且 匹，问 为何值时，PC 丄平面 BMD.MC 6、如图，在直三棱柱 ABC AB1C1 中，AC 3,BC 4,AB 5,AA A 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪
39、花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播 参考答案 1、解法一：（I）连结 A1B，则 A1B 是 D1E 在面 ABB 1A;内的射影 T AB1 丄 A1B,D1E 丄 AB1，于是 D1E 丄平面 AB1F D1E 丄 AF.连结 DE，贝 V DE 是 D1E 在底面 ABCD 内的射影.二 D1E 丄 AF 第13页（共19）（1）求证AC BC1；（2）
40、在AB上是否存在点 D使得ACi CD（3）在AB上是否存在点 D使得A1C/平面 CDB1 7、在菱形ABCD中,A 600,AB 2，（1）如图沿对角线BD将ABD折起，问A,C 之间距离为多少时，二面角 A BD C为直二面角?（2）在（1）的基础上，求二面角 A CD B的大小（3）在（1）的基础上，求点 B到平面ACD的距离。&如图，已知PA 矩形 ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC中点，（1）求证：MN AB （2）设平面PDC和平面ABCD所成二面角为锐角，能否确定，使得MN是异面直线 AB与PC的公垂线，若能求出 的值，若不能，请说明理由。9、如图，已知直三棱柱 ABC
41、A1B1C1中，ABC CC1上的点，（1）当M在CC1上什么位置时,A C A C y A（2）在（1）的条件下求点 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要
42、是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播 ABCD是正方形，E 是 BC 的中点.当且仅当F 是 CD 的中点时，DE 丄 AF,即当点 F 是 CD 的中点时，DIE丄平面 ABiF.6 分（II）当 DiE 丄平面 ABiF 时，由（I）知点 F 是 CD 的中点.又已知点 E 是 BC 的中点，连结 EF,贝U EF/BD.连结 AC,设 AC 与 EF 交于点 H，则 CH 丄 EF,连结 CiH，则 CH 是 CiH 在底面 ABCD 内的射影.CiH 丄 EF,即/CiHC 是二面角 Ci EF
43、C 的平面角.i J 2 在 Rt CiCH 中，T CiC=i,CH=AC=4 4 C C i.tan/CiHC=匕1 2.2././CiHC=arctan 2*0，从而/AHCi=arctan2j2.CH 逅 4 故二面角 CiEFA 的大小为 arctan2,2.解法二：以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(i)设 DF=x,则 A(0,0,0),B(i,0,0),D(0,i,0),1 Ai(0,0,i),B(i,0,i),Di(0,i,i),E(i,0),F(x,i,0)2 i DiE(i,y i),ABi(i,0,i),AF(x,i,0)DiE ABi i i 0,即 D
44、iE AB,1 于是 D,E 平面AB,F D,E AF D,E AF 0 x 0 2 1 即x-故当点F是CD的中点时，DiE 平面ABiF 2（i）当 DiE 丄平面 ABiF 时，F 是 CD 的中点，又 E 是 BC 的中点，连结 EF,则 EF/BD.连 结AC,设 AC 与 EF 交于点 H,则 AH 丄 EF.连结 CiH，则 CH 是 CiH 在底面 ABCD 内的射 影.-CiH 丄 EF,即/AHC i是二面角 Ci EF A 的平面角 点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的
45、使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播3 3*Ci(i,i,i),H(,0),1 4 4*I i arccos-.故二面角 C,EF A 的大小为 3 2 解（i）若BC
46、上存在点Q，使PQ QD，从而PA 平面 ABCD,AQ QD，矩形 cos 即 AHC,arccos()3 i arccos.点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的
47、声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)所以 BB1(0,0,1),APABCD中当a2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点 Q,使 AQ QD。所以当a 2时，才存在点Q使PQ QD。(2)当a 2时，以AD为直径的圆与 BC相切于点Q，此时Q是唯一的点使 AQD为直 角，且Q为BC中点，作AH PQ于H，可证 ADH为AD与平面PDQ所成的角，在 RtPAQ中可求得sin ADH(3)作AG PD于G,可证 6 6 AGH为二
48、面角Q PD A的平面角,RtPAD中可求得sin AGH.30 6 3、解法 1:(I)连 AC,设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面BDD1B1相 交于点，连结 OG,因为 PC/平面BDD1B1，平面BDD1B1门平面 APC=OG,故 OG/PC,所以，OG=1 PC=m.2 2 又 AO 丄 BD,AO 丄 BB1，所以 AO 丄平面BDD1B1,故/AGO 是 AP 与平面BDD1B1所成的角.OA 2 1 在 Rt AOG 中，tan AGO=3(2，即 m=GO m 3 2 1 所以，当 m=-时，直线 AP 与平面BDD1B1所成的角的正切值为 3 3.2.(n)可
49、以推测，点 Q 应当是AICI的中点 01,因为 D1O1 丄 A1C1,且 D1O1 丄 A1A，所以 D1O1 丄平面 ACC 1A1,又 AP 平面 ACC1A1,故 D1O1 丄 AP.那么根据三垂线定理知，D1O1在平面 APD1的射影与 AP 垂直。解法二：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),(1,1,m),AC(1,1,0).又由 1,1,0),为平面BB1D1D的一个法向量。C1 P A1 G O D A B A1 B1 0知,点燃的蜡烛月亮钻石光屏下列数据最接近实际情况的是人的拇指宽约为课桌的高度约为人步行的速度约为正
50、常人次脉搏的时间约为如图所示下列关于刻度尺的使用或读数正确的是图一位女士由于驾车超速而被警察拦住警察走过来对从以上对话可这位女士没有理解下面哪个物理量时间路程速度振幅下列现象中是由于分子运动引起的是春天柳絮飞物夏天槐花飘香秋天黄沙扑面冬天雪花飘飘大伟同学在课外按如图所示的装置做小孔成像实验如果易拉罐底部有一个会上小虎队年后重新聚首演唱了他们的经典歌曲在演唱时观众能分辨出三人的声音主要是根据他们歌声的音调响度音色声速关于声的识下列说法错误的是初中精品资料欢迎下载在课堂上听到老师的讲话声说明声音可以在空气中传播 BBiDiD所成的角的正切值为.2。题设要求。4、解法一:方法一：作 AH 面 BCD