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1、 年级 高一 学科 数学 内容标题 空间的直线和平面的基本性质 编稿老师 丁学锋 一、学习目标 1.会判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理 4 解决一些简单的相关问题.二、重点、难点 重点：判断空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 难点：异面直线的判定与证明，求异面直线所成的角 三、考点分析 本讲的内容在考试中常与空间中线、面位置关系的判断结合命题，各种命题形式均有可能出现.一、点、线、面之间的关系 数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达 lA 点 A 在直线 l 上 lA lA 点 A 在直线
2、l 外 lA A 点 A 在平面内 A 点 A 在平面外 l 直线l在平面内 l 直线l在平面外 Aml 直线ml,相交于点A l 平面,相交于直线l 二、平面的基本性质 公 理 内 容 图 形 符 号 公理 1 如果一条直线上的两 点 在 一 个 平 面内，那么这条直线也在此平面内 lB,A,lB,lA且 公理 2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C 三点不共线存在唯一的平面使 A，B，C 公理3 如果两个不重合的平 面 有 一 个 公 共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 llPPP,且且 三、空间两条直线的位置关系 1.空间两条直线的位置关系有且只有三种 位置关系
3、 共面情况 公共点个数 图 示 相交直线 共面 1 个 平行直线 共面 0 个 异面直线 不同在任何一个平面内 0 个 线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且
4、三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不2.两个平面的位置关系 位置关系 图示 表示法 公共点个数 两平面平行 /0 两平面相交 a 有无数个交点（在同一条直线上）3.异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.（2）画法：图形表示为如下图所示（通常用一个或两个平面衬托）.4.平行公理（公理 4）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性.符号表述：cacbba/.5.等角定理 在空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.6.异面直线所
5、成的角（1）定义：已知两条异面直线ba,，经过空间任一点 O 作直线aa/，bb/，我们把ba 与所成的锐角（或直角）叫做异面直线ba与所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成的角的取值范围：900.（3）当90 时，直线ba与异面垂直，记作ba.知识点一：直线与直线及直线与平面位置关系的判定 例 1.已知三条直线cba,，ba与异面，cb与异面，那么ca与有什么样的位置关系？画图并加以说明.线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之
6、间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不题意分析：由题意可获得以下主要信息：ba与异面，cb与异面，要判断ca与的位置关系，可在直线与直线的三种位置关系中，利用图形逐一排查.解题过程：直线ca与的位置关系有三种情况，如图所示.直线ca与可能
7、平行，如图；可能相交，如图；可能异面，如图.图 图 图 题后思考：在解答本题的过程中，易出现这样的错误：ba与异面，cb与异面，则ca与异面，事实上，异面这种位置关系，不像平行那样具有传递性.例 2.下列命题中：直线 l 平行于平面内的无数条直线，则 l/;若直线 a 在平面外，则 a/;若直线 a/b，b，则 a/;若直线 a/b，b，那么直线 a 就平行于平面内的无数条直线.其中真命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 题意分析：全面验证线线、线面的各种位置关系.解题过程：对于，直线 l 平行于平面内的无数条直线，但 l 有可能在平面内，l不一定平行于，是假命题.对于，直线 a 在
8、平面外包括两种情况：a/和 a 与相交，a 与不一定平行，是假命题.对于，直线 a/b，直线b，则只能说明 a 与 b 无公共点，但 a 可能在平面内，a 与不一定平行，是假命题.对于，a/b，b，那么/aa或（若 a 与相交，则 a 与 b 异面，与已知矛盾），a 一定平行于平面内的无数条直线.是真命题.综上所述，真命题的个数为 1.故选 A.题后思考：直线与平面相交时，平面内有无数条直线与此直线平行.知识点二：平面与平面位置关系的判定 例 3.下列说法中正确的是（）A.一个平面内有三个不共线的点到另一平面的距离相等，则这两个平面平行 B.一个平面内有一条直线与另一平面平行，则这两个平面平行
9、 C.一个平面内有两条直线与另一平面平行，则这两个平面平行 D.一个平面内有两条相交直线与另一平面平行，则这两个平面平行 线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且
10、且三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不题意分析：利用平面与平面的位置关系的定义判断.解题过程：对于 A，会出现三点在这个平面的异侧，此时两平面相交；当两平面相交时，一平面内与交线平行的所有直线与另一平面既不相交，也不在另一平面内，即与另一平面必平行，则 B、C 都不正确；当一平面内的两相交直线都与另一平面平行时，若两平面相交，则此两直线必都与交线平行，则两直线平行，与已知矛盾.故两平面必平行.故选 D.题后思考：判定两平面平行时，常通过说明两平面不相交得出两平面平行.知识点三：异面直线的判定与证明 例 4
11、.已知直线 AB、CD 是异面直线，求证：直线 AC、BD 是异面直线.题意分析：由题目可获得以下主要信息：AB 与 CD 是异面直线；A、B、C、D 是不同的四个点.解答本题时若用异面直线的定义，直接证明它们在同一个平面内，难以办到，所以可利用反证法加以证明.证明过程：假设 AC 和 BD 不是异面直线，则 AC 和 BD 在同一个平面内，设这个平面为.,CD,AB,内，四点都在DCBABDAC 这与已知中 AB 与 CD 是异面直线矛盾，故假设不成立.直线 AC、BD 是异面直线.题后思考：判定两直线为异面直线的常用方法有：（1）定义法：不同在任何一个平面内的两条直线为异面直线.（2）判定
12、定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.（3）反证法：当直接应用定义法不易推出结论时可考虑用反证法，证明相交、平行不成立.反证法的一般步骤是：知识点四：求异面直线所成的角 例 5.如图，在正方体1111DCBAABCD 中，E，F 分别是 A1B1，B1C1的中点，求异面直线 DB1与 EF 所成的角的大小.线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直
13、线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不 题意分析：利用定义转化为平面角，解三角形.解题过程：方法一：如图，连接 A1C1，B1D1，并设它们相交于点 O，取 DD1的中点 G，连接 OG，A1G，C1G.则 OG/B1D，EF/A1C1.1GOA为异面直线 DB1与 EF 所成的角或其补
14、角.GA1=GC1，O 为 A1C1的中点，GOA1C1.90GOA1，异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90.方法二：如图，连接 A1D，取 A1D 的中点 H，连接 HE，则 HE/DB1且 HE=21DB.于是HEF为所求异面直线 DB1与 EF 所成的角或其补角.连接 EF，设 AA1=1，则 EF=22，HE=23，取 A1D1的中点 I，连接 IF，IH，则 HIIF.45222IFHIHF.90HEF,HEEFHF222 异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90.线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重
15、点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不 方法三：分别取 AA1，CC1的中点设为 M，N，连接 MN，则 MN/EF.如图所示，连接 DM，B1
16、N，则 B1N/DM，且 B1N=DM，四边形 DMB1N 为平行四边形，MN 与 DB1必相交，设交点为 P.设 AA1=1，则 MP=22，DM=25，DP=23，EFDB,90DPM,MPDPDM1222.异面直线 DB1与 EF 所成的角为 90.题后思考：（1）当异面直线依附于某几何体中，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点；（2）当两条异面直线互相垂直时，欲求它们所成的角，实际上需要通过证明来计算.知识点五：平行公理与等角定理的应用 例 6.已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是棱 CD，AD 的中点
17、.（1）求证：四边形 MNA1C1是梯形；（2）求证：111CADDNM.题意分析：（1）（2）线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条直线的位置关系
18、空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不 解题过程：（1）如图，连接 AC，在ACD中，M，N 分别是 CD，AD 的中点，MN/AC，MN=21AC.由正方体的性质得：AC/A1C1，AC=A1C1.MN/A1C1且 MN=21A1C1，即 MNA1C1，四边形 MNA1C1是梯形.（2）由（1）可知 MN/A1C1，又因为 AD/A1D1，111CADDNM与相等或互补.而111CADDNM与都是直角三角形的锐角，111CADDNM.题后思考：（1）证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识（如三角形、梯形中位线、平
19、行四边形性质、平行线分线段成比例定理等）证明；二是利用公理 4，就是需要找到直线 c，使得 a/c，同时 b/c，再由公理 4 得到 a/b.（2）证明角相等的问题时，运用等角定理及其推论是较常用的方法.另外，通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明.1.判断空间中两条直线的位置关系可从两个方面入手分析：（1）是否有公共点的角度；（2）是否共面的角度.2.判断两平面的位置关系可从两平面有没有公共点考虑.3.证明两条直线的位置关系是异面时，通常采用反证法.4.求两异面直线所成的角时，可分四个步骤：线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单
20、的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法作出异面直线所成的角.（2）证明：证明作出的
21、角就是所求的角.（3）计算：求角度时，常利用三角形的性质.（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.（答题时间：45 分钟）一、选择题 1.下列给出的命题中，正确命题的个数是（）梯形的四个顶点在同一平面内 三条平行直线必共面 有三个公共点的两个平面必重合 每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，空间四边形 SABC 中，各边及对角线长都相等，若 E、F 分别为 SC、AB 的中点，那么异面直线 EF 与 SA 所成的角等于（）A.90 B.60 C.45 D.30 3.
22、如果直线 a平面 ，那么直线 a 与平面 内的（）A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交 4.若点 M 在直线 a 上，a 在平面内，则 M、a、间的上述关系可记为（）A.Ma，a B.Ma，a C.Ma，a D.Ma，a 5.在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果EF 与 HG 交于点 M，则（）A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上，也不在 BD 上 6.下列说法正确的是（）A.三点确定一个平面 B.四边
23、形一定是平面图形 C.梯形一定是平面图形 D.平面 和平面 有不同在一条直线上的三个交点 7.异面直线是指（）线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条
24、直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线 C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线 8.若 a，b，则直线 a、b 的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.异面 D.A、B、C 均有可能 二、填空题 9.已知平面 、相交，在 、内各取两点，这四点都不在交线上，则这四点能确定平面_个.10.空间三条直线两两相交，点 P 不在这三条直线上，那么由点 P 和这三条直线最多可以确定的平面个数为_个.11.和两条平行直线中的一条是异
25、面直线的直线与另一条直线的位置关系是_.三、解答题 12.如图，已知正方体 ABCD ABCD.哪些棱所在直线与直线 BA 是异面直线？直线 BA 和 CC 的夹角是多少度？哪些棱所在的直线与直线 AA 垂直？线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一
26、条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不 一、选择题 1.B 解析：对于，两条平行直线确定一个平面，所以梯形的四个顶点在同一个平面内，故正确；对于，空间三条平行直线可能共面，也可能构成三个平面，故错；对于，两相交平面有三个公共点，故错；对于，三条两两相交的直线共面，第四条直线与这三条直线都相交，必在这三条直线所确定的平面内，故正确.2.C 解析：如图所示，取 SB 中点 G，连接 EG，FG，则 FG/SA，所以EFG即
27、为异面直线 EF 与 SA 所成的角.设边长为 2，则 EG=1，FG=1，EF=2.222EFFGEG，故.45EFG 3.D 解析：直线平行于平面即直线与平面没有公共点，所以，它与平面内的任意一条直线都不会相交.4.B 解析：考查集合符号的运用.5.A 解析：ADCMADC,HGHG,MABC.MABC,面面又面面EFEFM 上的交线与面在面ACADCABCM 6.C 7.D 解析：根据异面直线定义得出正确答案为 D.8.D 解析：画图验证.二、填空题 9.1 或 4.解析：分类讨论，如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，因此可确定四个.10
28、.6.解析：（1）当题中所说的三条直线共点但不共面相交时，可确定 3 个平面；而 P点与每条直线又可确定 3 个平面，故共可确定 6 个平面.11.相交或异面.解析:由公理 4 可知不可能平行，故只可能是相交或异面.三、解答题 12.解析：由异面直线的定义可知，棱 AD，DC，CC，DD，DC，BC所在直线分别与直线 BA 是异面直线.由 BB CC 可知，BBA为异面直线 BA 与 CC 的夹角，BBA=45，所以 BA与 CC 的夹角为 45.线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面
29、与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不直线 AB，BC，CD，DA，AB，BC，CD，DA分别与直线 AA 垂直.线与平面平面与平面的位置关系理解两异面直线的定义会求两异面直线所成的角能用公理解决一些简单的相关问题二重点难点重点判断空间中直线与直线直线与平面平面与平面的位置关系难点异面直线的判定与证明求异面直线所成面之间的关系数学符号表示文字语言表达图形语言表达点在直线上点在直线外点在平面内点在平面外直线在平面内直线在平面外直线相交于点平面相交于直线二平面的基本性质公理内容图形符号公理公理公理如果一条直线上的两点个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线且三点不共线存在唯一的平面使且且三空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种位置关系共面情况公共点个数图示相交直线共面个平行直线共面个异面直线不