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1、第七章 向量代数与空间解析几何（一）空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。（）2 任何向量都有确定的方向。（）3 任二向量ba,，若ba.则a=b同向。()4 若二向量ba,满足关系ba=a+b,则ba,同向。（）5 若caba,则cb ()6 向量ba,满足aa=bb，则ba,同向。（）7若a=zyxaaa,，则平行于向量a的单位向量为|aax，|aay，|aaz。（）8若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。(）二、填空题 1 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是 M （0，3，-5）
2、3 点（5，-3，2）关于 的对称点是 M（5，-3，-2）。4 设向量a与b有共同的始点，则与ba,共面且平分a与b的夹角的向量为 5 已知向量a与b方向相反，且|2|ab，则b由a表示为b=。6 设a=4，a与轴l的夹角为6，则alprj=7 已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A（2，-3，-5）、B（-1，3，2）。以及它的对角线交点 E（4，-1，7），则顶点 C的坐标为 ，则顶点 D的坐标为 。8 设向量a与坐标轴正向的夹角为、，且已知=60，=120。则=9 设a的方向角为、，满足 cos=1 时，a垂直于 坐标面。三、选择题 1点（4，-3，5）到oy轴的距离为 （A）222
3、5)3(4 （B）225)3(（C）22)3(4 （D）2254 2已知梯形OABC、CB OACB21OA OAaOCbAB21ba ba21ab 21ab21ba,abba a bba ba ba ba ba ba yoz2 AB ABOAOBAOB42222)(babaaba2ababca0acbbaba2ba 222bbaaabbacba、acbcba,cba、ba,111,222,ba(212121coscoscoscoscoscos)(ba3,8,5 baba24,19,13babaabvv32)(ba2,1 baabvv72,26,3bababa 1,2,2,4,3,4baab
4、4,6,4,2,3,2ba)(baba,baP5baQ 3MNP43242aaa0 ba0a0bcabacba)(0acabacb.4,4,1,2,3,bxaba/1,3,1 1,1,1,2baba、2,1,2 3,2,1 1,3,2cba、dba,.14dc，求向量上的投影是312123aaabbb22222221231231 1223 3()()()aaabbba ba ba b.aCBcAB22acacaSABDl l25d22212CBADD51232zyx7421253zyxzyx13241zyx300 x yzx y z 01240322zyxzyx233211zyx10101zy
5、x04404yxzx4321ztytx7272zyxzyx的方向任二向量若则同向若二向量满足关系则同向若则向量满足则同向若则平行于向量的单位向量为若一向量在另一向量上的投影为零则此二向量共线二填空题点关于坐标原点对称的点是点在坐标面上的投影点是点关于的对称点是知平行四边形的两个顶点以及它的对角线交点则顶点的坐标为则顶点的坐标为设向量与坐标轴正向的夹角为且已知则设的方向角为满足时垂直于坐标面三选择题点到轴的距离为已知梯形求向量上的投影是与平面求证与相交并求交点一填空题方程组在平面解析几何中表示在空间解析几何表示曲面与平面的交线圆的方程是其圆心坐标是圆的半径为曲线在面上的投影曲线为螺旋线在面上的投
6、影曲线为上半锥面在面上的投影为在面上的投影为在面上的投影为曲线的836302zyxzyx37423zyxtztytx,12,1112112zyx332(1,1,1)1Lzyx2362L431221zyx32121zyx225235zyx03221111zyxzyx：与平面求证与相交，并求交点坐标（）.求与交角。（）.通过与交点且与垂直的平面方程。（）.通过且与垂直的平面方程。（）.在上的投影直线方程。（五）空间曲线及其方程 一、填空题 方程组1532xyxy在平面解析几何中表示 ，在空间解析几何表示 。曲面 x2+y2-92z=0 与平面 z=3 的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为
7、 。曲线222221 (1)(1)1xyxyz 在面上的投影曲线为 。螺旋线 x=acos,y=asin,z=b在面上的投影曲线为 。上半锥面22yx（1z）在面上的投影为 ，在面上的投影为 ，在面上的投影为 。6 曲线2121xtytzt 的一般式方程为 。二、选择题 方程19422yxzy在空间解析几何中表示 。（）、椭圆柱面（）、椭圆曲线 （）、两个平行平面 （）、两条平行直线 的方向任二向量若则同向若二向量满足关系则同向若则向量满足则同向若则平行于向量的单位向量为若一向量在另一向量上的投影为零则此二向量共线二填空题点关于坐标原点对称的点是点在坐标面上的投影点是点关于的对称点是知平行四边
8、形的两个顶点以及它的对角线交点则顶点的坐标为则顶点的坐标为设向量与坐标轴正向的夹角为且已知则设的方向角为满足时垂直于坐标面三选择题点到轴的距离为已知梯形求向量上的投影是与平面求证与相交并求交点一填空题方程组在平面解析几何中表示在空间解析几何表示曲面与平面的交线圆的方程是其圆心坐标是圆的半径为曲线在面上的投影曲线为螺旋线在面上的投影曲线为上半锥面在面上的投影为在面上的投影为在面上的投影为曲线的已知曲线2222zyxazyx在坐标面上的投影曲线为1022zyyzx，则a 。（）、（）、（）、（）、参数方程bzayaxsincos的一般方程是 。（）、x2+y2=a2 (B)、x=acosbz (C
9、)、y=asinbz (D)、cossinzx abzy ab 三、化曲线2229y xyxz为参数方程。（六）曲面及其方程 一、填空题 1以原点为球心，且过点（，）的球面方程是 。2设球面的方程为 x2+y2+z2-2x-4y+2z=0，则该球面的球心坐标是 ，球面的 半径 为 。3将 zox 面上的抛物线 z2=5x,绕 ox 轴旋转而成的曲面方程是 。4圆锥为 x2+y2=3z2的半顶角 。5方程 y2=z 表示的曲面是平行与 轴的 柱面。6方程 y=x+1 在平面解析几何中表示 ，而在空间解析几何中表示 。7抛物面 Z=x2+y2与平面 y+z=1 的交线在 XOY 面上的投影曲线方程
10、是 。8当 k=时，平面 x=k 与曲面1494222zyx的交线是一对相交直线。9圆253222zyxx的圆心坐标为 ，半径为 。二、选择题 设球面的方程是 x2+y2+z2+x+Ey+Fz+G=0,若该球面与三个坐标系都相切，则方程 的系数应满足条件 。（）、（）、+（）、+（）的方向任二向量若则同向若二向量满足关系则同向若则向量满足则同向若则平行于向量的单位向量为若一向量在另一向量上的投影为零则此二向量共线二填空题点关于坐标原点对称的点是点在坐标面上的投影点是点关于的对称点是知平行四边形的两个顶点以及它的对角线交点则顶点的坐标为则顶点的坐标为设向量与坐标轴正向的夹角为且已知则设的方向角为
11、满足时垂直于坐标面三选择题点到轴的距离为已知梯形求向量上的投影是与平面求证与相交并求交点一填空题方程组在平面解析几何中表示在空间解析几何表示曲面与平面的交线圆的方程是其圆心坐标是圆的半径为曲线在面上的投影曲线为螺旋线在面上的投影曲线为上半锥面在面上的投影为在面上的投影为在面上的投影为曲线的XOZ坐标面上的直线 x=z-1 绕 oz 轴旋转而成的圆锥面的方程是 。（）x2+y2z-1 （）2zx2+y2+(）2)1(z=x2+y2 (D)2)1(x=y2+z2 3方程 x=2 在空间表示 。（）、坐标面。（）、一个点。（）、一条直线。（）、与面平行的平面。4下列方程中 表示母线平行与 oy 轴的
12、双曲柱面。（）x2y2 （）x2+z2 （）x2+z=1 (D)xz=1 5方程 y2+z2-4x+8=0 表示 。(A)、单叶双曲面 （B）、双叶双曲面 （C）、锥面 （D）、旋转抛物面 6二次曲面 Z=2222byax与平面 y=h 相截其截痕是空间中的 。（A）、抛物线 （B）、双曲线 （C）、椭圆 （D）、直线 7双曲抛物面 x2-y2=z 在 XOZ坐标面上的截痕是 。（A）、x2=z (B)、02xzy （C）、02yzx （D）、0022zyx 8曲面 x2+y2+z2=a 与 x2+y2=2 a z (a0)的交线是 。（A）、抛物线 （B）、双曲线 （C）、圆周 （D）、椭圆
13、 9旋转双叶双曲面1222222azbyax的旋转轴是 。（A）、OX轴 （B）、OY轴 （C）、OZ轴 （D）、直线0 xzy 三、已知两点（，）、（，）。点满足条件PBPA，求点的轨迹方程。四、说明下列旋转曲面是怎样形成的。（x2+y2）2.4x2+9y2+9z2=36 五、证明：单叶双曲面03215416222zxzyx与平面的交线在 XOY 坐标面上的投的方向任二向量若则同向若二向量满足关系则同向若则向量满足则同向若则平行于向量的单位向量为若一向量在另一向量上的投影为零则此二向量共线二填空题点关于坐标原点对称的点是点在坐标面上的投影点是点关于的对称点是知平行四边形的两个顶点以及它的对角
14、线交点则顶点的坐标为则顶点的坐标为设向量与坐标轴正向的夹角为且已知则设的方向角为满足时垂直于坐标面三选择题点到轴的距离为已知梯形求向量上的投影是与平面求证与相交并求交点一填空题方程组在平面解析几何中表示在空间解析几何表示曲面与平面的交线圆的方程是其圆心坐标是圆的半径为曲线在面上的投影曲线为螺旋线在面上的投影曲线为上半锥面在面上的投影为在面上的投影为在面上的投影为曲线的影曲线是椭圆。并求出该椭圆的中心和长、短半轴的大小。六、画出下列方程表示的曲面。4422yxz 。64416222zyx 3。Y2=2px(p0)的方向任二向量若则同向若二向量满足关系则同向若则向量满足则同向若则平行于向量的单位向量为若一向量在另一向量上的投影为零则此二向量共线二填空题点关于坐标原点对称的点是点在坐标面上的投影点是点关于的对称点是知平行四边形的两个顶点以及它的对角线交点则顶点的坐标为则顶点的坐标为设向量与坐标轴正向的夹角为且已知则设的方向角为满足时垂直于坐标面三选择题点到轴的距离为已知梯形求向量上的投影是与平面求证与相交并求交点一填空题方程组在平面解析几何中表示在空间解析几何表示曲面与平面的交线圆的方程是其圆心坐标是圆的半径为曲线在面上的投影曲线为螺旋线在面上的投影曲线为上半锥面在面上的投影为在面上的投影为在面上的投影为曲线的