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1、圆锥曲线知识点小结 教师：王光明 1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件 定点)0,3(),0,3(21FF，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中，是椭圆的是()A421PFPF B621PFPF C1021PFPF D122221PFPF（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_（3）利用第二定义 已知点)0,22(Q及抛物线42xy 上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_ 2.圆锥曲线的标准方程（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为_（2）若Ryx,，且62322 yx，则yx的最大值是_，22yx 的最小值是
2、（3）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_（4）设中心在坐标原点O，焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C过点)10,4(P，则 C 的方程为_ 3.圆锥曲线焦点位置的判断：椭圆：已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是()4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是_ （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（3）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_ （4）双曲线221axby的离心率为5，则:a b=（5
3、）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是_ (6)设Raa,0，则抛物线24axy 的焦点坐标为_ 5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系：6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_（2）直线 ykx1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是_（3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则这样的直线有_条.（4）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有
4、一个公共点的情况如下：（5）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。平面上动点的轨迹中是椭圆的是方程表示的曲线是利用第二定义已知点及抛物线上一动点则的最小值是圆锥曲线的标准方程已知方程表示椭圆则的取值范围为若且则的最大值是的最小值是双曲线的离心率等于且与椭圆有公共焦点则已知方程表示焦点在轴上的椭圆则的取值范围是圆锥曲线的几何性质椭圆若椭圆的离心率则的值是以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为时则椭圆长轴的最小值为双曲线的渐近线方程是则该双曲线的离心率等于直线与圆锥曲线的位置关系若直线与双曲线的右支有两个不同的交点则的取值范围是直线与
5、椭圆恒有公共点则的取值范围是过双曲线则这样的直线有条的右焦点直线交双曲线于两点若过双曲线况如下外一点的直线与双曲线只有一个（6）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_（7）过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为_（8）过双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于 A、B 两点，若AB4，则满足条件的直线l有_条（9）对于抛物线 C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200 xxyy与抛物线 C 的位置关系是_（10）过抛物线xy42的焦点F作
6、一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ的长分别是p、q，则qp11_（11）设双曲线191622yx的右焦点为F，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,，则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于)（12）求椭圆284722 yx上的点到直线01623 yx的最短距离（13）直线1axy与双曲线1322 yx交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以 AB 为直径的圆过坐标原点？7、焦半径（1）已知椭圆1162522yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为_（2）已知抛物线方程为xy82，若
7、抛物线上一点到y轴的距离等于 5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点M到焦点的距离是 4，则点M的坐标为_ 平面上动点的轨迹中是椭圆的是方程表示的曲线是利用第二定义已知点及抛物线上一动点则的最小值是圆锥曲线的标准方程已知方程表示椭圆则的取值范围为若且则的最大值是的最小值是双曲线的离心率等于且与椭圆有公共焦点则已知方程表示焦点在轴上的椭圆则的取值范围是圆锥曲线的几何性质椭圆若椭圆的离心率则的值是以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为时则椭圆长轴的最小值为双曲线的渐近线方程是则该双曲线的离心率等于直线与圆锥曲线的位置关系若直线与双曲线的右支有两个不同的交点则的取值
8、范围是直线与椭圆恒有公共点则的取值范围是过双曲线则这样的直线有条的右焦点直线交双曲线于两点若过双曲线况如下外一点的直线与双曲线只有一个（4）点 P 在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点 P 的横坐标为_（5）抛物线xy22上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5，则线段 AB 的中点到y轴的距离为_（6）椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使MFMP2 之值最小，则点 M 的坐标为_ 8、焦点三角形（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于 A、B 两点，则2ABF的周长为_（2）设 P
9、是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212 FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （3）椭圆22194xy的焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2 PF1 0 时，点 P 的横坐标的取值范围是（4）双曲线的虚轴长为 4，离心率 e26，F1、F2是它的左右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB_（5）已知双曲线的离心率为 2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021 PFF，31221FPFS求该双曲线的标准方程 9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：10、弦长公
10、式：（1）过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（2）过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则 ABC重心的横坐标为_ 平面上动点的轨迹中是椭圆的是方程表示的曲线是利用第二定义已知点及抛物线上一动点则的最小值是圆锥曲线的标准方程已知方程表示椭圆则的取值范围为若且则的最大值是的最小值是双曲线的离心率等于且与椭圆有公共焦点则已知方程表示焦点在轴上的椭圆则的取值范围是圆锥曲线的几何性质椭圆若椭圆的离心率则的值是以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为时则椭
11、圆长轴的最小值为双曲线的渐近线方程是则该双曲线的离心率等于直线与圆锥曲线的位置关系若直线与双曲线的右支有两个不同的交点则的取值范围是直线与椭圆恒有公共点则的取值范围是过双曲线则这样的直线有条的右焦点直线交双曲线于两点若过双曲线况如下外一点的直线与双曲线只有一个11、圆锥曲线的中点弦问题：（1）如果椭圆221369xy弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （2）已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab 相交于 A、B 两点，且线段AB 的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线m
12、xy 4对称 特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！12你了解下列结论吗？与双曲线116922yx有共同的渐近线，且过点)32,3(的双曲线方程为_ 13动点轨迹方程：(1)已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线3x的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程 (2)线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0）)0(m，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 (3)由动点 P 向圆221xy作两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B，APB=600，则动点 P
13、的轨迹方程为 （4）点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于 1，则点 M 的轨迹方程是_ (5)一动圆与两圆M：122yx和N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为 (6)动点 P 是抛物线122 xy上任一点，定点为)1,0(A,点 M 分PA所成的比为 2，则 M 的轨迹方程为_ 平面上动点的轨迹中是椭圆的是方程表示的曲线是利用第二定义已知点及抛物线上一动点则的最小值是圆锥曲线的标准方程已知方程表示椭圆则的取值范围为若且则的最大值是的最小值是双曲线的离心率等于且与椭圆有公共焦点则已知方程表示焦点在轴上的椭圆则的取值范围是圆锥曲线的几何性质椭圆若椭圆的离心率则
14、的值是以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为时则椭圆长轴的最小值为双曲线的渐近线方程是则该双曲线的离心率等于直线与圆锥曲线的位置关系若直线与双曲线的右支有两个不同的交点则的取值范围是直线与椭圆恒有公共点则的取值范围是过双曲线则这样的直线有条的右焦点直线交双曲线于两点若过双曲线况如下外一点的直线与双曲线只有一个（7）AB 是圆 O 的直径，且|AB|=2a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点P，使|OPMN，求点P的轨迹。（8）若点),(11yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是_（9）过抛物线yx42的焦点 F 作直线l交抛
15、物线于 A、B 两点，则弦 AB 的中点M 的轨迹方程是_（10）已知椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2|1aQF点P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足.0|,022TFTFPT（1）设x为点 P 的横坐标，证明xacaPF|1；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F1MF2的面积 S=.2b若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.平面上动点的轨迹中是椭圆的是方程表示的曲线是利用第二定义已知点及抛物线上一动点则的最小
16、值是圆锥曲线的标准方程已知方程表示椭圆则的取值范围为若且则的最大值是的最小值是双曲线的离心率等于且与椭圆有公共焦点则已知方程表示焦点在轴上的椭圆则的取值范围是圆锥曲线的几何性质椭圆若椭圆的离心率则的值是以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为时则椭圆长轴的最小值为双曲线的渐近线方程是则该双曲线的离心率等于直线与圆锥曲线的位置关系若直线与双曲线的右支有两个不同的交点则的取值范围是直线与椭圆恒有公共点则的取值范围是过双曲线则这样的直线有条的右焦点直线交双曲线于两点若过双曲线况如下外一点的直线与双曲线只有一个答案部分 1.（答：C）；（答：双曲线的左支）（答：2）2.（答：11(3,)(
17、,2)22）；（答：5,2）（答：2214xy）；（答：226xy）3.（答：)23,1()1,(）4.（答：3 或325）5.（答：22）（答：132或133）；（答：4 或14）；（答：,3 2）；（答：)161,0(a）；6.（答：(-315,-1)）；（答：1，5）（5，+）；（答：3）；（答：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线
18、；P为原点时不存在这样的直线；）（答：2；（答：44 5,33）；（答：3）；（答：相离）；（答：1）；（答：等于）；（答：8 1313）（答：3,3；1a ）；7.（答：353）；（答：7,(2,4)）；（答：2512）；（答：2）；（答：)1,362(）；8.（答：6）；（答：224xy）；（答：3 5 3 5(,)55）；（答：8 2）；（答：221412xy）；平面上动点的轨迹中是椭圆的是方程表示的曲线是利用第二定义已知点及抛物线上一动点则的最小值是圆锥曲线的标准方程已知方程表示椭圆则的取值范围为若且则的最大值是的最小值是双曲线的离心率等于且与椭圆有公共焦点则已知方程表示焦点在轴上的椭
19、圆则的取值范围是圆锥曲线的几何性质椭圆若椭圆的离心率则的值是以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为时则椭圆长轴的最小值为双曲线的渐近线方程是则该双曲线的离心率等于直线与圆锥曲线的位置关系若直线与双曲线的右支有两个不同的交点则的取值范围是直线与椭圆恒有公共点则的取值范围是过双曲线则这样的直线有条的右焦点直线交双曲线于两点若过双曲线况如下外一点的直线与双曲线只有一个10.（答：8）；（答：3）；11.（答：280 xy）；（答：22）；（答：2 13 2 13,1313）；12.（答：224194xy）（答：212(4)(34)yxx 或24(03)yxx）；（答：22yx）；（答：
20、224xy）；（答：216yx）；（答：双曲线的一支）；（答：3162 xy）；（答：22|xya y）；（答：2121(|)2yxx）；（答：222xy）；（答：（1）略；（2）222xya；（3）当2bac时不存在；当2bac时存在，此时F1MF22）平面上动点的轨迹中是椭圆的是方程表示的曲线是利用第二定义已知点及抛物线上一动点则的最小值是圆锥曲线的标准方程已知方程表示椭圆则的取值范围为若且则的最大值是的最小值是双曲线的离心率等于且与椭圆有公共焦点则已知方程表示焦点在轴上的椭圆则的取值范围是圆锥曲线的几何性质椭圆若椭圆的离心率则的值是以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为时则椭圆长轴的最小值为双曲线的渐近线方程是则该双曲线的离心率等于直线与圆锥曲线的位置关系若直线与双曲线的右支有两个不同的交点则的取值范围是直线与椭圆恒有公共点则的取值范围是过双曲线则这样的直线有条的右焦点直线交双曲线于两点若过双曲线况如下外一点的直线与双曲线只有一个