《高考数学压轴题大全中学教育高考_中学教育-高考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学压轴题大全中学教育高考_中学教育-高考.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备 欢迎下载 第 1 页 2019年高考数学压轴题大全 高考数学压轴题大全 1.(本小题满分 14 分)如图，设抛物线的焦点为 F，动点 P在直线上运动，过 P作抛物线 C的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C分别相切于 A、B两点.(1)求APB的重心 G的轨迹方程.(2)证明 PFA=PFB.解：(1)设切点 A、B坐标分别为，切线 AP的方程为：切线 BP的方程为：解得 P点的坐标为：所以APB的重心 G的坐标为，所以，由点 P在直线 l 上运动，从而得到重心 G的轨迹方程为：(2)方法 1：因为 由于 P点在抛物线外，则 同理有 AFP=PFB.方法 2：当所以 P点坐标为，则
2、P点到直线 AF的距离为：即 所以 P点到直线 BF的距离为：学习必备 欢迎下载 第 2 页 所以 d1=d2，即得 AFP=PFB.当时，直线 AF的方程：直线 BF的方程：所以 P点到直线 AF的距离为：，同理可得到 P点到直线 BF的距离，因此由 d1=d2，可得到AFP=PFB.2.(本小题满分 12 分)设 A、B是椭圆上的两点，点 N(1，3)是线段 AB的中点，线段 AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点.()确定的取值范围，并求直线 AB的方程;()试判断是否存在这样的，使得 A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.(此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和椭圆
3、等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.()解法 1：依题意，可设直线 AB的方程为，整理得 设是方程的两个不同的根，且由 N(1，3)是线段 AB的中点，得 解得 k=-1，代入得，的取值范围是(12，+).于是，直线 AB的方程为 解法 2：设则有 依题意，运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点
4、点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 3 页 N(1，3)是 AB的中点，又由 N(1，3)在椭圆内，的取值范围是(12，+).直线 AB的方程为 y-3=-(x-1)，即 x+y-4=0.()解法 1：CD垂直平分 AB，直线 CD的方程为 y-3=x-1，即 x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得 又设 CD的中点为是方
5、程的两根，于是由弦长公式可得 将直线 AB的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程得 同理可得 当时，假设存在 12，使得 A、B、C、D四点共圆，则 CD必为圆的直径，点 M为圆心.点 M到直线 AB的距离为 于是，由、式和勾股定理可得 故当 12 时，A、B、C、D四点匀在以 M为圆心，为半径的圆上.(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：)A、B、C、D共圆ACD 为直角三角形，A为直角|AN|2=|CN|DN|，即 由式知，式左边 运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线
6、上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 4 页 由和知，式右边 式成立，即 A、B、C、D四点共圆.解法 2：由()解法 1 及 12,CD垂直平分 AB，直线 CD方
7、程为，代入椭圆方程，整理得 将直线 AB的方程 x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 解和式可得 不妨设 计算可得，A在以 CD为直径的圆上.又 B为 A关于 CD的对称点，A、B、C、D四点共圆.(注：也可用勾股定理证明 ACAD)3.(本小题满分 14 分)已知不等式为大于 2 的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满足()证明 ()猜测数列是否有极限?如果有，写出极限的值(不必证明);()试确定一个正整数 N，使得当时，对任意 b0，都有 本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.()证法 1：当 即 运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重
8、心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 5 页 于是有 所有不等
9、式两边相加可得 由已知不等式知，当 n3 时有，证法 2：设，首先利用数学归纳法证不等式(i)当 n=3 时，由 知不等式成立.(ii)假设当 n=k(k3)时，不等式成立，即 则 即当 n=k+1时，不等式也成立.由(i)、(ii)知，又由已知不等式得()有极限，且 则有 故取 N=1024，可使当 nN时，都有 4.如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，长轴 A1A2的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|A1F1|=21.()求椭圆的方程;()若点 P为 l 上的动点，求 F1PF2最大值.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等
10、基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分 14 分.运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入
11、得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 6 页 解：()设椭圆方程为，半焦距为，则 5.已知函数和的图象关于原点对称，且.()求函数的解析式;()解不等式;()若在上是增函数，求实数的取值范围.本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.满分 14 分.解：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则 点在函数的图象上()由 当时，此时不等式无解.当时，解得.因此，原不等式的解集为.6.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2
12、小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.对定义域分别是 Df、Dg的函数 y=f(x)、y=g(x),f(x)g(x)当 xDf 且 xDg 规定:函数 h(x)=f(x)当 xDf 且 xDg g(x)当 xDf 且 xDg 若函数 f(x)=,g(x)=x2,xR,写出函数 h(x)的解析式;求问题(1)中函数 h(x)的值域;运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到
13、点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 7 页(3)若 g(x)=f(x+),其中是常数,且0,请设计一个定义域为 R的函数 y=f(x),及一个的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明.解(1)h(x)=x(-,1)(1,+)1 x=1(2)当 x1 时,h(x)=
14、x-1+2,若 x1 时,则 h(x)4,其中等号当 x=2 时成立 若 x1 时,则 h(x)0,其中等号当 x=0 时成立 函数 h(x)的值域是(-,0 14,+)(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,=则 g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,于是 h(x)=f(x)f(x+)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令 f(x)=1+sin2x,=,g(x)=f(x+)=1+sin2(x+)=1-sin2x,于是 h(x)=f(x)f(x+)=(1+sin2x)(1-sin2x)=cos4x.(本题满分
15、18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分.在直角坐标平面中,已知点 P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),其中 n 是正整数.对平面上任一点 A0,记 A1为 A0关于点 P1的对称点,A2 为 A1关于点 P2的对称点,AN为 AN-1关于点 PN的对称点.运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得
16、到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 8 页(1)求向量的坐标;(2)当点 A0在曲线 C上移动时,点 A2的轨迹是函数 y=f(x)的图象,其中 f(x)是以 3 为周期的周期函数,且当 x(0,3时,f(x)=lgx.求以曲线 C为图象的函数在(1,4 上的解析式
17、;(3)对任意偶数 n,用 n 表示向量的坐标.解(1)设点 A0(x,y),A0为 P1关于点的对称点 A0的坐标为(2-x,4-y),A1为 P2关于点的对称点 A2的坐标为(2+x,4+y),=2,4.(2)=2,4,f(x)的图象由曲线 C向右平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位得到.因此,曲线 C是函数 y=g(x)的图象,其中 g(x)是以 3 为周期的周期函数,且当 x(-2,1 时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x(1,4 时,g(x)=lg(x-1)-4.另解设点 A0(x,y),A2(x2,y2),于是 x2-x=2,y2-y=4,若 36,则 0 x2-33,
18、于是 f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3).当 14 时,则 36,y+4=lg(x-1).当 x(1,4 时,g(x)=lg(x-1)-4.(3)=,由于,得 13 分)运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及
19、推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 9 页 如图，已知双曲线 C：的右准线与一条渐近线交于点 M，F是双曲线 C的右焦点，O为坐标原点.(I)求证：;(II)若且双曲线 C的离心率，求双曲线 C的方程;(III)在(II)的条件下，直线过点 A(0，1)与双曲线 C右支交于不同的两点 P、Q且 P在 A、Q之间，满足，试判断的范围，并用代数方法给出证明.解：(I)右准线，渐近线 3 分(II)双曲线 C的方程为：7 分(I
20、II)由题意可得 8 分 证明：设，点 由得 与双曲线 C右支交于不同的两点 P、Q 11 分，得 的取值范围是(0，1)13 分 2.(本小题满分 13 分)已知函数，数列满足(I)求数列的通项公式;运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是
21、否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 10 页(II)设 x 轴、直线与函数的图象所围成的封闭图形的面积为，求;(III)在集合，且中，是否存在正整数 N，使得不等式对一切恒成立?若存在，则这样的正整数 N共有多少个?并求出满足条件的最小的正整数 N;若不存在，请说明理由.(IV)请构造一个与有关的数列，使得存在，并求出这个极限值.解：(I)1 分 将这 n 个式子相加，得 3 分(II)为一直角梯形(
22、时为直角三角形)的面积，该梯形的两底边的长分别为，高为 1 6 分(III)设满足条件的正整数 N存在，则 又 均满足条件 它们构成首项为 2019，公差为 2 的等差数列.设共有 m个满足条件的正整数 N，则，解得 中满足条件的正整数 N存在，共有 495 个，9 分(IV)设，即 则 运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上
23、的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 11 页 显然，其极限存在，并且 10 分 注：(c 为非零常数)，等都能使存在.19.(本小题满分 14 分)设双曲线的两个焦点分别为，离心率为 2.(I)求此双曲线的渐近线的方程;(II)若 A、B分别为上的点，且，求线段 AB的中点 M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线;(I
24、II)过点能否作出直线，使与双曲线交于 P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.解：(I)，渐近线方程为 4 分(II)设，AB的中点 则 M的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.(9 分)(III)假设存在满足条件的直线 设 由(i)(ii)得 k 不存在，即不存在满足条件的直线.14 分 3.(本小题满分 13 分)已知数列的前 n 项和为，且对任意自然数都成立，其中 m为常数，且.(I)求证数列是等比数列;运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的
25、坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点学习必备 欢迎下载 第 12 页(II)设数列的公比，数列满足：，试问当 m为何值时，成立?解：(I)由已知(2)由得：，即对任意都
26、成立 (II)当时，高考数学压轴题大全(含答案、解析)运动过作抛物线的两条切线且与抛物线分别相切于两点求的重心的轨迹方程证明解设切点坐标分别为切线的方程为切线的方程为解得点的坐标为所以的重心的坐标为所以由点在直线上运动从而得到重心的轨迹方程为方法因为由于点以即得当时直线的方程直线的方程所以点到直线的距离为同理可得到点到直线的距离因此由可得到本小题满分分设是椭圆上的两点点是线段的中点线段的垂直平分线与椭圆相交于两点确定的取值范围并求直线的方程试判断是否存在何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力解法依题意可设直线的方程为整理得设是方程的两个不同的根且由是线段的中点得解得代入得的取值范围是于是直线的方程为解法设则有依题意第页学习必备欢迎下载是的中点