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1、二十四、圆锥曲线与方程 考点梳理（一）椭圆 1、椭圆的定义：平面内与两个定点21FF、的距离之和为常数|)|2(222FFaa的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点21FF、叫椭圆的焦点.（1）当21212FFaPFPF时,P的轨迹为椭圆;（2）当21212FFaPFPF时,P的轨迹不存在;（3）当21212FFaPFPF时,P的轨迹为 以21FF、为端点的线段 2、椭圆的方程与几何性质:标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay 性 质 参数关系 222cba 焦点)0,(),0,(cc),0(),0(cc 焦距 c2 范围 byax|,|bxay|,|顶点),0(),0(
2、),0,(),0,(bbaa)0,(),0,(),0(),0(bbaa 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 离心率)1,0(ace 准线 cax2 cay2 3、点),(00yxP与椭圆)0(12222babyax的位置关系:（1）当12222byax时,点P在椭圆外;（2）当12222byax时,点P在椭圆内;（3）当12222byax时,点P在椭圆上;4、直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离0 （二）双曲线 1、双曲线的定义 平面内与两个定点21FF、的距离之差的绝对值为常数|2(221FFaa的动点P的轨迹叫双曲线,其中两个定点21FF、叫双曲线的
3、焦点.（1）当21212|FFaPFPF时,P的轨迹为双曲线;（2）当21212|FFaPFPF时,P的轨迹不存在;（3）当21212|FFaPFPF时,P的轨迹为以21FF、为端点的两条射线 2、双曲线的标准方程与几何性质 标准方程)0,(12222babyax)0,(12222babxay 性 质 焦点)0,(),0,(cc，),0(),0(cc 焦距 c2 范围 Ryax,|Rxay,|顶点)0,(),0,(aa),0(),0(aa 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 离心率(1,)cea 准线 cax2 cay2 渐近线 xaby xbay 3、与双曲线12222byax共渐近线的
4、双曲线系方程为：)0(2222byax 4、等轴双曲线222ayx的渐近线方程为xy，离心率为2e.。（三）抛物线 1、抛物线的定义 平面内到定点F的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，其中定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫抛物线的准线。2、抛物线的标准方程、类型及其几何性质(0p)：标准方程 pxy22 pxy22 pyx22 pyx22 图形 yxO yxO yxO yxO 焦点)0,2(pF)0,2(pF )2,0(pF)2,0(pF 准线 2px 2px 2py 2py 范围 Ryx,0 Ryx,0 0,yRx 0,yRx 对称轴 x轴 y轴 顶点 （0，0）离心率 1e 3、
5、抛物线的焦半径、焦点弦)0(22ppxy的焦半径PF2Px;)0(22ppyx的焦半径PF2Py；过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为 2p.AB 为抛物线pxy22的焦点弦，则BAxx 42p，BAyy2p，|AB=pxxBA （四）圆锥曲线的综合问题 两个定点叫椭圆的焦点时的轨迹为椭圆时的轨迹不存在时的轨迹为以当当当椭圆的方程与几何性质标准方程为端点的线段性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于轴轴和原点对称离心率准线点与椭圆的位置关系当时点在椭圆外当曲线的定义平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数的动点的轨迹叫双曲线其中两个定点叫双曲线的焦点时的轨迹为双曲线时的轨迹不存在时的
6、轨迹为以当双曲线的标准方程与几何性质当当为端点的两条射线标准方程性质焦点曲线的渐近线方程为三抛物线抛物线的定义平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线其中定点叫抛物线的焦点定直线叫抛物线的准线抛物线的标准方程类型及其几何性质标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴1、直线与圆锥曲线 C 的位置关系 将直线l的方程代入曲线 C 的方程，消去 y 或者消去 x，得到一个关于 x（或 y）的方程ax2+bx+c=0.（1）交点个数 当 a=0 或 a0，=0 时,曲线和直线只有一个交点;当 a0,0 时,曲线和直线有两个交点;当0）曲线上两点的中点在对称直线上 3、求动点轨迹方程 轨迹类型
7、已确定的，一般用待定系数法；动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法；一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。4)(1|1|212212122xxxxkxxkAB两个定点叫椭圆的焦点时的轨迹为椭圆时的轨迹不存在时的轨迹为以当当当椭圆的方程与几何性质标准方程为端点的线段性质参数关系焦点焦距范围顶点对称性关于轴轴和原点对称离心率准线点与椭圆的位置关系当时点在椭圆外当曲线的定义平面内与两个定点的距离之差的绝对值为常数的动点的轨迹叫双曲线其中两个定点叫双曲线的焦点时的轨迹为双曲线时的轨迹不存在时的轨迹为以当双曲线的标准方程与几何性质当当为端点的两条射线标准方程性质焦点曲线的渐近线方程为三抛物线抛物线的定义平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹叫抛物线其中定点叫抛物线的焦点定直线叫抛物线的准线抛物线的标准方程类型及其几何性质标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴